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    緊抓公式特征 注重細節(jié)處理

    2021-12-03 10:26:33梁慶旭
    初中生世界 2021年17期
    關鍵詞:平方差錯因括號

    文 梁慶旭

    在學習完單項式乘多項式和多項式乘多項式之后,我們學習了較特殊的多項式乘多項式,即完全平方公式和平方差公式。而初學者對公式往往理解不深刻,結構特征把握不準確,造成計算上的錯誤。希望通過下面的一些例題,幫助同學們更好地掌握乘法公式,達到事半功倍的效果。

    一、公式特征需明確

    例1計算:(1)(a-3)2;(2)(a+3)2。

    【錯解】(1)(a-3)2=a2-32=a2-9;

    (2)(a+3)2=a2+32=a2+9。

    【錯因分析】混淆完全平方公式和積的乘方,把積的乘方法則套用在完全平方公式中。在運用公式時,需記?。簝蓴?shù)和(或差)的平方等于這兩數(shù)平方和加上(或減去)兩數(shù)積的2 倍,完全平方的結果是三項式,要做到積的2 倍不遺漏。

    【正 解】(1)(a-3)2=a2-2×a×3+32=a2-6a+9;

    (2)(a+3)2=a2+2×a×3+32=a2+6a+9。

    例2計算:(2x-3y)(2x+3y)。

    【錯解】原式=2x2-3y2。

    【錯因分析】在運用平方差公式時,需弄清楚哪個是公式里的相同項,哪個是公式里的相反項,然后再代入公式即可。本題中2x是相同項,±3y是相反項。

    【正解】(2x-3y)(2x+3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2。

    二、負號處理要恰當

    例3計算:(a-2)(2-a)。

    【錯解】原式=a2-4。

    【錯因分析】多項式中的兩項互為相反項,不符合任何一個乘法公式特征,但提取“-”號后,就可以使用完全平方公式。

    【正解】(a-2)(2-a)=(a-2)×[-(a-2)]=-(a-2)2=-(a2-4a+4)=-a2+4a-4。

    例4計算:(-a-3b)2。

    【錯解】(-a-3b)2=a2-6ab+9b2。

    【錯因分析】錯解套用了兩數(shù)之差的完全平方公式,減去6ab。本題若當成差的完全平方公式,應減去2×(-a)×3b,再整理符號;也可以看作是-a與-3b的和的平方;還可以先處理符號,結合偶次冪的特征,轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和的平方,這樣更簡潔,不容易出錯。

    【正解】看作差的平方:(-a-3b)2=(-a)2-2×(-a)(3b)+(3b)2=a2+6ab+9b2。

    看作和的平方:(-a-3b)2=(-a)2+2×(-a)(-3b)+(-3b)2=a2+6ab+9b2。

    或(-a-3b)2=[-(a+3b)]2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2。

    三、整體思想巧運用

    例5已知a+b=5,ab=6,求a2+b2的值。

    【錯解】由題意得a=2,b=3,所以a2+b2=22+32=13。

    【錯因分析】有些同學容易直接賦予字母a、b特殊值,再代入求值。本題應該先根據(jù)a+b=5 得到(a+b)2=25,展開后代入ab的值,即可求出a2+b2的值。

    【正解】因為a+b=5,

    所以(a+b)2=25,

    則a2+2ab+b2=25。

    因為ab=6,

    所以a2+12+b2=25,則a2+b2=13。

    四、添加括號不隨意

    例6計算:(a-b-c)(a+b-c)。

    【錯解】(a-b-c)(a+b-c)=[a-(b-c)]·[a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc。

    【錯因分析】把“-”和“+”后面部分看作一個整體,添加括號后,使用平方差公式。當括號前為正號時,括號內(nèi)各項符號均不改變,但如果是“-”號,括號內(nèi)各項符號都要改變。應先觀察兩個多項式中哪些項相同,哪些項互為相反數(shù),再去決定如何添加括號,從而使計算不出錯。

    【正解】(a-b-c)(a+b-c)=[(a-c)-b]·[(a-c)+b]=(a-c)2-b2=a2-2ac+c2-b2。

    總之,在運用乘法公式解決問題時,需仔細審題,弄清多項式之間包含的相同項和相反項,通過變形,使得相同項在前,相反項在后,再套用公式,從而掃清學習中的障礙。

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