讓數(shù)學(xué)教學(xué)成為美的歷程
——以“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)為例

江蘇省泰州市姜堰區(qū)東橋小學(xué)教育集團(tuán) 秦月紅

英國(guó)哲學(xué)家伯特蘭·羅素指出，數(shù)學(xué)不僅擁有真理，而且還擁有至高無上的美。藝術(shù)之美顯而易見，而數(shù)學(xué)之美如同太陽光般絢麗多彩，卻以普通的白光示人。教師要善于挖掘素材，用智慧的“三棱鏡”在課堂上展現(xiàn)數(shù)學(xué)隱藏之美，撥動(dòng)數(shù)學(xué)“美”的琴弦。以下是以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”一課教學(xué)為例，挖掘素材，在數(shù)學(xué)審美教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻性與完美性。

一、用好教材中的審美元素，滲透數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)之美

教材中例1 呈現(xiàn)的是：用12 個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，有幾種不同的拼法。在集體備課時(shí)有的老師產(chǎn)生質(zhì)疑，動(dòng)手操作對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來說是否過于簡(jiǎn)單，能不能設(shè)計(jì)用想象來代替操作？教者認(rèn)為，在這里動(dòng)手操作是必不可少的。因?yàn)橛?2個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，不僅是簡(jiǎn)單的“擺一擺”的操作，還要通過寫乘法算式來想一想：“每行擺幾個(gè)，擺了幾行？”利用學(xué)生對(duì)“長(zhǎng)方形的面積”的認(rèn)識(shí)以及對(duì)應(yīng)的乘法算式的理解，初步形成數(shù)與形的統(tǒng)一，在數(shù)形結(jié)合中滲透“對(duì)應(yīng)之美”。

【片段一】

師：用12 個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，一共有幾種不同的擺法?

全班匯報(bào):

第一種: 每行擺12 個(gè)，擺了1行，乘法算式是1×12=12；

第二種：每行擺6 個(gè)，擺了2 行，乘法算式是2×6=12；

第三種：每行擺4 個(gè)，擺了3 行，乘法算式是3×4=12。

教師相機(jī)出示擺法，板書乘法算式。

問：還有不同的擺法嗎？

生：沒有。

問：我們的圖和算式可以任意調(diào)換順序嗎？為什么？

生1：不能，比如，每行擺12個(gè)，擺了2 行，就是表示2 個(gè)12，所以乘法算式是2×6=12，不可以用其他乘法算式表示。

生2：我們擺出的圖形和算式是一一對(duì)應(yīng)的，所以不能隨意調(diào)換。

兒童在各種活動(dòng)中得到很大的樂趣，而這種快樂就帶有美感。馬克思論勞動(dòng)，也說過美感是人使各種本質(zhì)力量能發(fā)揮作用的樂趣。通過“用12個(gè)同樣大小的正方形擺出不同的長(zhǎng)方形并寫出對(duì)應(yīng)的乘法算式”這個(gè)活動(dòng)，學(xué)生充分經(jīng)歷了“由形到數(shù)，再由數(shù)到形”的過程。“每行擺的個(gè)數(shù)”和“行數(shù)”都是“12”的因數(shù)，“12”是“每行擺的個(gè)數(shù)”和“行數(shù)”的倍數(shù)。圖形為概念的學(xué)習(xí)提拱了形象的支撐，讓學(xué)生深刻體會(huì)到圖形與乘法算式的對(duì)應(yīng)之美。

二、抓住課堂生成的資源，感受數(shù)學(xué)有序之美

“找出一個(gè)數(shù)所有的因數(shù)”是本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教者放手讓學(xué)生自主探索，必然出現(xiàn)了許多寶貴的錯(cuò)誤資源。比如：因數(shù)找錯(cuò)了，因數(shù)找多了，因數(shù)個(gè)數(shù)找少了……“怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，不重復(fù)也不遺漏呢？”這個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，只有讓學(xué)生自己經(jīng)歷了過程，才會(huì)有深刻的頓悟。利用錯(cuò)誤的資源和生成的資源互相評(píng)價(jià)，互相改進(jìn)，在思維碰撞中體會(huì)數(shù)學(xué)有序之美。

【片段二】

課件出示：找出36 的所有因數(shù)，說說你是怎樣找的？

展示作品1：

36 的因數(shù)：1，2，3，4，18，36。

提問：看一看這位同學(xué)找出的36的因數(shù)，誰來評(píng)價(jià)一下。

生評(píng)價(jià)：我覺得他找對(duì)了36 的6個(gè)因數(shù)，很好。另外，我覺得36 的因數(shù)還沒有找全。

生評(píng)價(jià)：這位同學(xué)前面的幾個(gè)因數(shù)是按一定順序排列的，非常好。他如果能想一想乘法算式，就不會(huì)少了。

生評(píng)價(jià)：他少了3 乘12 中的12，4 乘9 中的9，還有6 乘6 中的6，這三個(gè)因數(shù)。

展示作品2：

36 的 因 數(shù)：1，36；2，18；3，12；4，9；6，6。

提問：這位同學(xué)是怎樣找出36 的因數(shù)，你來評(píng)價(jià)一下？

生評(píng)價(jià)：他是一對(duì)一對(duì)地找的，不容易重復(fù)，也不會(huì)遺漏，我覺得很好。

生評(píng)價(jià)：我覺得兩個(gè)6，應(yīng)該只要寫一個(gè)就行了，這樣才不重復(fù)。

展示作品2：

36 的 因 數(shù)：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

談話：請(qǐng)這位同學(xué)說一說，你是怎么思考的？

生3：我把所有的因數(shù)找出來之后，按照一定的順序排列。

生評(píng)價(jià)：這樣可以讓我們看得更清楚，更有序。

生評(píng)價(jià)：我們可以一眼看出36 最大的因數(shù)是1，最小的因數(shù)是36。

學(xué)生的錯(cuò)誤可以成為教學(xué)內(nèi)容之一，它們可以被當(dāng)作一種資源，而不是障礙。教者讓學(xué)生自主探索36 的所有因數(shù)，并展示作業(yè)。通過學(xué)生之間的互評(píng)、互補(bǔ)，對(duì)找一個(gè)數(shù)所有因數(shù)的方法進(jìn)行完善，也就是學(xué)生口中的“不重復(fù)與不遺漏”。第二種方法是“成對(duì)”找出因數(shù)，第三種方法是學(xué)生通過乘法算式找出36 所有的因數(shù)后，再按一定的順序?qū)懴聛?。這兩種方法都有序地呈現(xiàn)了36 所有的因數(shù)。在課堂上，教師及時(shí)抓住生成資源，讓學(xué)生一邊尋找，一邊修改，一邊調(diào)整，最終感受到數(shù)學(xué)有序之美。

三、辨析相關(guān)知識(shí)的特征，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)深刻之美

學(xué)生早在二年級(jí)的時(shí)候，就認(rèn)識(shí)了“倍”這個(gè)概念，會(huì)解決“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”以及“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”等問題?！耙驍?shù)與倍數(shù)”概念的學(xué)習(xí)，也是建立在“倍”的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)之上，但又有所不同。學(xué)生通過一系列的乘法算式，認(rèn)識(shí)了兩個(gè)數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，對(duì)于“倍數(shù)”與“倍”可能在潛意識(shí)中造成了一定的混淆。教者精心設(shè)計(jì)了兩道判斷題，引導(dǎo)學(xué)生討論、辨析，目的是幫助學(xué)生厘清這兩個(gè)概念，讓“因數(shù)與倍數(shù)”的概念的學(xué)習(xí)更具深刻性。

【片段三】

辨析對(duì)錯(cuò)

（1） 0.8×3=2.4，那么2.4是0.8的3 倍。（ ）

（2） 0.8×3=2.4，那么2.4是0.8的倍數(shù)。（ ）

小組討論中出現(xiàn)了兩個(gè)不同的觀點(diǎn)，于是教師臨時(shí)組成辯論賽。

正方：兩題都是對(duì)的。

反方：第（1）題是正確的，第（2）題是錯(cuò)誤的。

正方觀點(diǎn)：兩題都是對(duì)的，2.4是0.8的3倍，所以2.4是0.8的倍數(shù)。我們根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的知識(shí)，積就是兩個(gè)乘數(shù)的因數(shù)。

反方觀點(diǎn)：第（1）題是正確的。請(qǐng)正方注意第（2）題，我們今天所學(xué)的因數(shù)與倍數(shù)是在不為0 的自然數(shù)中討論，兩個(gè)數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系不可以在小數(shù)中存在。

教師小結(jié)：“倍”是表示兩個(gè)數(shù)比較的一個(gè)結(jié)果，2.4 與0.8 兩個(gè)數(shù)相比，前一個(gè)數(shù)是后一個(gè)數(shù)的3 倍。而“倍數(shù)”表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，這兩個(gè)數(shù)一般是指非零自然數(shù)，因此不可以說2.4 是0.8 的倍數(shù)。

教材中明確指出因數(shù)與倍數(shù)是非0 自然數(shù)之間的一種關(guān)系，“倍數(shù)”是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，本質(zhì)上是建立在兩個(gè)數(shù)能整除的基礎(chǔ)之上，而“倍”是反映兩個(gè)量之間比較結(jié)果的概念，因此涉及的數(shù)范圍廣一些，可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等。學(xué)生在辨析的過程中打通了新舊知識(shí)的脈絡(luò)，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)深刻之美。

四、閱讀數(shù)學(xué)歷史文化，品味數(shù)學(xué)奇妙之美

教者把課本中的練習(xí)題作了一定的修改，“找出15 和16 的因數(shù)”改變?yōu)椤罢页? 和28 的因數(shù)”，目的是為了學(xué)生學(xué)習(xí)“完美數(shù)”做準(zhǔn)備。結(jié)合數(shù)學(xué)閱讀，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，認(rèn)識(shí)“完美數(shù)”的概念，感受數(shù)學(xué)家尋找“完美數(shù)”的艱辛歷程。以兩道討論題入手，讓學(xué)生思考、品味“完美數(shù)”的奇妙之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和對(duì)美的不斷追求。

【片段四】

談話：下面我們把目光聚焦到6和28 這兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)還蘊(yùn)藏著一個(gè)數(shù)學(xué)奧秘呢？同學(xué)們想知道嗎？

課件出示拓展閱讀：

最早發(fā)現(xiàn)完美數(shù)的是古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，完美數(shù)是指它所有的因數(shù)（除了它本身）相加的和，恰好等于這個(gè)數(shù)。目前數(shù)學(xué)家找到的第一個(gè)和第二個(gè)完美數(shù)是6 和28，第三個(gè)完美數(shù)是496，后面的完美數(shù)還有8128、 33550336等等。截至2018年，相關(guān)研究者已經(jīng)找到51 個(gè)完美數(shù)。

1.什么是完美數(shù)？

2.結(jié)合作業(yè)紙上找出的6 和28的因數(shù)說一說，這兩個(gè)數(shù)美在哪里？

“完美數(shù)”把一個(gè)數(shù)的美呈現(xiàn)得淋漓盡致，在學(xué)習(xí)了“因數(shù)與倍數(shù)”之后，一定要讓學(xué)生了解并認(rèn)識(shí)這些獨(dú)特、簡(jiǎn)潔、奇妙的數(shù)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知也是一種震撼。數(shù)學(xué)文化史展現(xiàn)的就是數(shù)學(xué)家們探索奇妙數(shù)學(xué)知識(shí)的艱辛歷程，數(shù)學(xué)課上帶領(lǐng)學(xué)生步入歷史的長(zhǎng)河，從文化的角度深入解讀數(shù)學(xué)，品味數(shù)學(xué)奇妙之美。

數(shù)學(xué)之美絢麗多彩，教師要有一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛，挖掘美的素材，撥動(dòng)數(shù)學(xué)“美”的琴弦，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)審美教育下不斷迸發(fā)智慧的火花。