HPM視野下數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的探索

王和香, 張四保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)為研究對(duì)象，利用極限方法來研究微積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)一般理論及其理論基礎(chǔ)(實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基本理論)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分支，也是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主干課程，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論、微分方程、實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)等后繼課程奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。它內(nèi)容豐富、邏輯縝密，為讓大學(xué)新生順利完成從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)分析課程肩負(fù)著連接初等數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的橋梁之重任。因此，對(duì)于任課教師來說，如何提高數(shù)學(xué)分析教學(xué)質(zhì)量顯得尤為重要。

History and Pedagogy of Mathematics(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)，簡稱HPM，成立于1972年第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-2)，原指研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)關(guān)系國際領(lǐng)導(dǎo)小組這一團(tuán)體，現(xiàn)多指該團(tuán)體的研究對(duì)象——數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系[1]。HPM先驅(qū)者、美國著名數(shù)學(xué)史家卡約黎指出，通過歷史的解說，教師可以讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)并不是一門枯燥呆板的學(xué)科，而是一門不斷進(jìn)步的生動(dòng)有趣的學(xué)科[2]。我國老一輩數(shù)學(xué)家余介石在《數(shù)之意義》一書中主張：“歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效。更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會(huì)之一事也。”[2]65

如今，眾多教育工作者將HPM大量的應(yīng)用到初、高中的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)案例碩果累累。例如，HPM視角下，吳佐慧等人研究了基本不等式教學(xué)[3]；潘金城給出了正切概念教學(xué)案例[4]；王芳等人先后給出了導(dǎo)數(shù)幾何意義[5]和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用[6]的教學(xué)案例等等。與此同時(shí)，HPM與大學(xué)數(shù)學(xué)教育的研究也逐漸成為高校教育工作者的研究熱點(diǎn)，2019年5月在上海召開的第八屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)研討會(huì)中，還專門作了“HPM與大學(xué)數(shù)學(xué)教育”的分組報(bào)告[7]，這些都使得HPM為優(yōu)化大學(xué)數(shù)學(xué)教育提供新的借鑒。

1 HPM視野下的數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)實(shí)踐

結(jié)合近幾年來的數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)實(shí)踐，首先給出基于HPM視野下的課程教學(xué)實(shí)踐流程圖(圖1)。

圖1 實(shí)踐教學(xué)流程圖

1.1 在課程導(dǎo)入環(huán)節(jié)加入數(shù)學(xué)史

如果教師在講授新課時(shí)巧妙地將與課程知識(shí)有關(guān)的數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)家成長歷程等有機(jī)地融于課堂教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生重回歷史年代，了解數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)作背景，不但可以增加課堂教學(xué)的知識(shí)性與趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以引起學(xué)生和知識(shí)點(diǎn)之間的共鳴，將冰冷的知識(shí)點(diǎn)賦以歷史的溫度，感受在特定的時(shí)代背景下數(shù)學(xué)思想的誕生，潛移默化地使學(xué)生產(chǎn)生一種“火熱的思考”。例如在講授函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)，判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂問題是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重難點(diǎn)，之后要學(xué)習(xí)的連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分和微分定理也是在函數(shù)一致收斂的條件下完成的。而魏爾斯特拉斯判別法(也稱M判別法或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法)則是最常用的方法之一，它需要恰當(dāng)放大un(x)，以便找到合適的Mn，即：

定理[8](魏爾斯特拉斯判別法) 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)定義在數(shù)集D上，∑Mn為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切x∈D有|un(x)|≤Mn,n=1,2,…，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在D上一致收斂。

為加深學(xué)生對(duì)魏爾斯特拉斯判別法的理解，在講課之前，先為學(xué)生介紹一致收斂性這個(gè)概念的創(chuàng)造者、“現(xiàn)代分析之父”——魏爾斯特拉斯，同時(shí)借助課程內(nèi)容將課程思政融入教學(xué)環(huán)節(jié)。

在分析嚴(yán)格化這一歷程中，魏爾斯特拉斯用精密的“ε-δ”重新定義了極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)等概念，通過引進(jìn)一致收斂性而消除了微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議，也由此使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。魏爾斯特拉斯在鄉(xiāng)村中學(xué)教書時(shí)，沒有好的圖書館，沒有可與其進(jìn)行學(xué)術(shù)探討的同事，無力訂閱期刊，即使在如此惡劣條件下，他始終堅(jiān)持研究阿貝爾函數(shù)，取得了重要的科研成果《阿貝爾函數(shù)理論》。魏爾斯特拉斯以其精湛的數(shù)學(xué)研究、杰出的數(shù)學(xué)教育和偉大的精神品格，贏得了世人的尊敬和推崇，在數(shù)學(xué)史上留下了光輝的一頁。

1.2 在講授新知環(huán)節(jié)加入數(shù)學(xué)史

將與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史作為本節(jié)課程的內(nèi)容主題，以講授新知的方式進(jìn)行課堂教學(xué)。例如講授導(dǎo)數(shù)的定義。在華中師范大學(xué)版本的《數(shù)學(xué)分析》[8]中，第五章導(dǎo)數(shù)與微分是先講導(dǎo)數(shù)再講微分，而學(xué)生學(xué)完后，對(duì)導(dǎo)數(shù)和微分的理解總是模棱兩可。其實(shí)，歷史上微分的發(fā)現(xiàn)早于導(dǎo)數(shù)，因此，我們以史為鑒，通過重構(gòu)導(dǎo)數(shù)定義的歷史，讓學(xué)生經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)定義的發(fā)生(為解決實(shí)際問題產(chǎn)生導(dǎo)數(shù))、發(fā)展(運(yùn)用導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)微積分)和嚴(yán)格化(ε-δ重新定義)的過程，加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)及微分概念的理解，在此基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、善于發(fā)現(xiàn)問題的能力。

圖2 曲線圍成圖形面積

17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲在無限小的基礎(chǔ)上獨(dú)自創(chuàng)立了微積分，在解決曲線圍成圖形的面積的時(shí)候確定了導(dǎo)數(shù)的定義。當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)知道在求解曲線圍成圖形的面積時(shí)，利用無窮小量的思想，將其分割、近似、求和、取極限(圖2)。分割得越細(xì)致，近似值就越精確。可是在具體計(jì)算曲邊圖形的面積時(shí)，就遇到了曲線的切線問題。當(dāng)時(shí)關(guān)于切線已經(jīng)有了比較成熟的結(jié)論。阿基米德最先給出切線的靜態(tài)定義：不通過曲線且與其只有一個(gè)焦點(diǎn)的直線。隨后數(shù)學(xué)科學(xué)家又給出了切線的動(dòng)態(tài)定義：割線的極限位置。

圖3 萊布尼茲定義的導(dǎo)數(shù)

牛頓計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法和萊布尼茲類似，只不過是用ο代替了dx，用假設(shè)ο很小來說明近似程度很高，當(dāng)ο變成任意小時(shí)，誤差消失。

牛頓和萊布尼茲對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義引起了人們的質(zhì)疑，他們提出兩個(gè)疑問，一是從切線的定義來看，曲線上a和b兩點(diǎn)之間的橫坐標(biāo)相距dx(盡管很小，但始終存在)，這就說明切線與曲線的交點(diǎn)不唯一，這與切線的定義相矛盾。二是從形式上看(這里以x3的導(dǎo)數(shù)為例)，

歷史證明，人們的質(zhì)疑是正確的。直到200年后，人們才找到對(duì)于這種質(zhì)疑的合理答案，先是由柯西給出了導(dǎo)數(shù)的清晰定義，即差商的極限，而最終是由威爾斯特拉利用ε-δ語言徹底掃清了關(guān)于無窮小的混亂概念，才有了現(xiàn)在所熟知的用極限定義的導(dǎo)數(shù)，即

圖4 嚴(yán)格意義下導(dǎo)數(shù)約定義

數(shù)學(xué)概念是以定義的形式來揭露其本質(zhì)特征的，而掌握數(shù)學(xué)概念最貼切的方法無疑是了解概念產(chǎn)生的歷史及發(fā)展過程。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，再現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生、應(yīng)用及嚴(yán)格化過程，讓學(xué)生系統(tǒng)全面地掌握導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，領(lǐng)會(huì)微分的基本思想——在局部條件下用直線去近似替代曲線。牛頓和萊布尼茲給出了導(dǎo)數(shù)的定義，雖然因認(rèn)識(shí)不足，在概念上沒有找到一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)，但二人卻為微積分的發(fā)展指明了一條正確的道路。在日常學(xué)習(xí)中，我們可能也會(huì)遇到一兩個(gè)攔路虎，定理花了2 h都推導(dǎo)不出來，公式概念看了很多遍還是理解不清，課后習(xí)題無從下筆等等，此時(shí)我們或許可以把問題暫時(shí)放在一邊，先去完成其他任務(wù)，等過一段時(shí)間再回過頭來看可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。生活也如此，不能因?yàn)楦鞣N借口而怠慢學(xué)習(xí)，要學(xué)會(huì)調(diào)節(jié)自己的心態(tài)，始終保持積極、向上的學(xué)習(xí)、生活態(tài)度。

1.3 在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)加入數(shù)學(xué)史

2 結(jié)語

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)，可以將冰冷僵硬的數(shù)學(xué)概念、定理賦予歷史的溫度，感受在特定的時(shí)代背景下，眾多數(shù)學(xué)家偉大思想的誕生，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史中學(xué)習(xí)有溫度的數(shù)學(xué)分析。筆者只是給出幾個(gè)與數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)史。要知道，在數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容中還存在著大量的值得我們?nèi)握n教師去深入思考與挖掘的數(shù)學(xué)史料。因?yàn)樵谝欢ǔ潭壬?，基于HPM視野進(jìn)行課程教學(xué)有助于提高課程教學(xué)效果與質(zhì)量，同時(shí)也可基于HPM視野深入挖掘課程思政元素，以到達(dá)課程思政育人的目標(biāo)。