復(fù)變函數(shù)跨學(xué)科融合教學(xué)探索

郭淑妹 李新娜 郭 杰 (戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部，河南 鄭州 450001)

當(dāng)今社會(huì)，各行各業(yè)所需要處理的問題越來越復(fù)雜，專業(yè)知識之間的聯(lián)系也越來越緊密.但是，學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的時(shí)候，不知道怎樣在專業(yè)知識上進(jìn)行應(yīng)用，學(xué)習(xí)起來比較枯燥無味，易失去學(xué)習(xí)興趣，在專業(yè)課上需要用的時(shí)候就會(huì)感覺“書到用時(shí)方恨少”，不能很好地進(jìn)行應(yīng)用，這樣不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.一些大學(xué)教育越來越專業(yè)化和精細(xì)化，專業(yè)與專業(yè)之間慢慢形成了一堵墻，且越往深處發(fā)展這面墻就越高，墻內(nèi)的學(xué)生就越難看到專業(yè)之外的世界.如今，專業(yè)課程的應(yīng)用也面臨著很多挑戰(zhàn)，因?yàn)楝F(xiàn)在一些前沿的科技發(fā)展成果對綜合性知識的需求越來越高，若學(xué)科只是在專業(yè)知識的基礎(chǔ)上往前發(fā)展，是不能走遠(yuǎn)的，所以專業(yè)學(xué)科間的相互融合是科學(xué)發(fā)展的必然趨勢.所以，培養(yǎng)復(fù)合型人才不但契合當(dāng)今社會(huì)發(fā)展對各行業(yè)人才的根本需求，也體現(xiàn)了高等教育對時(shí)代發(fā)展的未雨綢繆.

復(fù)變函數(shù)作為一種強(qiáng)大的工具，廣泛應(yīng)用在眾多的工程領(lǐng)域.復(fù)變函數(shù)是我校二年級人工智能、大數(shù)據(jù)、信息工程等專業(yè)學(xué)生的必修課.教師如果在課堂教學(xué)過程中只注重性質(zhì)和定理的推導(dǎo)和證明，而忽略復(fù)變函數(shù)與各專業(yè)學(xué)科的交叉與融合，學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候就會(huì)覺得理論性太強(qiáng)，考試后也會(huì)忘了一部分，在需要應(yīng)用的時(shí)候又會(huì)束手束腳，達(dá)不到開設(shè)這門課程的教學(xué)目標(biāo)，也不利于學(xué)校培養(yǎng)應(yīng)用型、復(fù)合型、創(chuàng)新型人才.

在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，很多教師都在積極進(jìn)行復(fù)變函數(shù)的教學(xué)改革，試圖改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，促進(jìn)課堂教學(xué)質(zhì)量的提升.在現(xiàn)在的高校教學(xué)中，很多教師按照以學(xué)生為中心的教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)，經(jīng)過幾年的教學(xué)實(shí)踐取得了不錯(cuò)的成果.經(jīng)過發(fā)展和完善，教學(xué)理念逐步轉(zhuǎn)化為以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心、以學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展為中心、以學(xué)生的學(xué)習(xí)效果為中心.基于此教學(xué)理念，筆者積極探索復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)改革，探究復(fù)變函數(shù)課程與其他學(xué)科的交叉融合點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中將實(shí)際案例融入課程教學(xué)，促使學(xué)生對復(fù)變函數(shù)知識在專業(yè)方面的應(yīng)用進(jìn)行探索與思考，解決學(xué)生在復(fù)變函數(shù)應(yīng)用方面的困惑，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)課堂教學(xué)質(zhì)量的提高，使學(xué)生獲得發(fā)展.

一、課前了解學(xué)生的知識背景和專業(yè)課程設(shè)置

基礎(chǔ)課教師應(yīng)秉承以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)理念，在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)提前了解學(xué)生的知識背景和專業(yè)背景.有些省份的學(xué)生在高中時(shí)學(xué)習(xí)了一些復(fù)數(shù)的初步計(jì)算知識，有些省份的高中對復(fù)數(shù)運(yùn)算沒有做要求，學(xué)生為了應(yīng)試也沒有認(rèn)真學(xué)習(xí)高考不涉及的內(nèi)容，對于復(fù)變函數(shù)知識相當(dāng)于沒有接觸.教師了解了學(xué)生的知識背景之后就可以在教學(xué)中對學(xué)生已學(xué)知識不講或者少講，對于學(xué)生沒有接觸過的新知識就細(xì)講和慢講，這樣就可以更清晰地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).不同專業(yè)的學(xué)生所學(xué)專業(yè)課程不一樣，對于復(fù)變函數(shù)知識的應(yīng)用也有所不同，教師就不能千篇一律地進(jìn)行教學(xué).所以，教師必須先了解學(xué)生的知識背景和專業(yè)課程，再進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).基礎(chǔ)課教師不涉及專業(yè)課程的教學(xué)，但可通過與專業(yè)課教師進(jìn)行座談了解學(xué)生在后續(xù)課程中所要學(xué)習(xí)的專業(yè)課程，以及復(fù)變函數(shù)知識在專業(yè)課中的應(yīng)用，以在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)清楚專業(yè)課程和復(fù)變函數(shù)的交叉點(diǎn)，對專業(yè)知識和復(fù)變函數(shù)知識進(jìn)行融合，有針對性地設(shè)計(jì)教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的專業(yè)設(shè)計(jì)不同的教學(xué)案例，促使學(xué)生進(jìn)行探究與思考.

二、針對不同專業(yè)學(xué)生設(shè)計(jì)不同的教學(xué)案例

教師應(yīng)以學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展為中心，在教學(xué)的過程中注重學(xué)生在后續(xù)專業(yè)課中的學(xué)習(xí)和走上工作崗位后的發(fā)展.為了讓學(xué)生對復(fù)變函數(shù)知識有很好地理解和掌握，將來能夠更好地學(xué)以致用，教學(xué)案例的選取應(yīng)貼近學(xué)生專業(yè)的前沿，使學(xué)生感受復(fù)變函數(shù)的強(qiáng)大作用和魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的熱情，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力.

比如，在各專業(yè)中應(yīng)用最多的傅里葉變換.傅里葉級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，在復(fù)變函數(shù)中學(xué)習(xí)了歐拉公式之后，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到傅里葉變換，當(dāng)傅里葉級數(shù)的周期為無窮大時(shí)就變成了傅里葉變換，二者的關(guān)系是由歐拉公式聯(lián)系起來的.傅里葉變換在數(shù)字信號處理、圖像處理、語音識別等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用.在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，比較常見的是在信號傳輸過程中，先對信號施行傅里葉變換，由高低頻信息找到最合適的消噪方法，即可以去除信號中的噪聲，得到穩(wěn)定的信號.

對于通信專業(yè)的學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)中需要實(shí)現(xiàn)對信號的濾波、調(diào)制和抽樣.信號經(jīng)過濾波，可由低頻成分調(diào)制高頻，經(jīng)過頻譜轉(zhuǎn)移，可以減少碼之間的串?dāng)_，提高信號的抗噪聲性能，有益于信號的遠(yuǎn)距離傳輸.教師在課堂上可舉2010年第19屆世界杯的例子，當(dāng)時(shí)是在南非舉行，南非人的傳統(tǒng)音樂聲音比較吵，轉(zhuǎn)播時(shí)音效不會(huì)太好，如果對現(xiàn)場的音頻做傅里葉變換，就會(huì)得到一個(gè)展開式，然后找出背景聲音的特征頻率，去掉特征頻率的正弦函數(shù)，再還原數(shù)據(jù)，就實(shí)現(xiàn)了沒有嘈雜的背景音樂的現(xiàn)場音效.

對于人工智能專業(yè)的學(xué)生來說，對圖像的處理越來越智能化，應(yīng)用傅里葉變換的機(jī)會(huì)也會(huì)越來越多.以紋理圖像的應(yīng)用為例，將一幅精細(xì)的圖像經(jīng)過低通濾波器進(jìn)行變換，那么圖像經(jīng)過傅里葉變換后就只剩下輪廓.現(xiàn)在很多女生經(jīng)常用到的美顏相機(jī)就是這個(gè)原理，用傅里葉變換去掉了臉上的斑斑點(diǎn)點(diǎn)，從而變得白皙干凈.同樣，我們也可以使用濾波器恢復(fù)圖像，使其達(dá)到某個(gè)想要的效果，這個(gè)原理主要應(yīng)用于醫(yī)療，用來診斷皮膚紋理的病變.

對于大學(xué)物理課程，數(shù)學(xué)課程與其更是緊密相連.復(fù)數(shù)在電學(xué)與場論中具有廣泛的應(yīng)用，如復(fù)數(shù)電流、歐姆定律的復(fù)數(shù)形式、復(fù)阻抗等.研究液體對平板的繞流難題，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)之后也能變成易解決的問題.復(fù)變函數(shù)中重要的解析函數(shù)在物理中常用來表示無源、無旋向量場.在流量、旋量、線流源、線渦源、偶極子、復(fù)勢、電力線方程求解等位線方程和負(fù)電位均有應(yīng)用，并且物理上比較有名的電荷守恒定理就相當(dāng)于留數(shù)定理.

復(fù)變函數(shù)知識在描述精細(xì)的原子結(jié)構(gòu)方面也有應(yīng)用.傳統(tǒng)的量子力學(xué)利用薛定諤方程，在研究氫原子、堿金屬原子和氦原子的基礎(chǔ)上，給出了電子的四個(gè)量子數(shù)，解釋了原子光譜.但是，薛定諤方程只有在幾個(gè)特殊情形下才可以求出方程的解析解和精確解，對于多體系統(tǒng)方程，一般是不能求解的.所以，利用薛定諤方程并不能完整、嚴(yán)格地給出電子的四個(gè)量子數(shù)以及解釋原子光譜.

二次互反律、Gauss-Bonnet公式、Atiyah-Singer指標(biāo)定理的證明把許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，推動(dòng)了數(shù)學(xué)、物理學(xué)和自然科學(xué)的發(fā)展.科學(xué)家把數(shù)學(xué)和力學(xué)中的思想方法應(yīng)用到物理學(xué)中，利用新的數(shù)學(xué)模式研究微觀原子系統(tǒng).首先，利用復(fù)變函數(shù)中多值函數(shù)的冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的周期結(jié)構(gòu)(這是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)不具有的性質(zhì))，給出了電子的主量子數(shù)、角量子數(shù)、磁量子數(shù)和自旋量子數(shù)；然后，修正了舊量子論中的量子化規(guī)則；最后，給出了磁通量子化規(guī)則.

復(fù)變函數(shù)在代數(shù)中也具有一定的應(yīng)用.代數(shù)課程里，代數(shù)基本定理是：任何次數(shù)n≥1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(z)=a0zn+a1zn-1+…+an(a0≠0)在復(fù)系數(shù)域中至少有一個(gè)根.用純代數(shù)的方法是很難證明這個(gè)定理的，并且很多科學(xué)家都認(rèn)為這種證明并不存在.直到現(xiàn)在，該定理也沒有純代數(shù)方法的證明.而當(dāng)復(fù)變函數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展后，其證明就簡單多了，可以利用柯西積分定理、劉維爾定理、儒歇定理、最大模定理、最小模定理進(jìn)行證明，證明方法這里不再贅述.

三、布置與專業(yè)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)題目和小論文作業(yè)

教師應(yīng)以學(xué)生的學(xué)習(xí)效果為中心，在學(xué)生學(xué)習(xí)過復(fù)變函數(shù)理論課之后布置實(shí)驗(yàn)題目，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將數(shù)學(xué)知識可視化、系統(tǒng)化和實(shí)用化，強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果.布置實(shí)驗(yàn)題目包括將復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)變函數(shù)的積分、復(fù)變函數(shù)洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的展開、傅里葉變換等可視化.小論文作業(yè)要求學(xué)生寫對于復(fù)變函數(shù)貼近課程專業(yè)的理解或感悟，或者搜集和整理復(fù)變函數(shù)知識在專業(yè)課程中的一些應(yīng)用.

在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的過程中，一些學(xué)生認(rèn)為復(fù)變函數(shù)就是高等數(shù)學(xué)所學(xué)知識在復(fù)數(shù)域上的推廣，學(xué)習(xí)積極性不高.而復(fù)變函數(shù)在課程結(jié)構(gòu)上確實(shí)幾乎與實(shí)函數(shù)相同，復(fù)變函數(shù)的概念都是從高等數(shù)學(xué)實(shí)函數(shù)的概念模仿而來，再逐漸發(fā)展為成熟的理論，所以概念之間具有很多的共性.學(xué)生通過將復(fù)變函數(shù)的可視化與實(shí)函數(shù)進(jìn)行對比，會(huì)對復(fù)變函數(shù)獨(dú)特的性質(zhì)有更深刻的理解.比如，復(fù)指數(shù)函數(shù)具有實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，但是它又是一個(gè)周期函數(shù)，這是實(shí)函數(shù)不具有的，正是由于它的周期性，所以才使得復(fù)變函數(shù)在工程上有許多應(yīng)用.

布置實(shí)驗(yàn)題目和小論文作業(yè)，可讓學(xué)生通過完成作業(yè)對復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用有進(jìn)一步的了解，對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)理論中的思維方法和數(shù)學(xué)思想在潛移默化中進(jìn)行沉淀，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)有所提高.同時(shí)，教師通過批改學(xué)生的小論文，也能促使自己專業(yè)知識的提升，從而達(dá)到教學(xué)相長的效果.

四、引入過程性考核

基于學(xué)習(xí)的持續(xù)性和應(yīng)用性，我們應(yīng)改進(jìn)期末考試一次成績就決定學(xué)生學(xué)習(xí)效果的情況，引入形成性評價(jià)，注重對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的考核，防止學(xué)生突擊復(fù)習(xí)，考完就忘.過程性考核可逐漸改變學(xué)生對大學(xué)考試的認(rèn)知，使其認(rèn)識到學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)課程是掌握一種數(shù)學(xué)工具，是培養(yǎng)理性思維的重要載體，是接受科學(xué)美感熏陶的一個(gè)途徑.過程性考核包括平時(shí)考核和期末考核：平時(shí)考核包括平時(shí)作業(yè)、測驗(yàn)、章節(jié)小結(jié)、實(shí)驗(yàn)和小論文，共占40%；期末考試成績占60%.實(shí)驗(yàn)和小論文在過程性考核中所占比例為25%.將實(shí)驗(yàn)和小論文加入過程性考核中，能引起學(xué)生重視復(fù)變函數(shù)與其他學(xué)科的融合.在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師還要指導(dǎo)學(xué)生閱讀和觀看相關(guān)專業(yè)中有關(guān)復(fù)變函數(shù)的資料，并進(jìn)行整理，對于學(xué)生提出的問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一步步深入探究，對于學(xué)生疑惑的問題，應(yīng)與學(xué)生共同探討，積極熱心地為學(xué)生解答.

五、利用網(wǎng)上資源學(xué)習(xí)學(xué)科交叉點(diǎn)

現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)資源很豐富，復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)課時(shí)又有限，課堂教學(xué)在有限的時(shí)間內(nèi)并不能涵蓋所有知識點(diǎn)，所以教師可以充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，讓學(xué)生把握碎片化時(shí)間學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與專業(yè)學(xué)科的交叉點(diǎn)，豐富知識儲(chǔ)備，開闊眼界.學(xué)生在空閑時(shí)間主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性一般并不是很高，所以教師可以給學(xué)生推薦年輕人比較喜歡的嗶哩嗶哩網(wǎng)站，建議他們觀看《復(fù)變函數(shù)與場論》《數(shù)字信號處理》《數(shù)字圖像處理》《信號與系統(tǒng)》等課程里有關(guān)傅里葉變換的內(nèi)容，使學(xué)生對學(xué)科融合有更直觀的了解.同時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀看物理引擎動(dòng)態(tài)演示傅里葉變換、看得見的量子力學(xué)等視頻，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，促使他們提升專業(yè)認(rèn)同感，促進(jìn)其自主性學(xué)習(xí)能力的提高.

在科技飛速發(fā)展的時(shí)代，各個(gè)工程領(lǐng)域的發(fā)展都不能繞過數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)算法的改進(jìn)是各行業(yè)主要的攻堅(jiān)對象.復(fù)變函數(shù)作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，其中的理論和方法為多種行業(yè)的工程師提供了解決科學(xué)問題的新途徑，無論是歐拉公式，還是復(fù)變函數(shù)的解析函數(shù)、留數(shù)定理、共形映射等，都為解決非復(fù)領(lǐng)域上的問題提供了全新的思路與方法.復(fù)變函數(shù)在發(fā)展的過程中既吸取了其他諸多相關(guān)學(xué)科的精華，又被多個(gè)相關(guān)學(xué)科所運(yùn)用，進(jìn)而促進(jìn)各學(xué)科共同發(fā)展.所以，教師在教學(xué)中應(yīng)注重復(fù)變函數(shù)與其他學(xué)科的融合，以培養(yǎng)具有扎實(shí)基礎(chǔ)、寬廣知識、過硬素質(zhì)的復(fù)合型人才，使其面對社會(huì)的各種復(fù)雜問題時(shí)具有科學(xué)創(chuàng)新的解決方法.這是復(fù)變函數(shù)課程在以后的教學(xué)改革中需要注重的地方，也是高校應(yīng)堅(jiān)守的培養(yǎng)復(fù)合型人才的教育理念.