基于模糊聚類和房價擾動的城市排名問題研究

劉云芬，張小思，楊奧莉，李 茸，李志超

(湖北師范大學 數學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

1 模糊聚類

聚類分析是指用數學方法定量地確定樣本間的親疏關系，從而客觀地劃分樣本的所屬類型.當聚類涉及事物之間的模糊界限時，需運用模糊聚類分析方法.模糊聚類分析法的基本步驟如下[1].

1)確定分類對象，抽取因素依據.設分類對象全體為X=(x1,x2,…，xn)'，每1個對象xi由1組數據xi=(xi1,xi2,…，xim)R+,i=1,2,…，n來表征，則得到原始數據矩陣X=(xij)n×m.

2)對原始數據進行標準化處理.本研究基于最小-最大標準化方法對原始矩陣X進行標準化處理，具體計算公式為：

(1)

3)建立模糊相似關系矩陣.用數rij[0，1]來刻畫對象xi和xj的相似程度，下文基于文獻[1]的最小-最大標準化方法建立模糊相似矩陣，其公式如下：

(2)

4)求模糊相似矩陣的傳遞閉包，公式為：

(3)

5)基于相似矩陣的傳遞閉包，對于不同的截集水平，得到不同的分類結果，必要時繪制動態(tài)聚類分析譜系圖.

2 房價影響因素分析

2.1 房價影響因素的優(yōu)化選擇

普通商品房的房價問題一直是人們關注的熱點，影響房價的因素有很多，眾多學者從不同視角對房價影響因素進行了多方面的探討.本研究基于文獻分析，在經濟水平因素[2-4]、政策因素[5-6]和供需因素[7-9]等視角下，采用回歸分析[10-11]、灰色關聯(lián)理論[12]等典型的數學方法，選取地區(qū)生產總值、竣工房屋面積、地區(qū)公共預算收入和年末總人口4個指標作為房價的影響因素進行模糊聚類分析.

2.2 數據來源與分析

收集整理了2010—2016年上海、南京、成都、南昌、貴陽、武漢6個典型城市的平均房價、地區(qū)生產總值等5項評價指標的相關數據.其中，2016年典型城市5項評價指標的相關數據見表1，其他年份的數據資料詳見中華人民共和國國家統(tǒng)計局國家數據網，因受篇幅所限，不在文中一一列出.

表1 2016年典型城市5項評價指標的相關數據

2.3 城市聚類過程分析

利用公式(1)，基于Matlab的mapminmax函數對表1中地區(qū)生產總值、竣工房屋面積、地區(qū)公共預算收入和年末總人口4個因素的對應數據進行標準化處理，得到矩陣為：

易先生站在他太太背后看牌，撳滅了香煙，抿了口茶，還太燙。早點睡——太累了一時松弛不下來，睡意毫無。今天真是累著了，一直坐在電話旁邊等信，連晚飯都沒好好地吃。

按照公式(2)，基于Matlab求得X的模糊相似矩陣：

按照公式(3)，基于Matlab求得相似矩陣R的傳遞閉包為：

基于上述傳遞閉包，繪制2016年6個典型城市的聚類分析譜圖如圖1所示.

圖1 2016年6個典型城市的聚類分析譜圖

用相同的方法，基于上述4個因素對2010—2015年6個典型城市的相關數據進行聚類分析，因受篇幅限制，2010—2015年聚類譜圖不在文中列出.截集水平值(λ)可以由傳遞閉包矩陣中的元素給定，但是，截集水平值若選取過高，各城市會各自分為一類；截集水平值若選取過低，會導致各城市全部聚為一類.為了更好地進行對比分析，同時客觀反映武漢市和其他城市聚類結果的聯(lián)系，本研究中截集水平值全部選為大于0.6，根據不同的截集水平得到6個城市4因素聚類分析結果見表2.

表2 6個城市4因素聚類分析結果

為了進一步研究武漢房價對城市排名的影響，在原有4個城市經濟發(fā)展評價指標的基礎上添加了平均房價影響因素.基于模糊聚類法分析2010—2016年6個典型城市5項評價指標的相關數據，得到6個城市5因素聚類分析結果見表3.

表3 6個城市5因素聚類分析結果

2.4 2次聚類結果的比較分析

由圖1可以看出，依據所選的4個城市經濟發(fā)展評價指標選取不同的截集水平值，得到的分類結果不同.當截集水平λ>0.7341時，上海一類，南京和武漢一類，成都、南昌、貴陽各自一類.進一步分析可知，當截集水平λ>0.6172時，上海、成都為一類，南京、武漢為一類，南昌、貴陽各為一類.基于圖1中的模糊聚類結果，結合城市經濟發(fā)展水平將6個典型城市分為5類，上海屬于第1類，成都屬于第2類、南京和武漢屬于第3類、南昌和貴陽分別屬于第4、第5類.

分析表2可知，2010—2016年6個典型城市中，上海的經濟發(fā)展水平歸屬于第1類、成都為第2類、南京為第3類、南昌為第4類、貴陽為第5類、武漢介于第2類和第3類之間.

比較分析表2和表3可知，2次聚類結果基本相同.表3中6個典型城市的經濟發(fā)展水平各自為一類，武漢的城市經濟發(fā)展水平還是介于南京和成都之間，僅在2011年和2012年的分類中存在細微差異，其他年份的2次聚類結果完全一致.

2011年和2012年武漢城市經濟發(fā)展水平存在差異，一方面是受政府政策宏觀調控的影響，導致武漢城市聚類結果在南京和成都之間擺動；另一方面是受到武漢市房地產價格波動的影響，但這不是決定性的因素.總體來看，2次聚類結果存在的差異并不大，說明只要城市的經濟指標保持相對穩(wěn)定，城市發(fā)展水平也會相應比較穩(wěn)定.

3 結束語

利用地區(qū)生產總值等4個城市經濟發(fā)展評價指標來實現城市分類排名，并引入房價指標擾動分類結果，客觀地對分類結果進行了相關分析.分析結果表明：平均房價對城市排名有影響，但不是主要影響因素，影響城市排名的關鍵因素是城市自身的經濟指標.要想城市房價相對穩(wěn)定健康發(fā)展，加強國家宏觀調控政策措施是必要的，更重要的是要引導城市經濟結構健康發(fā)展.