小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)：表現(xiàn)、問(wèn)題及培養(yǎng)建議

劉曉婷　李雅君

【編者按】符號(hào)意識(shí)在義務(wù)教育階段的具體表現(xiàn)為運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。它是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在小學(xué)階段的具體表現(xiàn)之一，亦是學(xué)生抽象思維形成的基礎(chǔ)。如何幫助學(xué)生具備良好的符號(hào)意識(shí)，如何科學(xué)地評(píng)價(jià)學(xué)生符號(hào)意識(shí)水平？本期話題圍繞“小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)與評(píng)價(jià)”展開(kāi)。

數(shù)學(xué)符號(hào)是用以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等的符號(hào)和記號(hào)，符號(hào)意識(shí)是義務(wù)教育階段重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。對(duì)于小學(xué)生而言，應(yīng)知道數(shù)學(xué)符號(hào)所表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義;能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律;依托具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能，知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律、推理結(jié)論等具有一般性;初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的重要形式。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)能夠感知符號(hào)含義，能夠運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、運(yùn)算和推理，感悟符號(hào)的功能和價(jià)值。那么，小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)如何？如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)？本文結(jié)合對(duì)某校五年級(jí)學(xué)生的調(diào)研，闡釋對(duì)上述問(wèn)題的思考。

一、學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)

考慮到五年級(jí)學(xué)生處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡的時(shí)期，未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)遇到更多、更抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，了解其現(xiàn)階段符號(hào)意識(shí)表現(xiàn)將有助于教師在后續(xù)教學(xué)中提供更精準(zhǔn)、有力的教學(xué)支持。本文借鑒已有研究成果，從“感知符號(hào)及其含義”“運(yùn)用符號(hào)表達(dá)、運(yùn)算和推理”“感悟符號(hào)功能與價(jià)值”三個(gè)維度對(duì)51名學(xué)生的符號(hào)意識(shí)表現(xiàn)進(jìn)行調(diào)研，基于SOLO分類理論對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行劃分。

（一）感知符號(hào)及其含義

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總要同數(shù)學(xué)符號(hào)打交道，這就要認(rèn)識(shí)符號(hào)，了解符號(hào)的含義，包括感知、理解數(shù)學(xué)符號(hào)本身所特有的含義，也包括數(shù)學(xué)符號(hào)之間的相互關(guān)聯(lián)性。五年級(jí)學(xué)生在前期已經(jīng)學(xué)習(xí)了大量的數(shù)學(xué)符號(hào)，如數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、幾何符號(hào)等。學(xué)生是否知道哪些屬于數(shù)學(xué)符號(hào)的范疇，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)有怎樣的認(rèn)識(shí)呢？調(diào)研題目如下：

問(wèn)題1：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)遇到很多的數(shù)學(xué)符號(hào)，如數(shù)字符號(hào)1、2、3……運(yùn)算符號(hào)+、-、×、÷……回顧五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，你還學(xué)過(guò)哪些數(shù)學(xué)符號(hào)？請(qǐng)列舉在下面空白處，并嘗試給這些數(shù)學(xué)符號(hào)分分類（用你喜歡的方式，可列表，可畫(huà)思維導(dǎo)圖）。

該題目有一人未理解題目，寫(xiě)成了自己喜歡的符號(hào)，其余50人的作答表現(xiàn)如表1所示：

（二）運(yùn)用符號(hào)表達(dá)、運(yùn)算和推理

符號(hào)意識(shí)主要是指能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律，能夠?qū)?shù)學(xué)符號(hào)對(duì)象進(jìn)行運(yùn)算和簡(jiǎn)單推理。本次調(diào)研我們改編了兩個(gè)相對(duì)陌生的情境問(wèn)題，以此了解學(xué)生的具體表現(xiàn)，問(wèn)題如下：

問(wèn)題2：圖1是13世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家的計(jì)數(shù)方法，仔細(xì)觀察，虛線框中“”表示的數(shù)是（? ? ?）。在下面空白處寫(xiě)出你的思考過(guò)程。

問(wèn)題3：小西在月歷卡上圈出了3組數(shù)，如圖2所示。她發(fā)現(xiàn)圈出的每組4個(gè)數(shù)之間都有相同的關(guān)系，而且用同樣辦法再任意圈出4個(gè)數(shù)，關(guān)系仍然不變。

有4個(gè)同學(xué)分別用不同的方式把每組4個(gè)數(shù)之間的關(guān)系表示了出來(lái)，如下圖所示。

你更欣賞哪個(gè)同學(xué)的表示方法？為什么？把你的選擇和理由寫(xiě)在空白處。

兩個(gè)問(wèn)題學(xué)生的作答表現(xiàn)分別如表2、表3所示：

（三）感悟符號(hào)的功能與價(jià)值

數(shù)學(xué)符號(hào)是應(yīng)數(shù)學(xué)思維的需要而產(chǎn)生的理想化的、科學(xué)的書(shū)面語(yǔ)言。學(xué)生應(yīng)知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論等具有一般性;初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式，體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)的重要性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性等。該維度不太容易觀測(cè)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題，希望學(xué)生能夠自由呈現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)功能與價(jià)值的思考。調(diào)研題目如下。

問(wèn)題4：請(qǐng)舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和價(jià)值。

學(xué)生的作答表現(xiàn)如表4所示。

二、關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)問(wèn)題的反思

（一）對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)存在誤區(qū)

小學(xué)數(shù)學(xué)中的符號(hào)按照作用及領(lǐng)域類別，可做如圖3（見(jiàn)文末）所示簡(jiǎn)單、粗略的整理。

在感知符號(hào)及其含義的調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生梳理數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，對(duì)常見(jiàn)的計(jì)算符號(hào)以及大小關(guān)系符號(hào)大多能夠回憶并再現(xiàn)，對(duì)于其他類別的符號(hào)，如分?jǐn)?shù)、小數(shù)等符號(hào)有16人提及;幾何領(lǐng)域中的符號(hào)3人提及;用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算律、數(shù)量關(guān)系2人提及;公式符號(hào)組合2人提及。學(xué)生再認(rèn)符號(hào)困難不大，卻不能主動(dòng)再現(xiàn)，究其原因可能與對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)存在誤區(qū)有關(guān)。如認(rèn)為“符號(hào)就是獨(dú)立記號(hào)，公式不算符號(hào)”“符號(hào)就是字母符號(hào)”“每個(gè)符號(hào)只有一個(gè)含義”等。感知符號(hào)及其含義，也需要學(xué)生了解符號(hào)的來(lái)龍去脈，了解符號(hào)的作用，在此基礎(chǔ)上才能更好地運(yùn)用符號(hào)，感悟符號(hào)的功能和價(jià)值。

（二）用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)推理時(shí)考慮不周全

調(diào)研問(wèn)題2主要是考查學(xué)生運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力，問(wèn)題3考查學(xué)生對(duì)運(yùn)用符號(hào)表達(dá)關(guān)系的理解。從調(diào)研數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，96%的學(xué)生在運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行推理時(shí)考慮都不夠周全，獲取部分信息就得出結(jié)論，只有4%的學(xué)生能夠根據(jù)條件獲取所有符號(hào)的信息后再進(jìn)行合理推斷。在使用符號(hào)表示一般關(guān)系時(shí)，超過(guò)一半的學(xué)生僅關(guān)注部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，而未能考慮符號(hào)表示的任意性和全面性。

（三）對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)價(jià)值的理解不夠深入

數(shù)學(xué)符號(hào)的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)誕生與發(fā)展的重要標(biāo)志，是數(shù)學(xué)研究不可缺少的工具，它具有簡(jiǎn)明、直觀、準(zhǔn)確、符簡(jiǎn)理深、優(yōu)美等特點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)這種特殊的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有哪些認(rèn)識(shí)呢？問(wèn)題4的調(diào)研表明，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到具體符號(hào)的含義，知道其作用，但只有約49%的學(xué)生表達(dá)出了數(shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)中的價(jià)值，如它的重要性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性等，約31%的學(xué)生能結(jié)合實(shí)例闡釋。對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)作為數(shù)學(xué)研究中不可或缺的工具、作為數(shù)學(xué)交流的工具，在提高運(yùn)算效率，直觀表達(dá)數(shù)量關(guān)系方面的價(jià)值體悟不深。

三、學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)建議

基于調(diào)研及初步分析，我們對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)提出如下建議。

第一，教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)做階段整理，幫助學(xué)生弄清數(shù)學(xué)符號(hào)的含義和實(shí)質(zhì)，明晰符號(hào)之間的關(guān)系，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)。例如，讓學(xué)生以思維導(dǎo)圖的形式梳理某個(gè)階段學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)符號(hào)。上述調(diào)研中有學(xué)生把小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)單獨(dú)放到一個(gè)類別中（圖4），還有的學(xué)生把它們和運(yùn)算符號(hào)歸為一類（圖5）。兩種想法各是基于何種考量？有學(xué)生認(rèn)為括號(hào)在計(jì)算中有改變計(jì)算順序的功能，可以算作運(yùn)算（計(jì)算）符號(hào);有學(xué)生認(rèn)為小括號(hào)、中括號(hào)還可以用在求最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的表達(dá)中，小括號(hào)還可以用于表示數(shù)對(duì)，一個(gè)符號(hào)多種含義。教師可以基于學(xué)生的梳理組織教學(xué)交流，在討論中豐富學(xué)生對(duì)符號(hào)含義的認(rèn)識(shí)。

第二，在數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及符號(hào)表示的內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、自主表達(dá)、集體討論、反思調(diào)整的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生思考的全面性和思維的反省性。例如，問(wèn)題3，在教學(xué)中教師可鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、自主表達(dá)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)題目所示的四種答案，在此基礎(chǔ)上選取有代表性的四類作品，引導(dǎo)學(xué)生交流研討，讓學(xué)生在對(duì)比中進(jìn)行分析，通過(guò)觀察、反思來(lái)感悟符號(hào)表達(dá)一般規(guī)律時(shí)需要全面、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的含義確定性、表達(dá)簡(jiǎn)明性、概括全面性。

第三，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)歷史的講解、滲透，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生的歷程，體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)中散發(fā)的數(shù)學(xué)家理性精神的光輝及數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)美的追求，洞察到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)背后蘊(yùn)含著深刻的道理。例如，小數(shù)的表示方法，并不是生來(lái)就如此，而是隨著人類社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)的發(fā)展與需要逐漸演變并穩(wěn)定下來(lái)的。通過(guò)引入數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展和演變的道理，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的簡(jiǎn)明性、直觀性，以及含義確定的符號(hào)在交流時(shí)的便捷性。

數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代意義的大事，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)時(shí)無(wú)刻不與數(shù)學(xué)符號(hào)打交道。學(xué)習(xí)、理解并喜歡這種特殊的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，感悟這種無(wú)聲音符在表達(dá)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算，以及進(jìn)行推理時(shí)的美妙，才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：北京教育學(xué)院 北京小學(xué)）