數(shù)列通項(xiàng)公式的16種求法

■貴州省遵義地區(qū)仁懷市周林高中 尹偉云

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。數(shù)列中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，具有很強(qiáng)的邏輯性，是考查邏輯推理和轉(zhuǎn)化與化歸能力的好素材，因此深受高考命題專家的青睞。本文對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法作一個(gè)比較全面的歸納，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、觀察法

例1將全體正整數(shù)排成如下“三角形數(shù)陣”：

圖1

記數(shù)陣中第n行從左至右的第2個(gè)數(shù)為an（n≥2），則an＝____。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)給出一個(gè)數(shù)列中的連續(xù)幾項(xiàng)時(shí)，可以觀察這幾項(xiàng)之間的差異，找到規(guī)律，或發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與項(xiàng)之間的等量關(guān)系，通過研究這個(gè)關(guān)系尋求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

二、公式法

例2如圖2，64個(gè)正數(shù)排成8行8列：

圖2

點(diǎn)評(píng)：利用公式法求通項(xiàng)公式時(shí)，首先要找到等差數(shù)列或等比數(shù)列的位置，其次是分清等差或等比數(shù)列的首項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的公差或公比。

三、周期法

點(diǎn)評(píng)：本題中，an＝an＋4類似于函數(shù)關(guān)系式f（x＋4）＝f（x），關(guān)于數(shù)列周期的常見結(jié)論有：

①若an＋T＝an，則數(shù)列｛an｝的周期是T；

②若an＋T＝，則數(shù)列｛an｝的周期是2T；

③若an＋T＝－an，則數(shù)列｛an｝的周期是2T；

④若an＋T＝－，則數(shù)列｛an｝的周期是2T。

四、累加法

點(diǎn)評(píng)：形如an＋1－an＝f（n），且f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（n－1）易于化簡(jiǎn)，可以考慮使用累加法。其原理是：an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝f（n－1）＋f（n－2）＋…＋f（2）＋f（1）＋a1。

五、累乘法

六、迭代法

點(diǎn)評(píng)：迭代法也叫遞推法，如果知道連續(xù)兩項(xiàng)的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可嘗試反復(fù)利用遞推關(guān)系迭代求出解。

七、作差法

點(diǎn)評(píng)：給出Sn與an或Sn與n的等量關(guān)系，可以考慮用已知等量關(guān)系得到另一個(gè)等量關(guān)系，兩式作差，利用公式an＝Sn－Sn－1（n≥2）消去Sn，再?gòu)捻?xiàng)與項(xiàng)的等量關(guān)系中探求通項(xiàng)公式，必要時(shí)需構(gòu)造新數(shù)列。需要注意的是，應(yīng)該檢測(cè)a1是否滿足公式。

八、作商法

例8在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋3×2n－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

九、取倒數(shù)法

十、取對(duì)數(shù)法

十一、待定系數(shù)法

例11已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＋an＝3n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_____。

點(diǎn)評(píng)：若遞推式為an＋1＝pan＋qn＋r（p，q均為非零常數(shù)，且p≠1），可設(shè)an＋1＋A（n＋1）＋B＝p（an＋An＋B），構(gòu)造新數(shù)列｛an＋An＋B｝，進(jìn)而解得｛an｝的通項(xiàng)公式。

十二、特征根法

例12求斐波那契數(shù)列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，…的通項(xiàng)公式。

十三、解方程組法

點(diǎn)評(píng)：本題是根據(jù)兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)之間的兩個(gè)等量關(guān)系式，通過解方程組的方式求得其中一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。有時(shí)在同一個(gè)數(shù)列的遞推式中，也可以構(gòu)造另一個(gè)遞推方程，通過解方程組的方式，求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式。如已知a1＝1，an＋1＝3an＋4n，則由an＋1＝3an＋4n?an＋1－3an＝4n＝4·4n－1＝4（an－3an－1），即an＋1－4an＝3（an－4an－1），所以an＋1－4an＝（a2－4a1）·3n－1＝3n，即an＋1－4an＝3n。與an＋1＝3an＋4n聯(lián)立，消去an＋1，得an＝4n－3n（n＝1時(shí)也成立）。

十四、奇偶分析法

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中與奇偶有關(guān)的問題常見四種形式：

①直接型，即已知條件明確奇偶問題；

②an＋1＋an＝f（n）或an＋1·an＝f（n）型；

③含有（－1）n；

④含有a2n－1或a2n。

求解奇偶數(shù)列的實(shí)質(zhì)是把原數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列分別進(jìn)行研究，是分類討論思想方法的有效運(yùn)用。

十五、特值法

例15已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，且對(duì)任意正整數(shù)m，n，均有am＋n＝am＋an＋2mn，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：令m＝1，則an＋1＝an＋2n＋3。從而a2＝a1＋2×1＋3，a3＝a2＋2×2＋3，a4＝a3＋2×3＋3，…，an＝an－1＋2×（n－1）＋3（n≥2），整理得an＝a1＋2×3（n－1），即an＝n2＋2n（n＝1時(shí)也成立）。

點(diǎn)評(píng)：在本題的雙變量遞推數(shù)列問題中，可以給定其中一個(gè)變量的值，得到單變量遞推關(guān)系，從而化為常規(guī)遞推數(shù)列問題求解。

十六、數(shù)學(xué)歸納法

例16已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，且2（an＋1－1）＝an（an－n），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是_____。

解析：由題意知，2（an＋1－1）＝an（an－n）。

將n＝1代入，得a2＝4；

將n＝2代入，得a3＝5；

將n＝3代入，得a4＝6；

……

猜想an＝n＋2。

下面用數(shù)列歸納法證明。

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3滿足公式an＝n＋2。

（2）假設(shè)n＝k時(shí)，an＝n＋2成立，即ak＝k＋2。那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由2（ak＋1－1）＝（k＋1）＋2，即n＝k＋1時(shí)也成立。

綜合（1）、（2），an＝n＋2 對(duì)一切n∈N*都成立。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遞推關(guān)系比較復(fù)雜或不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律時(shí)，可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法，即根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想其通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，逐步形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維模式。

科技信息

2021年諾貝爾獎(jiǎng)得主及成就

一、諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撸好绹?guó)戴維·朱利葉斯和美國(guó)阿登·帕塔普蒂安。獲獎(jiǎng)原因：發(fā)現(xiàn)溫度和觸覺感受器。

二、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撸好绹?guó)真鍋淑郎、德國(guó)克勞斯·哈塞爾曼和意大利喬治·帕里西。獲獎(jiǎng)原因：表彰他們對(duì)地球氣候的物理建模、量化變化和可靠地預(yù)測(cè)全球變暖的研究。

三、諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撸旱聡?guó)本亞明·利斯特和美國(guó)戴維·麥克米倫。獲獎(jiǎng)原因：表彰他們?cè)诓粚?duì)稱有機(jī)催化研究方面的進(jìn)展。

四、諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撸禾股Ｄ醽啺⒉祭恕す艩柤{。獲獎(jiǎng)原因：表彰其對(duì)殖民主義影響，以及文化和大陸鴻溝中難民命運(yùn)的毫不妥協(xié)和具有同情心的關(guān)注。

五、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撸好绹?guó)戴維·卡德、美國(guó)喬舒亞·D.安格里斯特和美國(guó)吉多·W.因本斯。獲獎(jiǎng)原因：表彰他們?cè)趧趧?dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)與實(shí)證方法研究領(lǐng)域作出的突出貢獻(xiàn)。