在概率統(tǒng)計教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探究能力

江蘇省運(yùn)河中學(xué) 葉貴朋

統(tǒng)計學(xué)是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué)，它可以為人們制訂決策提供依據(jù)。概率是人們判斷一件事情發(fā)生的可能性大小的重要依據(jù)，它是一個確定的數(shù)。統(tǒng)計與概率的概念、原理都十分重要。

一、指導(dǎo)學(xué)生提出問題，激發(fā)探究的欲望

引導(dǎo)學(xué)生提出問題，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神。學(xué)生在課堂上大膽地提出自己的疑惑，老師可以及時解決，防止問題越積越多，這不僅會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還會降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如，《古典概型和幾何概型》的教學(xué)，老師向?qū)W生給出了兩個概念，首先，具有以下兩個特點(diǎn)的試驗稱為古典概型：第一個特點(diǎn)是有限性，試驗的樣本空間只含有有限個樣本點(diǎn)；第二個特點(diǎn)是等可能性，即試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。其次，具有以下這兩個特點(diǎn)的試驗稱為幾何概型：第一，隨機(jī)試驗的樣本空間為某可度量的區(qū)域；第二，任意區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。最后，老師需要做的就是幫助學(xué)生擺正提問題的心態(tài)，提問題是一件好事。很多學(xué)生羞于提問題，擔(dān)心自己提的問題過于簡單，會遭到其他同學(xué)的恥笑，導(dǎo)致問題不斷積累，和其他同學(xué)拉開差距。老師首先需要構(gòu)建一個平臺，促使學(xué)生提出問題。比如，對于上述兩個概念，有的學(xué)生就會提出以下問題:“我覺得古典概率在生活中比較常見，那我們在判斷的時候，是否可以用排列或者是組合的方式來考慮呢？”“古典概率是否存在某些缺陷？如果存在，是什么呢？”“在談到幾何概型的概念時，出現(xiàn)了‘幾何度量’這四個字，我們應(yīng)該如何理解這四個字呢？”通過構(gòu)建提問題的平臺，學(xué)生想提問題的心愿就能得到滿足，就能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對知識的探索和思考。

二、提倡學(xué)生自主探索，經(jīng)歷探究的過程

在高中數(shù)學(xué)中，概率和統(tǒng)計算不上難度系數(shù)比較高的知識，因此幾何和概率類的題目可以嘗試讓學(xué)生自主探究、自主完成。

例如，有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“在體育課堂上開展了這樣一個體育活動，要求同學(xué)們向邊長為一米的正方形沙坑內(nèi)隨機(jī)投球，如果投在正方形一條對角線上，可以獲得額外的小獎勵。試求球投在正方形的一條對角線上的概率。”這道題目中涉及正方形這個圖形，因此它屬于幾何概型。第一步要做的就是確定樣本的空間，題目中的樣本指的就是這個邊長為一米的正方形沙坑?？梢越⒅苯亲鴺?biāo)系，然后在x 軸和y 軸上分別找到顯示為“1”的點(diǎn)，連線組成一個正方形。接著，確定這道題目所要求的事件就是“球投在正方形的對角線上”，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)即A={（x,y）|x=y}。這時就需要用對角線段的面積除以正方形的面積。但是通過之前學(xué)習(xí)的知識可以得知對角線段的面積為零，那么這個事件的概率就為零。很多學(xué)生可能會感到非常疑惑：“為什么算出來的概率會為零呢？”其實(shí)概率為零的事件未必是不可能事件，只是說這個事件發(fā)生的概率無限小，無法用具體的數(shù)字把它表現(xiàn)出來，但它是有可能發(fā)生的，這一點(diǎn)需要學(xué)生重點(diǎn)記憶和理解。

三、引領(lǐng)學(xué)生談?wù)摻涣鳎せ钐骄康乃季S

在教學(xué)的過程中，老師可以有選擇地拋出一些問題，通過這些問題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思考和討論。思考和討論是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時兩種常見的學(xué)習(xí)形式，思考是一種思維活動，討論是一種語言活動。

比如上述自主學(xué)習(xí)活動結(jié)束之后，老師就可以開展交流討論活動：“請同學(xué)們思考如何判斷一個試驗是否為幾何概型？例如，牛奶售貨員會在早上八點(diǎn)到八點(diǎn)半給小明家送牛奶。但小明每天八點(diǎn)十分就從家里出發(fā)，最晚也只能延遲到八點(diǎn)二十，請問，售貨員送牛奶時小明恰好在家的概率是多少？這道題目是幾何概型還是古典概型呢？”學(xué)生討論之后得到了結(jié)論：如果通過分析題目可以得出樣本空間和數(shù)學(xué)表達(dá)式，就可以找到各自的幾何度量，而幾何度量是幾何概型的重要因素，那么我們就可以判斷這個事件為幾何概型。在這道題目中，牛奶售貨員送牛奶的時間段和小明同學(xué)上學(xué)的時間段分別構(gòu)成了各自的幾何度量，因此我們可以判斷這道題目為幾何概型。討論具有很多有利的因素，許多學(xué)生表示：“討論能夠形成一種良好的學(xué)習(xí)氛圍，能夠讓我們在快樂中學(xué)習(xí)，可以大膽地提出自己的問題，同時還培養(yǎng)了我們勤思考、大膽創(chuàng)新的好習(xí)慣?！?/p>

四、鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，拓寬探究的范圍

探究的目的是培養(yǎng)學(xué)生解決在日常學(xué)習(xí)中遇到的問題，進(jìn)而學(xué)會自主解決學(xué)習(xí)中的其他問題。因此，在學(xué)生遇到問題時，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生盡可能地發(fā)散思維，思考相關(guān)問題的解決方式，拓寬研究的范圍，借此更好地達(dá)到探究的效果。

例如，在教材上的閱讀內(nèi)容中，提到了我國宋朝時期著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中的隨機(jī)數(shù)表，它描述了這樣一個問題：有一個三角形樣的通道及下方相互隔離的儲槽，若把一粒球形小珠隨機(jī)放入最上方的通道入口，那么小珠落入每個儲槽的概率有什么規(guī)律？因為在上方的入口箭頭處隨機(jī)投入2n粒球形小珠，當(dāng)每粒小珠落下時，每到一層的分隔處都以二分之一的概率向左邊或向右邊的下一層垂直通道下落，所以在任何一層的兩個通道都只有一種可能情況，我們可以由此得到小球落入每個儲槽的概率公式。這時我們就會發(fā)現(xiàn)，這樣的模型我們很熟悉，因為在介紹正態(tài)分布的函數(shù)時，我們就引用了這樣一個模型：從高處隨機(jī)拋下一個小球，小球落在每個區(qū)間的概率是多少？因此，老師可以問學(xué)生：“由該規(guī)律數(shù)表，你們能夠得到什么結(jié)論？你們能夠聯(lián)想到其他什么知識？”教師通過引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生從概率數(shù)表聯(lián)想到二項分布的函數(shù)圖像，其實(shí)就是在相關(guān)知識點(diǎn)上拓展學(xué)生的研究范圍，幫助學(xué)生聯(lián)想擴(kuò)展，由已學(xué)知識進(jìn)一步解決更多的問題。

五、加強(qiáng)學(xué)生思維訓(xùn)練，增強(qiáng)探究的效能

學(xué)生探究思維的培養(yǎng)并非一日之功。在學(xué)生日常的學(xué)習(xí)中，教師鼓勵學(xué)生多加思考，更好地加強(qiáng)和鞏固學(xué)生的探究思維。

高中課本中的概率統(tǒng)計學(xué)，其實(shí)就是從隨機(jī)現(xiàn)象出發(fā)，推導(dǎo)這些現(xiàn)象發(fā)生的概率，形成一定的數(shù)學(xué)模型，得到一般的總結(jié)性規(guī)律，最后再將這些規(guī)律運(yùn)用到其他數(shù)學(xué)問題中去。因此，無論是隨機(jī)現(xiàn)象中的概率事件分類中，還是在對立事件的講解中，又或是在古典概型和幾何概型的學(xué)習(xí)中，教師都可以在每一堂課的學(xué)習(xí)過程中向?qū)W生提出一些探究式問題，如：“古典概型和幾何概型有哪些具體的應(yīng)用？”“概率事件能與哪些其他內(nèi)容聯(lián)系起來？”這類問題需要學(xué)生去自主學(xué)習(xí)、研究和探索，鼓勵同學(xué)之間相互交流。在經(jīng)過這樣長期的、持續(xù)的訓(xùn)練之后，探究性思考才能成為學(xué)生的一個習(xí)慣，而學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力也將因此得到很大的提高。

總之，統(tǒng)計和概率這部分內(nèi)容有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證性思維。學(xué)生會根據(jù)統(tǒng)計和概率中相關(guān)知識的特點(diǎn)去判定事件的類型，之后運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識去解決問題，求出概率或者得出統(tǒng)計的最終報告。