實系數(shù)多項式因式分解的一種矩陣初等變換法

張 楠，梅月蘭，王 雙*

(1.鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 鹽城 224002；2.昆明理工大學(xué) 城市學(xué)院，云南 昆明 650051)

本文運用矩陣的初等變換法討論實系數(shù)多項式在實數(shù)域內(nèi)的因式分解問題，建立有重因式的實系數(shù)多項式在實數(shù)域內(nèi)的因式分解新方法，以將已有的關(guān)于整系數(shù)域內(nèi)的多項式因式分解的相關(guān)結(jié)果推廣到實系數(shù)域.

1 初等變換的基本內(nèi)容

定義稱一個以R[x]中的多項式為元素的矩陣為x-矩陣，并稱x-矩陣的以下3種變換為初等變換：①矩陣的兩行互換位置；②矩陣的某一行乘以一個非零常數(shù)；③矩陣的某一行的φ(x)倍加到另一行,其中φ(x)是R[x]中的一個多項式[5].

2 主要結(jié)果

進一步，d(x)是f(x)與f'(x)的最大公因式，且滿足d(x)=u(x)f(x)+v(x)f'(x).

證明由于f(x)存在重因式，則f(x)與f'(x)均不為零.顯然f'(x)必為二者中次數(shù)較低的多項式，于是將f'(x)乘以一個適當?shù)亩囗検娇梢韵(x)的最高項,此時矩陣A(x)的第1列變?yōu)閞1(x)與f'(x)，存在q1(x)滿足

f(x)=f'(x)q1(x)+r1(x).

若r1(x)=0，則d(x)=cf'(x)，其中cR.若r1(x)≠0，則重復(fù)上述過程.由于f(x)與f'(x)的次數(shù)有限，經(jīng)過有限次初等行變換,必然出現(xiàn)矩陣的第1列僅有1個非零元素F(x),而其他元素均為零,則d(x)=cF(x).

上述過程用矩陣初等行變換可表示為

由A(x)經(jīng)過初等行變換得到B(x),使T(x)A(x)=B(x),T(x)可逆,那么A(x)=T-1(x)B(x)，便有f(x)=d(x)u1(x)，f'(x)=d(x)s1(x)，于是d(x)是f(x)與f'(x)的公因式.

又因為T(x)A(x)=B(x)，便有d(x)=u(x)f(x)+v(x)f'(x).設(shè)h(x)是f(x)，f'(x)的任意公因式，因為h(x)|f(x)，h(x)|f'(x)，所以h(x)一定整除它們的組合u(x)f(x)+v(x)f'(x)=d(x)，即h(x)|d(x).

于是d(x)可被f(x)與f'(x)的任一公因式整除，故d(x)是f(x)與f'(x)的最大公因式.證畢.

由定理1可知，若f(x)存在重因式,則d(x)必為f(x)的一個因式,即存在g(x)，使得f(x)=d(x)g(x).若d(x)，g(x)均有重因式，則可重復(fù)上述矩陣初等變換的方法，分別求得d(x)，g(x)的因式，依次可對f(x)進行因式分解.

3 舉例說明

運用矩陣的初等變換法對以下3個含有重因式的多項式進行因式分解.

則：f(x)=d(x)q(x)

例2 求多項式f(x)=x4-4x3+6x2-4x+1在實數(shù)域的因式分解式.

解先求得f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x3-12x2+12x-4，利用矩陣初等行變換方法可得：

類似地,可將x3-3x2+3x-1分解為(x-1)3，從而f(x)=(x-1)4.

注：本題直接運用了矩陣的初等變換法對高次多項式進行分解因式,按照固定的步驟可簡單明了地得到多項式的一個因式.若解題過程中不能直接看出的因式，可以繼續(xù)重復(fù)上述步驟對d(x)進行因式分解.

4 結(jié)束語

利用矩陣的初等變換法,可以對存在重因式的實系數(shù)多項式在實數(shù)域進行因式分解，并將已有的關(guān)于整系數(shù)域內(nèi)的多項式因式分解的相關(guān)結(jié)果推廣到實系數(shù)域.使用該方法的前提是所分解的多項式存在重因式，即可通過矩陣初等變換法求多項式及其導(dǎo)數(shù)的最大公因式,從而得到多項式的一個因式.該方法可以在很大程度上簡化繁雜的計算過程.