淺談電動(dòng)力學(xué)中的對(duì)稱思想

肖慧寧

(石河子大學(xué)理學(xué)院物理系應(yīng)用物理學(xué)專業(yè) 新疆 石河子 832003)

在《莊子 天下》中有這樣一句話，“判天地之美，析萬(wàn)物之理”。意思是能夠體會(huì)天地萬(wàn)物的美麗，能夠了知天地萬(wàn)物的生存道理。在物理這門自然科學(xué)中，就包含了許多美學(xué)思想，而在電動(dòng)力學(xué)這門課中，體現(xiàn)最多的莫過(guò)于對(duì)稱美了。

1.對(duì)稱思想

什么是對(duì)稱？對(duì)稱是指對(duì)某個(gè)物體施加某種操作，操作前后的情況相同。對(duì)稱美在自然界中有很多體現(xiàn)，對(duì)稱的思想也早已滲透到人們的心中。對(duì)稱分很多種：左右對(duì)稱，中心對(duì)稱，平移對(duì)稱等等。自然界的很多物體都是對(duì)稱的，正如一片雪花，一朵向日葵都是中心對(duì)稱的，而生物體的身體外形都是左右對(duì)稱的；我們?cè)谏钪幸部傋非笠环N對(duì)稱的和諧美，例如，我們的建筑總是追求左右對(duì)稱，故宮、天壇這些名勝古跡就是很好的例子。在我們學(xué)習(xí)生活中，也經(jīng)常會(huì)接觸到對(duì)稱。在自然科學(xué)里，對(duì)稱原理是自然科學(xué)理論構(gòu)建的基本法則：數(shù)學(xué)中的等式，物理中的方程，化學(xué)里的反應(yīng)式等，這些學(xué)科中都包羅著對(duì)稱的美學(xué)思想；同樣，人文科學(xué)也離不開(kāi)對(duì)稱，我們以一些詩(shī)詞古文為例：“物華天寶，人杰地靈”，“海闊憑魚(yú)躍，天高任鳥(niǎo)飛”，“非淡泊無(wú)以明志，非寧?kù)o無(wú)以致遠(yuǎn)”。這些詩(shī)句讀起來(lái)朗朗上口，很有氣勢(shì)，正是因?yàn)樗鼈兊膭?chuàng)作是講究對(duì)稱的。

在物理的各個(gè)分支中，也存在許多對(duì)稱：在力學(xué)中，自由落體和豎直上拋在同一位置對(duì)應(yīng)的物理量對(duì)稱；在光學(xué)中，光的反射、折射、干涉、衍射都具有實(shí)物對(duì)稱美；在電磁學(xué)中，電場(chǎng)線和等勢(shì)面的分布也具有對(duì)稱美。同時(shí)，物理規(guī)律也具有對(duì)稱性：在北京的物理定律和南京的物理定律是一樣的，這體現(xiàn)了物理定律的空間平移對(duì)稱性；兩千年前古時(shí)的物理規(guī)律和兩千年后的現(xiàn)在是一樣的，這體現(xiàn)了物理規(guī)律的時(shí)間平移對(duì)稱性……

2.電動(dòng)力學(xué)中的對(duì)稱

2.1 電與磁的對(duì)稱。在電動(dòng)力學(xué)中，最基本的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)定律為庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律，由此可得靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布的積分形式和恒定電流激發(fā)的磁場(chǎng)分布規(guī)律的積分形式：

我們?cè)賮?lái)看電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，最美物理方程之一——麥克斯韋方程組：

它將高斯定理、法拉第電磁感應(yīng)定律、安培環(huán)路定理統(tǒng)一起來(lái)，完美地呈現(xiàn)了電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)化所產(chǎn)生的對(duì)稱性，并統(tǒng)一了電磁場(chǎng)。就像一面鏡子的兩邊，一邊是“電”、一邊是“磁”，變化的電場(chǎng)可以激發(fā)磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)又能反過(guò)來(lái)激發(fā)電場(chǎng)，二者相互激發(fā)，互為因果，相輔相成。在麥克斯韋提出這組方程后，電和磁理論從此走向統(tǒng)一，兩者由分離存在而合成了一個(gè)“電磁場(chǎng)”。

在電磁理論中，很多引入的物理量都表現(xiàn)出電與磁的對(duì)稱性。例如，點(diǎn)電荷和電流元，電場(chǎng)線和磁感線，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，介電常數(shù)與磁導(dǎo)率等等。為了便于記憶，讓知識(shí)體系更加系統(tǒng)，現(xiàn)整理一些電磁場(chǎng)中對(duì)應(yīng)的物理量如下：

這樣，在記住電場(chǎng)中的公式后，磁場(chǎng)中的公式就很容易類比地寫出來(lái)。我不由感嘆，物理學(xué)家在引入符號(hào)和公式時(shí)，盡可能朝簡(jiǎn)單、對(duì)稱和諧的方向努力，使得我們現(xiàn)在看到的電磁場(chǎng)理論如此系統(tǒng)完美。

DeviceManager.GetInstance().DeviceAtIndex(EnumDevice.AI16AO2).ReadData(ref data,1); //設(shè)備調(diào)用，獲得經(jīng)過(guò)濾波處理的數(shù)據(jù)

2.2 解題中由對(duì)稱思想引入的簡(jiǎn)化。

2.2.1 分離變量法中軸對(duì)稱引入的簡(jiǎn)化。在許多實(shí)際問(wèn)題中，靜電場(chǎng)的性質(zhì)取決于帶電導(dǎo)體的電荷分布，這些問(wèn)題的本質(zhì)歸結(jié)于自由電荷只出現(xiàn)在導(dǎo)體的表面，而在空間的其他位置沒(méi)有其他電荷的分布。此時(shí)，可以將導(dǎo)體表面作為該區(qū)域的邊界，則在該區(qū)域內(nèi)部，自由電荷密度ρ，則泊松方程可化為較簡(jiǎn)單的拉普拉斯方程：▽2φ=0,其通解可由分離變量法求出：

(在球坐標(biāo)中)

這時(shí)的通解看起來(lái)比較復(fù)雜，但若在具體問(wèn)題中具有對(duì)稱軸，通解的形式就會(huì)大大得到簡(jiǎn)化，下面舉例說(shuō)明。

例1:一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球(R1

圖1 具有球?qū)ΨQ性的導(dǎo)體球

將φ1,φ2代入邊界條件，可解出a，b,c,d由此得出：

例2：電容率為ε的介質(zhì)球置于均勻外場(chǎng)E0中，求電勢(shì)。

圖2 具有軸對(duì)稱性的介質(zhì)球

如圖2，研究對(duì)象為置于均勻外場(chǎng)中的介質(zhì)球，此時(shí)具有軸對(duì)稱性。以φ1代表球外區(qū)域電勢(shì)，φ2代表球內(nèi)區(qū)域電勢(shì)，則可設(shè)

其中，anm,bnm,cnm和為待定常數(shù)。再根據(jù)題目列出邊界條件，代入即可求解。

由以上兩例可見(jiàn)，對(duì)于可用分離變量法解決的問(wèn)題，首先應(yīng)該畫(huà)出題目的模型簡(jiǎn)化圖，找出模型的對(duì)稱軸，充分利用其對(duì)稱性，可使通解形式變得更加簡(jiǎn)潔，大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

2.2.2 由對(duì)稱思想產(chǎn)生的“鏡像法”。當(dāng)區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面時(shí)，利用對(duì)稱思想可以很大地簡(jiǎn)化問(wèn)題，簡(jiǎn)單快速進(jìn)行解答。假設(shè)點(diǎn)電荷周圍有一個(gè)導(dǎo)體，在點(diǎn)電荷的作用下，導(dǎo)體上出現(xiàn)感應(yīng)電荷?！扮R像法”利用電場(chǎng)中的對(duì)稱性，用導(dǎo)體內(nèi)部的一個(gè)或多個(gè)假想電荷來(lái)替代導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷對(duì)空間的電場(chǎng)產(chǎn)生的影響。此時(shí)，空間中的電荷分布沒(méi)有改變，因此泊松方程也不變，只要確保這種代換使邊界條件得到滿足，問(wèn)題就可以簡(jiǎn)單地解決。下面舉例說(shuō)明。

例3：接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷Q，求空間中的電場(chǎng)。

無(wú)限大接地平面導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，在Q的作用下，導(dǎo)體板上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷。此時(shí)空間中的電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷Q和感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，導(dǎo)體表面為零勢(shì)能面，電場(chǎng)線與導(dǎo)體表面處處垂直。

圖3 引入“鏡像電荷”后的空間電場(chǎng)分布

如圖3，我們?cè)O(shè)想導(dǎo)體板為一面“鏡子”，在下面關(guān)于“鏡子”對(duì)稱的地方有一個(gè)假想電荷(“鏡像電荷”)-Q，此時(shí)抽取導(dǎo)體板，電場(chǎng)線與原導(dǎo)體板平面仍處處正交，邊界條件得到滿足。此時(shí)，導(dǎo)體板上部空間的電場(chǎng)可看作由原電荷Q和“鏡像電荷”-Q共同激發(fā)的，將Q在導(dǎo)體板上的投影點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Q到導(dǎo)體板的距離為a，則空間一點(diǎn)的電勢(shì)為

通過(guò)上面的例子，我們可以看出，充分地利用問(wèn)題中的對(duì)稱性，巧妙地將感應(yīng)電荷用“鏡像電荷”代替，可以化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題，快速找到問(wèn)題的解。

3.美學(xué)是發(fā)現(xiàn)真理的向?qū)?/h2>

物理學(xué)家費(fèi)曼認(rèn)為，科學(xué)的第一步是猜想，這是一個(gè)靠自己的美學(xué)直覺(jué)去發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。自然中真的東西必然表現(xiàn)出令人震撼的美，美是發(fā)現(xiàn)真理的向?qū)?，科學(xué)家們朝著美的方向，努力探索自然規(guī)律，深入分析事物的內(nèi)在矛盾，發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，構(gòu)筑質(zhì)樸統(tǒng)一和諧理論體系。

除了對(duì)稱美，物理學(xué)的美還體現(xiàn)在其他方面：物理公式和定理總是追求統(tǒng)一美，比如牛頓力學(xué)中的萬(wàn)有引力是“平方反比”的形式，而電磁場(chǎng)中的庫(kù)侖定律也是“平方反比”的形式；愛(ài)因斯坦晚年一直致力于的“統(tǒng)一場(chǎng)論”，也是為了將四種相互作用統(tǒng)一起來(lái)。物理模型和理論總是追求簡(jiǎn)單美，在哥白尼發(fā)現(xiàn)日心說(shuō)前，人們一直認(rèn)為地球是宇宙的中心，太陽(yáng)，月亮，行星和恒星都繞著它運(yùn)動(dòng)，為了說(shuō)明這些行星的運(yùn)動(dòng)軌跡，物理學(xué)家們認(rèn)為它們沿附在相應(yīng)天球上的更小的圓周運(yùn)動(dòng)。盡管這種模型十分復(fù)雜，但是由于這滿足了當(dāng)時(shí)的基督教會(huì)奉行的理論，于是被普適接受。后來(lái)，當(dāng)實(shí)際觀測(cè)水平的提高和觀測(cè)數(shù)據(jù)的增加，哥白尼提出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的模型——太陽(yáng)位于中心，地球和行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，這個(gè)理論的提出，使天體的運(yùn)動(dòng)變得簡(jiǎn)單了許多，于是逐漸被大眾所接受。在簡(jiǎn)單和復(fù)雜之間，物理學(xué)家一定會(huì)選擇最簡(jiǎn)潔的形式，來(lái)揭示這個(gè)世界的真相。

盡管很多物理理論都會(huì)表現(xiàn)出對(duì)稱性和完美性，我們也不能否定一些導(dǎo)致不完美的“破缺”。完美的東西固然是美的，但是不完美往往能引出一系列前所未有的發(fā)現(xiàn)。追求完美固然不錯(cuò)，但是物理學(xué)家在發(fā)現(xiàn)了不完美后，不是去遺憾這種“不完美”，而是去努力發(fā)現(xiàn)這種“不完美”背后的原因，從而獲得一些新的發(fā)現(xiàn)。同時(shí)，正是因?yàn)椴煌昝赖拇嬖?，才使得這個(gè)世界變得如此多姿多彩。

我們?cè)趯W(xué)物理時(shí)，并在掌握基本公式定理的同時(shí)，要對(duì)所有學(xué)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比，觸類旁通，舉一反三，將不同的課程聯(lián)系起來(lái)，發(fā)掘它們之間的聯(lián)系與差異。還應(yīng)深入思考，理解它們內(nèi)在的思想，探尋物理學(xué)家們引入物理定義和物理符號(hào)時(shí)的用心，這樣既可以更深地領(lǐng)悟物理定律背后的美學(xué)思想，又能反過(guò)來(lái)更好地理解我們的物理理論。

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