連續(xù)梁橋地震反應(yīng)的頻域輔助體系傳遞矩陣法

楊 帆，喬文靖，周潤熙

(西安工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院,西安 710021)

地震是最具破壞性的自然災(zāi)害之一幾乎不可預(yù)測。地震時(shí)從震源釋放的能量以地震波的形式傳遞給地表，但由于地表的地形和地質(zhì)條件有差異，地震波到達(dá)地表的震動(dòng)就不同[1]。對(duì)于小跨徑橋梁一致輸入誤差很小，但是隨著連續(xù)梁橋的發(fā)展，其結(jié)構(gòu)墩高越來越高，橋梁跨度也越來越大，地震發(fā)生時(shí)不同橋墩或橋臺(tái)處的地面運(yùn)動(dòng)往往差別較大，因此需要考慮地震動(dòng)的空間變化效應(yīng)，即多點(diǎn)輸入問題[2]。地震作用下連續(xù)梁橋的動(dòng)力響應(yīng)快速計(jì)算一直是地震工程理論研究的重要課題。當(dāng)前，以離散結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ匠虨榛A(chǔ)，針對(duì)多點(diǎn)輸入應(yīng)用較為廣泛的是時(shí)程分析法[3-5]。

傳遞矩陣法因其精確度高且計(jì)算效率高的特點(diǎn)，已經(jīng)在動(dòng)力仿真領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]保留了傳遞矩陣法建模高效、計(jì)算快速的特點(diǎn)，提出了適用于非周期振動(dòng)系統(tǒng)的離散傳遞矩陣法。文獻(xiàn)[7-8]為提高變截面剛構(gòu)橋地震動(dòng)力時(shí)程分析的計(jì)算效率，提出了基于離散時(shí)間傳遞矩陣法的時(shí)程算法。文獻(xiàn)[9]基于Euler-Bernoulli曲梁理論，考慮材料沿拱厚度方向的改變，用傳遞矩陣法推導(dǎo)出變曲率拱的面內(nèi)自由振動(dòng)特征方程，并分析了曲率變化系數(shù)和材料體積分?jǐn)?shù)變化系數(shù)對(duì)變曲率拱面內(nèi)自由振動(dòng)頻率條件、厚度變化形式、厚度變化系數(shù)及長徑比對(duì)自由振動(dòng)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[10]采用梁理論，研究了熱環(huán)境下功能梯度材料圓梁的平面內(nèi)自由振動(dòng)。文獻(xiàn)[11-12]提出了一種考慮疊合界面摩擦效應(yīng)的特殊疊合梁自振頻率計(jì)算方法。假設(shè)梁按等波長或等剛度兩種形式振動(dòng)，運(yùn)用傳遞矩陣方法，推導(dǎo)出了簡支疊合梁自振頻率的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[13-14]結(jié)合精細(xì)積分和傳遞矩陣法對(duì)變厚度圓柱殼的自由振動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算。文獻(xiàn)[15-16]利用Cayley-Hamilton方法以及傳遞矩陣法結(jié)合研究結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[17]建立了一種基于支座加速度輸入的頻域地震反應(yīng)分析方法，研究了結(jié)構(gòu)在支座加速度輸入下的動(dòng)力反應(yīng)。

對(duì)于結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析，國內(nèi)外學(xué)者都做了大量研究。用傳遞矩陣法研究結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)還處于起步探索階段，文中采用輔助體系傳遞矩陣法與大質(zhì)量法相結(jié)合，在頻域內(nèi)建立多跨連續(xù)梁橋的地震反應(yīng)分析方法，基于以上理論編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，并進(jìn)行了算例分析。

1 輔助體系傳遞矩陣法的表示方法

單跨梁的空間振動(dòng)模型左截面各狀態(tài)變量為

Sl=

(1)

右截面各狀態(tài)變量為

Sr=

(2)

2 輔助體系法的基本原理

2.1 無質(zhì)量梁段的傳遞矩陣

根據(jù)傳遞矩陣法的基本原理，必有一矩陣T使得

(3)

2.2 集中質(zhì)量和大質(zhì)量的傳遞矩陣

集中質(zhì)量體是假設(shè)將質(zhì)量集中于無長度只有質(zhì)量的剛體，采用輔助體系法可以得到集中質(zhì)量體的點(diǎn)矩陣為

(4)

式中：mi為第i個(gè)集中質(zhì)量；ω為結(jié)構(gòu)圓頻率；Jxi為第i個(gè)集中質(zhì)量x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jyi為第i個(gè)集中質(zhì)量y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jzi為第i個(gè)集中質(zhì)量z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

大質(zhì)量法是進(jìn)行多點(diǎn)加速度輸入分析的一種動(dòng)力等效方法，在處理多點(diǎn)激勵(lì)問題時(shí)，需釋放地面支承點(diǎn)沿地震動(dòng)方向的約束，并在支承點(diǎn)處加遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量的大質(zhì)量，地面加速度以等價(jià)力的形式加在大質(zhì)量上。

結(jié)構(gòu)存在瑞雷阻尼時(shí)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)傅里葉頻域方程就可以得到瑞雷阻尼頻域點(diǎn)矩陣為

(5)

3 輔助體系與大質(zhì)量傳遞矩陣

對(duì)連續(xù)梁橋進(jìn)行多點(diǎn)激勵(lì)下的地震反應(yīng)分析時(shí)，可以將上部結(jié)構(gòu)的梁和橋墩離散成無質(zhì)量的直線梁段以及僅含質(zhì)量的剛體。并在與地面支承處附加大質(zhì)量，連續(xù)梁橋計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 地震激勵(lì)下連續(xù)梁橋計(jì)算模型

將連續(xù)梁橋體系的場矩陣、集中質(zhì)量傳遞矩陣和大質(zhì)量m0的傳遞矩陣整合，可以建立整個(gè)連續(xù)梁橋的總空間傳遞矩陣。若整個(gè)結(jié)構(gòu)被劃分為n段，則第截面的狀態(tài)向量Sn與初始端狀態(tài)向量S0之間的空間性態(tài)傳遞關(guān)系為

(6)

式中：T為多點(diǎn)激勵(lì)下連續(xù)梁橋地震反應(yīng)分析的頻域總空間傳遞矩陣；Ti(i=1,2,…,n)為第i段梁的傳遞矩陣。 將直線梁兩端的邊界條件代入式(6)，就可以求出直線梁在地震作用下的初始狀態(tài)量S0。通過快速傅里葉變換可以求得結(jié)構(gòu)與之對(duì)應(yīng)的時(shí)域動(dòng)力反應(yīng)。

4 算例分析

某鋼筋混凝土3跨連續(xù)箱梁橋，箱梁橫截面尺寸如圖2所示(C點(diǎn)為截面形心)。墩高60 m，橋跨45 m，考慮結(jié)構(gòu)的剪切變形。梁的基本參數(shù)如下：彈性模量E=3×104MPa，剪切彈性模量G=0.425E，泊松比μ=1.2，截面慣性矩Iy=29.25m4，截面慣性矩Iz=82.14 m4，截面慣性矩It=41.72 m4。支座采用橡膠支座，其基本參數(shù)如下：支座高度D=0.04 m，橫截面積A=0.03 m2，彈性模量為3×104E，剪切彈性模量G=0.425E，泊松比μ=1.2。橋墩采用矩形墩，其基本參數(shù)如下：橫截面積為8 m2，彈性模量、剪切彈性模量、泊松比取值同支座，截面慣性矩Iy,Iz,It依次為17.67 m4,25.67 m4,31 m4。計(jì)算時(shí)輸入的波為遷安地震波的地震記錄，地震波持續(xù)時(shí)間為20 s，1號(hào)臺(tái)、2號(hào)墩、3號(hào)墩及4號(hào)臺(tái)的地震波輸入相差0.04 s，采用瑞雷阻尼，取結(jié)構(gòu)的瑞雷阻尼比為0.05。結(jié)構(gòu)計(jì)算模型如圖3所示。

圖2 箱梁橫截面尺寸(單位：cm)

圖3 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型(單位：m)

將結(jié)構(gòu)離散成無質(zhì)量的梁段以及僅含質(zhì)量的剛體，將梁分為8個(gè)僅含質(zhì)量的剛體，梁的質(zhì)量體質(zhì)量m1=4.04×105kg，將墩分為4個(gè)僅含質(zhì)量的剛體，墩的質(zhì)量體質(zhì)量m2=3×105kg，基于輔助體系傳遞矩陣法求解該結(jié)構(gòu)體系的自振頻率。

在地面支承處加大質(zhì)量輸入地震加速度，基礎(chǔ)大質(zhì)量，此時(shí)基礎(chǔ)的邊界條件釋放水平方向的約束，由原來的固定端變成滑動(dòng)支座，其計(jì)算簡圖如圖4所示。

圖4 地面支承處加大質(zhì)量計(jì)算簡圖

采用輔助體系大質(zhì)量傳遞矩陣法，對(duì)該連續(xù)梁橋加載地震波進(jìn)行計(jì)算，得到2號(hào)墩和3號(hào)墩頂點(diǎn)的位移時(shí)程曲線如圖5所示；地震波作用下結(jié)構(gòu)跨中軸力和軸向位移的傅里葉譜如圖6所示，地震波作用下結(jié)構(gòu)跨中軸力和軸向位移經(jīng)過快速傅里葉變換的時(shí)程曲線如圖7所示。由圖5～7可知，多跨連續(xù)梁橋位移和軸力響應(yīng)均可精確表達(dá)，表明輔助體系大質(zhì)量傳遞矩陣法對(duì)多跨連續(xù)梁橋進(jìn)行地震分析有效可行。

圖5 墩頂點(diǎn)的位移時(shí)程曲線

圖6 結(jié)構(gòu)跨中地震反應(yīng)的傅里葉譜(遷安波)

圖7 結(jié)構(gòu)跨中地震反應(yīng)的時(shí)程曲線(遷安波)

5 結(jié) 論

1) 將輔助體系傳遞矩陣法與大質(zhì)量法結(jié)合進(jìn)行橋梁地震反應(yīng)分析，得到地震作用下連續(xù)梁橋的內(nèi)力和變形傅里葉譜及時(shí)程曲線。結(jié)果表明輔助體系傳遞矩陣法實(shí)現(xiàn)了連續(xù)梁橋地震反應(yīng)的高精度分析，避免了對(duì)微分方程的求解，大質(zhì)量法可解決地震波多點(diǎn)輸入的問題。

2) 以多跨連續(xù)梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)文中提出的輔助體系傳遞矩陣法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法用于橋梁地震反應(yīng)分析有效可行。該方法理論上也可用于曲線橋、拱橋等橋型的多點(diǎn)輸入地震分析，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)形式橋梁，傳遞矩陣表達(dá)方式不同，需要進(jìn)一步分析研究。