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    J-正則模與J-正則環(huán)

    2021-12-01 09:48:50向躍明萬欣
    懷化學(xué)院學(xué)報 2021年5期
    關(guān)鍵詞:子模同態(tài)正則

    向躍明, 萬欣

    (懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,湖南懷化418000)

    1 引言

    在本文中,R是有單位元的結(jié)合環(huán),所有的模都是酉模.除非另外提到,M表示一個左R-模,M*=HomR(M,R).映射都記在右邊.如果M是一個R-模,則M的根rad(M)為M的所有極大子模的交.若M沒有極大子模,則rad(M)=M.J(R)表示R的Jacobson根.我們用N<M表示N是M的多余子模.對于通常的符號,請讀者參考文獻[1-3].

    元素a∈R是(von Neumann)正則元[2],如果存在元素x∈R使得a=xax.如果一個環(huán)R的每個元素都是正則的,那么它稱為正則環(huán).類似于von Neumann正則環(huán)的元素定義,Zelmanowitz[4]稱R-模M正則,如果對任何x∈M存在α∈M*使得(xα)x=x.元素a∈R稱為半正則[5],如果存在b∈R使得bab=b,并且ab∈J(R).環(huán)R稱為半正則環(huán),如果環(huán)R的每個元素都是半正則的.例子包括所有的正則環(huán),半完全環(huán)和右連續(xù)環(huán)等.此外,Nicholson還引入了一類半正則模,用以推廣正則模和半完全模.一個R-模M的元素x稱為半正則的,如果存在α∈M*使得(xα)2=(xα)并且x-(xα)x∈rad(M).其給出了這些模的一些刻畫,并證明了一個結(jié)構(gòu)定理.在[6]中,如果R/J(R)是正則的,那么R就稱為J-正則的.這里證明了如果R是J-正則的,則:(1)R是右n-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)R的n-生成的多余右理想到R的任意同態(tài)可以擴張到R到R的同態(tài);(2)R是右FP-內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右(J,R)-FP-內(nèi)射,一些已知的結(jié)果得以改善.

    設(shè)R是環(huán),M是R-模.在本文的第二節(jié),我們稱M的一個元素x為J-正則,如果存在α∈M*使得x-(xα)x∈rad(M).如果模M的每個元素都是J-正則的,則稱其為J-正則模.這類模是半正則模和半局部模的推廣.我們討論了J-正則模的一些性質(zhì).第三節(jié)專門研究了J-正則環(huán)的一些性質(zhì).證明了環(huán)R是J-正則的當(dāng)且僅當(dāng)每一個左R-模是J-正則的.設(shè)M是有限生成的J-正則的投射模,我們證明了其自同態(tài)環(huán)EndR(M)也是J-正則的.在第四節(jié)中,我們研究環(huán)的幾個擴張,如Morita Context和群環(huán).相應(yīng)的結(jié)論成為推論.

    2 J-正則模

    定義2.1設(shè)M為R-模,rad(M)為M的根.元素x∈M叫做J-正則的,如果存在一個α∈M*使得x-(xα)x∈rad(M).如果模M的每個元素都是J-正則的,則稱其為J-正則模.

    根據(jù)定義,半正則模是J-正則模.

    引理2.2設(shè)M為R-模,且x,y∈M.如果x是J-正則的,y∈rad(M),則x+y是J-正則的.

    證明:由假設(shè),存在一個α∈M*使得x-(xα)x∈rad(M).于是

    因此,x+y是J-正則的.

    引理2.3設(shè)M為R-模,x∈M.如果α∈M*使得x-(xα)x是J-正則的,則x是J-正則的.

    證明:因為x-(xα)x是J-正則的,則存在β∈M*使得

    (x-(xα)x)-(x-(xα)x)β(x-(xα)x)∈rad(M).

    于是x-(xα+xβ-(xα)(xβ)-((xα)x)β+(((xα)x)β)(xα))x∈rad(M).

    令γ=α+β-α(xβ)-β(xα)+α(xβ)(xα).容易驗證γ∈M*以及x-(xγ)x∈rad(M),這證明了x是J-正則的.

    根據(jù)文獻[7],M的一個子模N在M中有一個弱補L,如果N+L=M并且N∩L<M.

    定理2.4設(shè)R是環(huán),M是R-模.如果rad(M)<M,則下述等價.

    (1)M是J-正則的;

    (2)M/rad(M)是正則的;

    (3)M的每個有限生成子模都有一個弱補;

    (4)M的每個循環(huán)子模都有一個弱補.

    證明:(3)?(4)是顯而易見的.為了方便,我們設(shè)∶=M/rad(M).

    (4)?(1)令x∈M.由假設(shè),Rx有一個弱補,即存在一個子模L使得Rx+L=M并且Rx∩L<M.因此,我們有(xα)x+y=x,這里α∈M*,y∈L.于是,x-(xα)x=y∈Rx∩L<M,進而x-(xα)x∈rad(M).這證明了M是J-正則的.

    例2.5(1)沒有極大子模的模是J-正則模.

    (2)若M/rad(M)是半單模,則M是半局部模[7].由上述定理,半局部模是J-正則的.

    命題2.6如果M=○i∈IMi是R-模的直和,則M是J-正則的當(dāng)且僅當(dāng)對于每個i∈I,Mi是J-正則的.

    證明:必要性是顯而易見的.對于充分性只需證明兩個直和項的情況.因此令M=N○K.

    考慮任意x+y∈M,這里x∈N,y∈K.因為N是J-正則的,選擇α∈M*使得x-(xα)x∈rad(N)?rad(M).擴充α至M,Kα=0.于是(x+y)α=xα,進而(x+y)-((x+y)α)(x+y)=(x-(xα)x)+(y-(xα)y).

    由假設(shè),y-(xα)y在K中是J-正則的.注意到x-(xα)x∈rad(M),由引理2.2,(x+y)-((x+y)α)(x+y)在M中是J-正則的.由引理2.3,x+y是J-正則的.

    3 J-正則環(huán)

    定義3.1如果R作為R-模是J-正則的,那么環(huán)R就是J-正則的,也就是說,對于R的每個元素x,存在y∈R使得x-xyx∈J(R).根據(jù)定理2.4,環(huán)R是J-正則的當(dāng)且僅當(dāng)R/J(R)是正則的.

    例3.2(1)環(huán)R稱為半正則的,如果R/J(R)是正則的,并且冪等元模J(R)提升.故半正則環(huán)是J-正則環(huán).

    (2)根據(jù)文獻[8],如果R/J(R)是布爾環(huán),則稱R為J-布爾環(huán).因為布爾環(huán)是正則的,J-布爾環(huán)是J-正則的.

    (3)如果R/J(R)是半單環(huán),則環(huán)R是半局部的.那么半局部環(huán)就是J-正則的.

    例3.3(1)令k=Z2,k〈x,y〉是非交換變量x,y的自由代數(shù).設(shè)R=k〈x,y〉/yx是k〈x,y〉的商環(huán).再令RΣ是R的泛局部化[9].于是RΣ/J(RΣ)≌k×k是布爾環(huán).所以RΣ是J-布爾環(huán),進而是J-正則的.然而,其冪等元并不模J(R)提升.因此RΣ不是半正則環(huán).

    下列結(jié)論是J-正則環(huán)的一些基本性質(zhì),其部分結(jié)論來源于文獻[6].環(huán)R稱為半本原環(huán),如果J(R)=0.

    引理3.4設(shè)是一個環(huán).則下列結(jié)論成立.

    (1)R是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-正則,半本原環(huán).

    (2)R是半正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-正則環(huán)且冪等元模J(R)提升.

    (3)J-正則環(huán)的同態(tài)像仍是J-正則環(huán).

    (4)環(huán)的直積R=∏i∈IRi是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Ri是J-正則環(huán).

    (5)如果R是J-正則環(huán),則eRe也是J-正則環(huán),這里e2=e∈R.

    (6)如果R是J-正則環(huán),則Mn(R)也是J-正則環(huán)(n≥1).

    例3.5設(shè)R=Z2×Z4×Z8×…,則R是J-正則環(huán)但不是半局部環(huán).

    命題3.6設(shè)R是J-正則環(huán),則:

    (1)對R的任意理想I,J(R/I)=(J(R)+I)/I.

    (2)如果f∶R→S是滿環(huán)同態(tài),則(J(R))f=J(S).

    證明:(1)顯然(J(R)+I)/I?(R/I).于是我們有

    因為R/J(R)+I是正則環(huán)R/J(R)的商環(huán),其也是正則環(huán),故

    于是,我們有J(R/I)=(J(R)+I)/I.

    (2)是(1)的立即結(jié)論.

    通常地,對任意同態(tài)f∶M→N,我們得到(rad(M))f?rad(Mf).R-模M稱為good模[3],如果(rad(M))f=rad(Mf).由命題3.6,J-正則環(huán)是左good環(huán).

    命題3.7設(shè)I是R的理想,I∈J(R),則R是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I是J-正則環(huán).

    證明:必要性由引理3.4(3)可得.現(xiàn)證充分性,假設(shè)R/I是J-正則環(huán),我們有

    因為J-正則環(huán)是正則的.于是,正則的即是J-正則環(huán).

    推論3.8設(shè)I是環(huán)R的詣零理想,則R是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I是J-正則環(huán).

    命題3.9設(shè)I是環(huán)R的理想,則下述等價:

    (1)R/I是J-正則環(huán);

    (2)對所有自然數(shù)n,R/In是J-正則環(huán);

    (3)對某些自然數(shù)n,R/In是J-正則環(huán).

    證明:(2)?(3)是顯然的.

    (1)?(2)設(shè)R/I是J-正則環(huán).易證明對任意自然數(shù)n,(I/In)n=0.注意到R/I≌(R/In)/(I/In),根據(jù)推論3.18,R/In是J-正則環(huán).

    (3)?(1)若對某些自然數(shù)n,R/In是J-正則環(huán).我們定義映射φ∶R/In→R/I.容易證明其是定義良好的環(huán)同態(tài).于是根據(jù)引理3.4,結(jié)論成立.

    命題3.10對環(huán)R,下述等價:

    (1)R是J-正則環(huán);

    (2)每個R-模是J-正則.

    證明:(2)?(1)是平凡的.

    (1)?(2)對任意R-模M,存在集合Λ和滿同態(tài)R(Λ)→M.因為

    故有滿同態(tài)f∶(R/rad(R))(Λ)→M/rad(M).根據(jù)假設(shè)和文獻[4]中定理2.8,(R/rad(R))(Λ)是正則的,進而M/rad(M)正則的.再根據(jù)定理2.4,M是J-正則的.

    命題3.11設(shè)M是投射R-模.如果M是有限生成J-正則的,則自同態(tài)環(huán)EndR(M)是J-正則環(huán).

    證明:由假設(shè),M/rad(M)是正則的且rad(M)<M.根據(jù)文獻[3]中22.2,

    因為M/rad(M)是有限生成正則模,根據(jù)文獻[10]中的定理3.6,EndR(M/rad(M))是正則環(huán).故EndR(M)/J(EndR(M))是正則的,進而EndR(M)是J-正則環(huán).

    現(xiàn)在,文獻[6]中的定理8可以作為我們結(jié)論的推論.

    推論3.12設(shè)R是J-正則環(huán),M是有限生成投射R-模,則自同態(tài)環(huán)EndR(M)是J-正則環(huán).

    4 環(huán)擴張

    本節(jié)中,我們考慮J-正則環(huán)的一些擴張.

    Morita Context包含二個環(huán)A,B,二個雙模AMB,BNA和一對雙模同態(tài)φ∶M○B(yǎng)N→A和ψ∶N○AM→B,滿足條件φ(m○n)m′=mψ(n○m′)和ψ(n○m)n′=nφ(m○n′),這里m,m′∈M,n,n′∈N.其例子包含所有2×2矩陣環(huán)和所有的上三角矩陣環(huán).

    命題4.1設(shè)是Morita Context,其中MN?J(A),NM?J(B).則T是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A,B都是J-正則環(huán).

    證明:由文獻[11]中的命題2.6,

    注意到MN?J(A),NM?J(B),于是T/J(T)≌A/J(A)×B/J(B).故T是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A,B都是J-正則環(huán).

    推論4.2設(shè)R是環(huán).上三角矩陣環(huán)Tn(R)(n∈N)是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-正則環(huán).

    設(shè)R是環(huán),G是群,RG表示群環(huán).我們有環(huán)同態(tài)ε∶RG→R,Σrgg→Σrg,叫做RG的增廣映射,其核記作△(RG),△(RG)={Σg∈Gag(1-g)∶1≠g,ag∈R}.容易驗證RG/△(RG)≌R.群G稱為局部有限的,如果G的任意有限生成子群是有限的.下列引理可以在文獻[12]中找到.

    引理4.3設(shè)R是環(huán),G是群.群環(huán)RG是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)是R正則的,G是局部有限的且G的任意有限子群的階在R中可逆.

    注4.4上述結(jié)果不能推廣到半正則環(huán).例如,設(shè)群G的階為3.由文獻[5]的例2.14的討論,群環(huán)RG不是半局部環(huán).但是,對于J-正則環(huán)我們有如下一些結(jié)論.

    命題4.5設(shè)R是環(huán),G是群.如果下述條款成立

    (1)R是J-正則環(huán);

    (2)G是局部有限群;

    (3)G的任意有限子群的階在R中可逆.

    則群環(huán)RG是J-正則環(huán).

    證明:為方便表示,記=R/J(R).因為G是局部有限群,根據(jù)文獻[13]的引理4,J(R)G≌J(RG),故J(RG/J(R)G)=J(RG)/J(R)G.于是,我們有

    因為G的任意有限子群的階在R中可逆,則G的任意有限子群的階在R中可逆.注意到仍是正則的,根據(jù)引理4.3,RG是正則的,因此RG/J(RG),故RG/J(RG)是正則的,即RG是J-正則環(huán).

    命題4.6設(shè)R是交換環(huán),G是Abel群.如果群環(huán)RG是J-正則環(huán),則

    (1)R是J-正則環(huán);

    (2)G是局部有限群;

    (3)G的任意有限子群的階在R中可逆.

    證明:因為RG/△(RG)≌R,由引理3.4,R是J-正則環(huán).類似地作為RG的同態(tài)像也是J-正則環(huán).現(xiàn)設(shè)n是G的有限子群的階.對任意x?J(R),nx?J(R),故n不是的零因子.再根據(jù)文獻[14]中的定理6,J(G)=0G是正則環(huán).再由引理4.3,(2)成立.最后因為n在中可逆,其在R中也是可逆的.命題得證.

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