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    這樣的直角三角形存在嗎?

    2018-09-14 10:52:34岳昌慶
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2018年4期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓命制圓心

    岳昌慶

    對于任意的△ABC,如圖1,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,△ABC內(nèi)切圓的圓心為I,半徑為r,⊙I與AB,BC,AC分別切于D,E,F(xiàn),則ID⊥AB,IE⊥BC,IF⊥AC,ID=IE=IF=r,聯(lián)結(jié)IA,IB,IC,則S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△AIC=12rc+12ra+12rb=12r(c+a+b),

    不妨設(shè)△ABC的周長為C,面積為S,則S=12rC.

    對于Rt△ABC,∠C=90°,我們有S=12ab.

    由于a>0,b>0,a2+b2≥2ab,

    a+b =(a)2+(b)2-2ab+2ab=(a-b)2+2ab≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號),

    所以

    一方面,C= a+b+a2+b2≥2ab+2ab=(2+2)ab=(2+2)2S

    =2(2+1)S(當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即△ABC為等腰直角三角形時,取等號).

    另一方面,由于S=12rC,C≥2(2+1)S,則

    r=2SC≤2S2(2+1)S=(2-1)S.

    稱C≥2(2+1)S為①式,稱r≤(2-1)S為②式.

    由①得S≤C2(2+1),由②得S≥r2-1,

    所以r2-1≤S≤C2(2+1),

    即C≥2(3+22)r. ③

    例1 Rt△ABC的面積S=3,周長C=2,則該直角三角形的內(nèi)切圓半徑r= .

    錯解 由已知及三角形的面積公式得S=12rC,即r=2SC=3.

    上述解法似無破綻,實則非也:這樣的直角三角形不存在!

    錯解的原因 此題S=3,C=2,

    一方面,C =2≤2(2+1)S=2(2+1)3≈8.4,不滿足C≥2(2+1)S,

    所以,這樣的直角三角形不存在.

    另一方面,若r=3≥(2-1)S=(2-1)3≈0.7,則不滿足r≤(2-1)S,

    所以,這樣的直角三角形不存在.

    評注 對于Rt△ABC,在已有公式r=2SC的情況下,命制題目時也一定要考慮其存在性問題.建議在上述結(jié)論(即C≥2(2+1)S①,r≤(2-1)S②及C≥2(3+22)r③)的前提下命制題目;也可就著一個已經(jīng)存在的直角三角形來命制,如:邊長分別為8,15,17(C=40,S=60,r=3)的直角三角形,以規(guī)避圖形的存在性問題.

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