關(guān)于β-凸函數(shù)若干性質(zhì)的探討

劉和英

(合肥科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，合肥 230000)

上世紀(jì)60年代中期誕生了一門新的數(shù)學(xué)分支——凸分析，它以凸集和凸函數(shù)為基本研究對象，在純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域具有廣泛的作用。但是凸分析的局限性也很明顯, 實(shí)際問題中的大量函數(shù)是非凸的, 因此，人們從多種途徑推廣了凸函數(shù)的定義, 提出了許多廣義凸性的概念和理論, 現(xiàn)在已經(jīng)成為數(shù)學(xué)規(guī)劃論和最優(yōu)化理論等重要的理論基礎(chǔ)和有力工具。1978年，Breckoner[1]給出了S-凸函數(shù)的概念, Hudzik等[2]中得出了S-凸函數(shù)的若干重要性質(zhì)。顯然，當(dāng)S=1時(shí)，S-凸函數(shù)就是我們通常的凸函數(shù)。1985年Godunova等[3]首先給出了 Godunova-Levin 函數(shù)的定義，我們?nèi)菀字婪秦?fù)單調(diào)函數(shù)和非負(fù)凸函數(shù)都是它的一種特殊情況。1995年，Dragomir等[4]定義并探討了P-函數(shù)。通過對以上S-凸函數(shù)、Godunova-Levin函數(shù)、P-函數(shù)等這些函數(shù)的研究，2007年Varo?anec[5]得到了一種統(tǒng)一的新函數(shù)類, 稱為h- 凸函數(shù), 并且探討了h- 凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)。受到[5]的啟發(fā), 我們主要研究了一般實(shí)線性空間中β- 凸集, 以及在它上面定義的β-凸函數(shù),顯然從定義可以看出β-凸函數(shù)是與h- 凸函數(shù)不同的一種凸函數(shù),因此我們可以考慮將h-凸函數(shù)的一些性質(zhì)推廣到β-凸函數(shù)。

定義1 如果對任意的x,y∈K, 對任意的λ,μ∈[0,1]且λβ+μβ=1, 其中，0 < β ≤ 1,有λx+μy∈K, 則稱K為β- 凸集。特別地，當(dāng) β= 1時(shí)，K為凸集。

定義2 設(shè)E是實(shí)線性空間，K?E，若M是包含K的最小的β- 凸集,則稱M 是K的β- 凸包,記作M=convβK。令(xn)n∈N是K 中的任意點(diǎn)列,則有：

定義3 設(shè)E是實(shí)線性空間，K是E中的β- 凸集, 如果對任意的x,y∈K,對任意的λ,μ∈[0,1]且λβ+μβ=1, 其中0 <β≤ 1。都有：f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y)。

則稱f是β-凸函數(shù)。特別地, 當(dāng)β= 1時(shí),f為凸函數(shù)。

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E是實(shí)線性空間，K是E中的β- 凸集,f是K上的β-凸函數(shù)且f(0)=0。若對任意的x,y∈K, 對任意的λ,μ∈[0,1],使得λβ+μβ≤1 其中0<β≤1，都有：

f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y)。

證明：對任意的x,y∈K, 對任意的λ,μ∈[0,1],當(dāng)λβ+μβ=1時(shí)顯然成立。

顯然a,b∈[0,1]且aβ+bβ=1，因此我們有：

使得λβ+μβ≤1 其中0<β≤1，都有f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y) ，則f(0)=0。

證明：不妨設(shè)f(0)≠0，則有f(0)>0。令x=y=0，從而有：

定理 2 設(shè)E是實(shí)線性空間，K是E中的有限子集。若M=convβK，且f是M上的β-凸函數(shù)，則有supf(M)=maxf(K)。

證明：我們令：

根據(jù)f的β-凸性，可得：

因此，根據(jù)定義2我們有：

從而有 supf(M)=maxf(K) 成立。

定 理 3 設(shè)E是實(shí)線性空間，f是E上的β-凸函數(shù)，

我們令ω1,ω2,…,ωn∈[0,1]與x1,x2,…,xn∈E。

證明：當(dāng)n=2時(shí)，我們不妨設(shè)：

從而有λβ+μβ=1，顯然不等式成立。假設(shè) n-1 時(shí)不等式亦成立，下面來證明對(ω1,ω2,…,ωn)與(x1,x2,…,xn)的凸組合不等式仍然成立。我們有：

注：顯然當(dāng) β= 1時(shí), 此不等式就是凸函數(shù)的典型的Jensen-型不等式。在文[6]中的Godunova-Levin 函數(shù)得到了與此類似的結(jié)果。下面令K是有限非空的正整數(shù)集合，我們定義一個(gè)指標(biāo)集的函數(shù)F如下：

推論2 設(shè)E是實(shí)線性空間，f是E上的β-凸函數(shù)，若M，K是有限非空的正整數(shù)集，且M∩K=?，則對?ωi>0,xi∈E(i∈M∪K)，都有F(M∪K)≤F(M)+F(K)。

證明：我們令：

不妨設(shè)：

顯然滿足λβ+μβ=1， 又由f是E上的β-凸函數(shù)，可得：

因此，我們有下面的不等式：

可得：

顯然對?ωi>0,xi∈E(i∈M∪K)，都有F(M∪K)≤F(M)+F(K)成立。