高觀點下的中學代數(shù)試題解題方法初探

王金隆 張紅

摘要：新課程改革后，中學教材以及高考題均增加微積分、幾何這類高等數(shù)學內(nèi)容，所以中學教師和中學生都應該具備更高的數(shù)學素養(yǎng)。以高觀點的視角去分析初等數(shù)學中的問題，是可以提高數(shù)學素養(yǎng)的途徑之一。本研究選擇中學典型的代數(shù)問題，對比初等數(shù)學和高等數(shù)學視角下的解答，以此為基礎分析高觀點在初等數(shù)學解題中的簡潔性和一般性，從而更好的認識數(shù)學問題的實質(zhì)，并以此分析為基礎，分別對中學教師和中學生給出適當?shù)慕ㄗh。

關(guān)鍵詞：高觀點;代數(shù);解題方法;數(shù)學素養(yǎng);

1 研究背景

“高觀點”是指使用高等數(shù)學（包括經(jīng)典高等數(shù)學和現(xiàn)代數(shù)學）的知識、方法以及思想來解決和分析初等數(shù)學中的問題。共包含3個方面的內(nèi)容：現(xiàn)代數(shù)學的思想和方法在中學數(shù)學中的滲透;高等數(shù)學對中學數(shù)學的具體指導;中學數(shù)學某些難以處理的問題在高等數(shù)學里的背景分析[1]。

新課程標準指出，為了在大學中學習數(shù)學打下基礎，高中階段的學生應該具備更高的數(shù)學素養(yǎng)。新課程改革之后，中學的數(shù)學教學內(nèi)容和高考題中均增加了高等數(shù)學的內(nèi)容和問題，主要包括分析、幾何等內(nèi)容[2]。

通過相關(guān)文獻的查閱發(fā)現(xiàn)，有160余篇文章研究高等數(shù)學與中等數(shù)學的關(guān)系。這些文章可分為三類：高等數(shù)學對于中等數(shù)學教學的啟示;高等數(shù)學對于高考題的編制與解答的應用;中等數(shù)學教學中高等數(shù)學的應用現(xiàn)狀。如：2014年周瑪莉、張勁松在《高觀點的數(shù)學思想對數(shù)學教學的啟示》[3]一文中，對某市的中小學教師進行了相關(guān)問卷調(diào)查，而后統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，93.06%的老師對現(xiàn)代數(shù)學幾乎沒有了解，很少關(guān)注高觀點下初等數(shù)學的老師占總共的80. 56%。2014年閆李錚、李三平的《中學數(shù)學教學中高等數(shù)學的應用現(xiàn)狀及原因淺析》一文[]，對深圳多所學校進行了相關(guān)的問卷調(diào)查，通過回收問卷中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，對高等數(shù)學內(nèi)容遺忘較多占61%，并且大部分教師在課堂中不會使用高等數(shù)學的知識和思想，偶爾會在課堂中運用高等數(shù)學的教師不足10%。這表明了很多老師對于高等數(shù)學的遺忘較多，了解太少，在教學中很少涉及高等數(shù)學的內(nèi)容，所以對于高觀點下的初等數(shù)學的研究很有必要。

已有的高觀點解題的研究，大都是較為寬泛。為了提高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，需要對高觀點下的解題進行詳細的研究。本研究選擇中學代數(shù)的典型試題，對初等數(shù)學和高等數(shù)學的解題方法進行比較，以此分析高觀點給初等數(shù)學解題帶來的簡潔性和一般性，從而更好的認識數(shù)學問題的實質(zhì)。

2 研究實例

2.1 數(shù)學分析對中學數(shù)學試題的作用

例題1：求實數(shù)x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值[5]

分析：對于中學生，解決此題有兩個方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展開所有項數(shù)，那么項數(shù)過多，難度太大;如果使用均值不等式，那么從何人手？在哪里使用均值不等式又是難點。但是如果有數(shù)學分析的基礎，這道題就比較容易解決。以下對初等數(shù)學的解法和高等數(shù)學的解法進行展示和比較。

法1：因為展開所有項數(shù)，難度過大，所以思考通過換元法簡化計算

令x+y-3=a，則有2x+y-6=2a-y

故原式就可以變?yōu)镕（x，y）=（y—1）2+a2+（2a-y）2，則可將F（x，y）展開，然后配方得：

法1是首先使用換元法，然后將多項式展開，最后配方。為了簡算而使用換元，這較為容易想到，但是即使簡算之后，配方的過程仍然很難。例如怎么選擇項數(shù)，怎么增添項數(shù)，學生在解答時仍然較為困難。又通過觀察后發(fā)現(xiàn)，每個括號都有平方，故就將所有括號項都進行換元，由此產(chǎn)生第二種方法。

法2是通過法1得出，雖然與法1相比，簡化了計算，但是如何分配a，b，c的值，這太過特殊，并不具有推廣性。這就意味著變換某個數(shù)據(jù)，這個方法中a，b，c的值需要重新分配，也就意味著即使是原題型，難度依然不會減少。如果配方難度太大，可否采用均值不等式？這也就產(chǎn)生了第三種方法。

法3使用了均值不等式，在什么位置構(gòu)造均值不等式，怎么構(gòu)造是這一解法的難點。并且這種解法可推廣性也不高，只適用于部分題目。

前三種解法可以歸類為配方和均值不等式法，均為初等代數(shù)的方法，而這三種解法難度較大。如果學生具有高觀點的視野，例如數(shù)學分析的基礎，這種題目就較為簡單。

法4使用了柯西不等式，方向非常明確，思路很清晰。與前三種初等代數(shù)的解法相比較，這種解法要簡單、清晰許多，并且這個可推廣性也較大，前三種解法的構(gòu)造較難，學生比較難聯(lián)想到，需要大量的練習和積累。而解法4，只需要學生掌握柯西不等式的基礎，就能夠很快的解答，并且推廣性也較高，這就是高觀點的優(yōu)越性。

法5對原式分別對x，y求偏導，得到一個微分方程，通過微分方程確定x，y的值。方向非常明確，思路很清晰，并且可推廣性也較大。

綜上所述，法1、法2、法3這三種屬于初等代數(shù)的方法，難點在于怎么構(gòu)造配方，怎么構(gòu)造均值不等式，這些構(gòu)造的方法都需要學生日積月累的練習，積累經(jīng)驗才有可能聯(lián)想到，所以對于中學學生來說，難度較大。后兩種方法的思路非常清晰，更具有一般性。與前三種方法相比較而言，如果有了高觀點知識的視野，那么解答這種題就要簡單許多，由此可以看出數(shù)學分析知識給中學數(shù)學試題解題帶來的便利性和簡潔性。

分析：這種方法是初等代數(shù)的方法，首先設出兩個多項式，最后通過等式的性質(zhì)，公式法，因式分解，求出兩個多項式分別是什么？這個方法的難點在于公式的變形，這需要學生具備很強的數(shù)學功底，以及日積月累的練習，才能掌握。對于學生來說，尋找這些思想的方向較難，故造成了初等代數(shù)方法過程簡單，但是思維很難。這也是這種方法推廣性不強的原因之一。

法2為高等代數(shù)中多項式的應用，通過次數(shù)和首一多項式設出兩個多項式的形式，然后展開，通過與原多項式系數(shù)的比較，確定出答案。這種方法思路很清晰，只要學生具備多項式次數(shù)和首一多項式的概念，基本就能解答。與初等代數(shù)的方法相比較，可推廣性大大增加，并且有利于學生理解數(shù)學的本質(zhì)。

對比高等代數(shù)與初等代數(shù)證明的方法，可以看出初等代數(shù)方法中的難點在于把握公式，對于公式的變形，構(gòu)造等式都需要一定量的數(shù)學基礎，需要學生日積月累的大量練習這種題，可能才會解答。因為初等代數(shù)中的解法較為特殊，構(gòu)造比較特殊，并不具有一般性。而高等代數(shù)的方法更嚴謹，并且方法具有一般性，如果學生儲備這些知識，解答中學代數(shù)試題就會感到比較容易。

3 研究啟示

通過分別以高等數(shù)學與初等數(shù)學進行解答的比較，可以看到高等數(shù)學的方法明顯優(yōu)于初等代數(shù)的方法。高等數(shù)學的方法思路清晰，步驟簡單明了，可推廣性強，具有一般性。從高觀點分析初等數(shù)學，對學生和教師有以下兩點幫助：

（1）提高數(shù)學教師與學生對于數(shù)學本質(zhì)的認知

教師只有清楚的了解高等數(shù)學之后，再研究初等數(shù)學，才能更深刻的把握初等數(shù)學的本質(zhì)。學生只有了解高等數(shù)學的一定知識之后，才能把握數(shù)學的本質(zhì)。例如數(shù)學分析中極限的思想、辯證的觀點，都有助于學生把握數(shù)學本質(zhì)。

（2）提高學生數(shù)學解題能力

初等數(shù)學中的許多問題，如果僅僅采用初等數(shù)學的方法，解答起來難度較大。因為許多公式的應用，公式的變形，等式的構(gòu)造等等，都需要學生具有許多的題量儲備，經(jīng)過大量的聯(lián)系才能解答。但是如果放在高觀點的背景之下，那么這些問題解答較為容易。并且這種方法的可推廣性也較大。

故由此提出兩點建議：

（1）提高中學數(shù)學教師的數(shù)學素養(yǎng)

隨著新課程改革的推進，微積分等高等數(shù)學的內(nèi)容也下放至中學的教材中，數(shù)學教師面臨這一挑戰(zhàn)，更需要更新自己的認知，研究高觀點下的初等數(shù)學，提高教師的專業(yè)水準，拓展教師的視野。中學數(shù)學教師在授課中，對于數(shù)學的本質(zhì)有所欠缺，對于學生解題能力的訓練重心有所偏移。應該提高中學數(shù)學教師對于高等數(shù)學的認知水平，加強教師對于高等數(shù)學知識的又一次學習。這樣才能有助于在授課中把握數(shù)學的本質(zhì)。

（2）促進學生積極主動了解高等數(shù)學知識

學生的解題能力并不是要通過題海戰(zhàn)術(shù)完成，而是通過了解更多、更深層次的數(shù)學知識。如果學生具備一定的高觀點下的數(shù)學視野，那么對于解答初等數(shù)學的數(shù)學試題有所幫助。所以通過促進學生了解高等數(shù)學的知識來提高學生的解題能力是最有效的辦法。

參考文獻

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[3]周瑪莉，張勁松.高觀點的數(shù)學思想對中學數(shù)學教學的啟示[J].中學數(shù)學月刊，2014（3），7-9.

[4]閆李錚，李三平，中學數(shù)學教學中高等數(shù)學的應用現(xiàn)狀及原因淺析[J].科教導刊，2014 （3），149- 183.

[5]李三平，高觀點下的中學數(shù)學[Ml.西安，陜西師范大學出版總社有限公司，2013.

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[8]申濤，張紅，平面幾何競賽題解題思想方法初探[J].中學數(shù)學研究，2019（12），37-40.