數(shù)列問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)因及應(yīng)對(duì)策略

■甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 盧會(huì)玉

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考中主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、性質(zhì)及基本量的運(yùn)算，突出考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及數(shù)列求和的常用方法，重點(diǎn)考查數(shù)列an與Sn關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)。高考對(duì)數(shù)列的考查突出基礎(chǔ)性，重點(diǎn)考查同學(xué)們對(duì)數(shù)列通性通法的理解與應(yīng)用，有時(shí)也考查綜合性較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題，解題方法靈活多樣，技巧性較強(qiáng)。

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，既要關(guān)注數(shù)列的小題訓(xùn)練，也要關(guān)注數(shù)列大題的綜合練習(xí)。下面對(duì)同學(xué)們解題時(shí)存在的常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，并提出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略。

一、存在的問(wèn)題及原因分析

（一）概念模糊不清

概念模糊不清主要表現(xiàn)在對(duì)等差、等比數(shù)列的概念及等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的定義認(rèn)識(shí)不到位。

例1已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an，設(shè)bn＝。

（1）求b1，b2，b3的值；

（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：（1）由條件可得an＋1＝

將n＝1代入，得a2＝4a1，則a2＝4；

將n＝2代入，得a3＝3a2，則a3＝12。

從而b1＝1，b2＝2，b3＝4。

（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，但同學(xué)們的答題情況仍不理想，尤其是第二問(wèn)，大家對(duì)等比數(shù)列的概念不清晰，不能順利地將已知結(jié)構(gòu)式與待證式之間建立聯(lián)系，致使推證錯(cuò)誤。第二問(wèn)以遞推式nan＋1＝2（n＋1）an為載體，判斷數(shù)列｛bn｝是否為等比數(shù)列，其實(shí)就是判斷是否為定值。判斷（證明）數(shù)列｛an｝為等差或等比數(shù)列是高考的熱點(diǎn)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解等差或等比數(shù)列的定義，從給出的結(jié)構(gòu)式中，推斷an＋1－an或是否為定值。

（二）運(yùn)算能力不佳

在數(shù)列專題中，常常出現(xiàn)求數(shù)列某一項(xiàng)am、基本量（a1，n，d，q）、通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn等計(jì)算問(wèn)題。在計(jì)算過(guò)程中，不少同學(xué)往往整體代換意識(shí)薄弱，不能合理運(yùn)用有關(guān)公式進(jìn)行恒等變形。導(dǎo)致失分的主要原因，主要包括：①用數(shù)列的有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問(wèn)題時(shí)用錯(cuò)公式或運(yùn)算錯(cuò)誤；②對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不透，不能用整體的意識(shí)去分析和思考問(wèn)題等（如計(jì)算中有時(shí)把作為整體，將會(huì)使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便）。

例2等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＋S6＝2S9，求公比q。

解析：假設(shè)q＝1，則S3＝3a1，S9＝9a1，S6＝6a1。

又a1≠0，所以9a1≠2×9a1，q≠1。

點(diǎn)評(píng)：在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題時(shí)，部分同學(xué)易忽略q＝1的情形。事實(shí)上，在等比數(shù)列求和時(shí)要注意對(duì)公比q＝1和q≠1兩種情況的討論，此外當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，有時(shí)可把作為整體進(jìn)行運(yùn)算。

（三）問(wèn)題轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)解題中，常常要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)列問(wèn)題也不例外。在解數(shù)列題中部分同學(xué)存在的主要問(wèn)題是：一是審題不到位，導(dǎo)致解題中設(shè)元不合理；二是轉(zhuǎn)化意識(shí)不強(qiáng)，沒(méi)能將已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，沒(méi)能將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列加以解決。

例3已知等比數(shù)列{an}前4項(xiàng)之積為，第二、三項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比q。

解析：設(shè)前4 個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，則a4q6＝，且aq＋aq2＝。

則a4q4（1＋q）4＝4，故（1＋q）4＝64q2。

當(dāng)q＞0時(shí)，可得q2－6q＋1＝0，解得q＝3±2。

當(dāng)q＜0時(shí)，可得q2＋10q＋1＝0，解得q＝－5±2。

（四）歸納意識(shí)不強(qiáng)

高考中還常遇到以遞推關(guān)系為載體的數(shù)列問(wèn)題，這對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高。

例4數(shù)列{an}滿足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為（ ）。

A.3690 B.3660

C.1845 D.1830

解析：由題設(shè)知：a2－a1＝1，①，a3＋a2＝3，②，a4－a3＝5。③

a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋a8＝15，a10－a9＝17，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，…

②－①，得a1＋a3＝2。

③＋②，得a4＋a2＝8。

同理可得a5＋a7＝2，a6＋a8＝24，a9＋a11＝2，a10＋a12＝40，…

所以a1＋a3，a5＋a7，a9＋a11，…，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，a2＋a4，a6＋a8，a10＋a12，…，是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列。

所以{an}的前60 項(xiàng)和為15×2＋15×8＋×16＝1830。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同學(xué)們靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求解數(shù)列問(wèn)題的能力，思維量大，有一定的難度。大家要從研究遞推關(guān)系入手，推斷該數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中所隱含的規(guī)律，從而找到解題方向。

（五）項(xiàng)數(shù)確定錯(cuò)誤

數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集，解題中要重視項(xiàng)數(shù)n的取值范圍。

例5幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)n（n＞100）且該數(shù)列的前n項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，那么該款軟件的激活碼是（ ）。

A.440 B.330

C.220 D.110

解析：由題意得，數(shù)列如下：

1，

1，2，

1，2，4，

…

1，2，4，…，2k－1，

…

則該數(shù)列的前1＋2＋…＋k＝k（k＋1）

2項(xiàng)和為：

S＝1＋（1＋2）＋…＋（1＋2＋…＋2k）＝2k＋1－k－2。

因此，k＝2t－3≥14，則t≥5。

此時(shí)k＝25－3＝29，對(duì)應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)為n＝＋5＝440，選A。

點(diǎn)評(píng)：本題非常巧妙地將實(shí)際問(wèn)題和等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和知識(shí)融合在一起。首先需要讀懂題意，并觀察所給數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)并求和，難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且需要判斷最后幾項(xiàng)是第k段1，2，4，…，2k－1中的前幾項(xiàng)，所以項(xiàng)數(shù)的確定是正確解決本題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

（六）對(duì)公式an＝的使用不熟練

數(shù)列的運(yùn)算中，除用有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問(wèn)題外，an與Sn的關(guān)系也是高考考查的熱點(diǎn)。

例6已知等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且a2＝2，S5＝15。數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足Tn＝（n＋5）an。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；

解得a1＝d＝1。所以an＝n。

（2）由（1）得an＝n，所以Tn＝n（n＋5）。

當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－Tn－1＝n（n＋5）－（n－1）（n＋4）＝2n＋4。

當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝6也滿足上式。

所以bn＝2n＋4（n∈N*）。

綜上可得，Pn＝－。

點(diǎn)評(píng)：有相當(dāng)一部分同學(xué)對(duì)公式an＝的理解和掌握不到位，往往是從an＝Sn－Sn－1直接開(kāi)始計(jì)算，會(huì)出現(xiàn)遺漏情況。

二、應(yīng)對(duì)策略分析

（1）重視基本量解題意識(shí)，厘清知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，切實(shí)掌握數(shù)列的概念與性質(zhì)。高考對(duì)數(shù)列考查中選擇和填空題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，解答題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式及簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系（主要是Sn與an的關(guān)系）等問(wèn)題，一般是中檔題，注重通性通法。而等差、等比數(shù)列常涉及a1，an，n，d（q），Sn五個(gè)量和兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組），所以加強(qiáng)應(yīng)用基本量法解題是一種行之有效且常用的方法。

（2）合理選擇運(yùn)算途徑。從多年高考對(duì)數(shù)列考查的趨勢(shì)看，兩類基本數(shù)列基本量的計(jì)算、兩類基本數(shù)列的定義及通項(xiàng)an的求法及數(shù)列求和方法等是考查重點(diǎn)。數(shù)列中只有合理選擇運(yùn)算方法才能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程（如，經(jīng)常要把作為整體代換）。在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩種思路：一是利用基本量，將多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡(jiǎn)捷，目標(biāo)明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，要有意識(shí)地運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題，當(dāng)然在應(yīng)用性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)要注意前提條件，有時(shí)還需要進(jìn)行適當(dāng)變形。

（3）強(qiáng)化合情推理的訓(xùn)練。數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，這決定了數(shù)列解題中離不開(kāi)規(guī)律性和技巧性的探究，故靈活應(yīng)用合情推理方法解決數(shù)列問(wèn)題就顯得尤為重要。

（4）強(qiáng)化求和模型的訓(xùn)練。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，數(shù)列求和問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，各種題型均有出現(xiàn)，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧與方法。解決數(shù)列求和問(wèn)題，需要根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇求和方法，從而提高解題速度。