楊魁平
(貴州省遵義市第五十五中學 貴州 遵義 563000)
相傳古羅馬的亞歷山大城當中有擅長物理、數(shù)學的學者,有一天,羅馬將軍要拜訪他,于是將軍向?qū)W者請教一個問題“將軍從A軍營出發(fā),到河邊先飲馬,之后去河岸的同側(cè)B處宿營,如何行走路程才會最短”。飲水點屬于重點,解決問題過程當中需要構造出對稱點,尋找飲馬的最短距離。部分中學生在求解此類問題時不知如何入手,因此需要教師加以指導,幫助其找到解題思路。
初中生要解決“將軍飲馬”這類動點問題,需要明確相關概念,包括動點、定點與對稱點,其中,動點就是“飲馬點”,定點就是題干當中給定的固定點,而對稱點就是通過作圖而得到的點,也就是解題過程需要連接的點。部分學生在求解此類問題時,可能存在如下困惑:
第一,怎么尋找對稱點,做哪個點的對稱點?簡單而言,就是題目當中所需要找出的對稱點,因為問題當中給出的都是定點,因此,需要利用定點才能尋找對稱點。部分中學生由于不了解作對稱含義,所以,對稱點的尋找可能存在困難。對此,需要明確對稱對象為一條直線,并非一個點,只有找到具體直線,才能順利找出動點所在的直線[1]。
第二,做對稱之后應該和誰連接?做完對稱以后應該與另外定點相連接,不可以將其和動點相連,需要學生明確定點對稱點仍然為定點這一概念,才能找到連接點。
第三,所求動點如何確認?中學生在求解“將軍飲馬”這類問題的時候,應該明確所求之點應該為圖上交點,具體而言就是已知直線、所做直線二者之間交點。
2.1 “一線兩點”同側(cè)類型。已知,如圖1所示,BN垂直EF,AM垂直EF,M、N分別為垂足,且MN等于12m,BN等于4m,AM等于5m,P點在EF上為動點,那么PA和PB之和的最小值是多少?
此問題屬于“將軍飲馬”模型的應用,在題干當中,A和B兩點屬于定點,P為動點,解決問題時,需要利用“定點定線”來“作對稱”,解決問題時,可以先找出A點關于直線EF對稱點,即A',然后根據(jù)兩點間線段最短作輔助線,將點A'和點B相連,這時即可推導出“A'P和PB的和就是A'B,也就是最短距離”。解決問題的時候,需要先構造出直角三角形,之后利用勾股定理求解具體問題。
“一線兩點”類型的將軍飲馬問題可能還會以變式的形式出現(xiàn),如圖2所示,三角形ABC為正三角形,邊長是4,AB、AC、BC邊上分別有三點E、F、G,且均為中點,EF邊上有一動點P,求三角形BPG周長最小值?
針對此問題深度分析,可以根據(jù)三角形的邊長和中點性質(zhì),判斷出BG的長度是2,利用轉(zhuǎn)化思想得出求三角形BPG周長最小值就是求BP和PG和最小值,因此,能夠判斷出該問題也是“將軍飲馬”的“一線兩點”類型,因此,解題過程可以尋找G點關于直線EF對稱點,部分學生可能難以直觀看出對稱點,對此,可以將AG相連接,根據(jù)“三線合一”,可知AG和BC垂直,之后將EG相連,據(jù)“直角三角形的斜邊中線為其一半”能夠得出,AE和EG相等,就可順利知道G點關于直線EF的對稱點就是點A,在計算周長問題時,需要將BG的長度考慮其中。連接AG以后,可知PA和PG相等,也就是PB與PG的和、BP與PA的和相等,即A、B、P三個點共線的時候,BP和PG的和最短,等于AB,故三角形BPG最短周長是6。
2.2 “兩線一點”類型。在“將軍飲馬”模型當中,存在“兩線一點”類型的習題,如圖3所示,三角形ABC當中,AB和AC均為10,BC中點是D,AD的長度是6,AD上存在動點P,AC邊上存在動點E,試求PC與PF之和最小值?
對于此類題型進行分析,可知定點為C,動點分別是P和E,所屬“將軍飲馬”類模型,因為三角形ABC是等腰三角形,且AD為BC邊上的中線,AD是BC的垂直平分線,B、C兩點關于AD對稱,可知,PE、PC之和、PE、PB之和相等,因此,很明顯可以看出B、P、E共線的時候,線段BE的距離較短,但是卻不是最短的,此時,按照“垂線段最短”定理,可知,BE垂直AC的時候,BE的長度(也就是PC+PF)最短,因此,可以利用面積法進行求解。解題過程,可以作BE垂直AC,和AD的交點是P,因為AD和BC垂直,由勾股定理知道CD為4,進而BC為8,根據(jù)等積法,可求出BE等于9.6[2]。
2.3 “兩線兩點”類型?!皟删€兩點”類型,如圖4所示已知A、B為銳角∠MON內(nèi)兩個定點;要求在OM上找一點P,在ON上找一點Q,使四邊形APQB的周長最小。解答此類問題找到兩線是關鍵,如何找到兩線呢,先明確動點在哪條線上找(如圖4中OM,ON),哪條線就為對稱線,再找到兩定點如圖4中A,B,作點A關于直線OM的對稱點A′。解答方法:作點B關于直線ON的對稱點B′,連接A′B′交OM于P,交ON于Q,則點P、點Q即為所求,此時四邊形APQB周長的最小值即為線段AB和A′B′的長度之和;理由:AB長為定值,由基本模型將PA轉(zhuǎn)化為PA′,將QB轉(zhuǎn)化為QB′,當A′、P、Q、B′四點共線時,PA′+PQ+QB′的值最小,即PA+PQ+QB的值最小。
總之,針對初中數(shù)學“將軍飲馬”這類動點問題的求解,需要明確初中生的學習障礙,使其明確問題本質(zhì),針對不同的題型,給出解題指導。只有中學生掌握問題的本質(zhì),才能根據(jù)不同類型問題,尋找問題的解決方法,高效學習動點問題,靈活運用“將軍飲馬”這類數(shù)學模型。