環(huán)上廣義逆包含性質(zhì)的一個注記

孫玉虎，王 龍

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 徐海學(xué)院，江蘇 徐州 221008；2.揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002)

1 預(yù)備知識和引理

本文中R表示一個有單位元的結(jié)合環(huán)，如果存在一個元素x∈R使得方程(1)axa=a成立，則稱元素a(von Neumann)正則。此時，元素x被稱為a的內(nèi)逆(或者a的{1}-逆)，用符號a(1)(或者a-)來表示。本文中用符號Reg(R)來表示環(huán)R中所有正則元素的集合。如果Reg(R)=R，則稱環(huán)R為正則環(huán)。通常一個正則元可能有不止一個內(nèi)逆，我們用符號a{1}來表示元素a的所有內(nèi)逆的集合。若存在一個元素x∈R使得方程(2)xax=x成立，則稱元素x是a的一個外逆(或者a的{2}-逆)，用符號a(2)(或者a=)來表示。如果存在一個元素x∈R既是a的內(nèi)逆又是a的外逆，此時稱x∈R為a的自反逆。我們用符號a(1,2)來表示a的自反逆，用符號a{1,2}來表示元素a的所有自反逆的集合。

最近的文章中，作者Alahmadi等人證明了如下的結(jié)果(見[1，定理7，定理10])。

引理1假設(shè)R是一個半素環(huán)，a和b為環(huán)中兩個正則元。如果a{1}=b{1}或者a{1,2}=b{1,2}，則a=b。

隨后，T.K.Lee將該結(jié)果推廣(見[2，定理2.3])。

引理2假設(shè)R是一個半素環(huán)，a和b為環(huán)中兩個正則元。如果a{1,2}?b{1,2}，則a=b。

在文獻(xiàn)[3，推論1.8]中，T.K.Lee又討論了{(lán)2}-逆的包含性質(zhì)。

引理3假設(shè)R是一個半素環(huán)，a和b為環(huán)中兩個正則元。如果a{2}=b{2}，則a=b。

2 主要內(nèi)容

本文將繼續(xù)研究環(huán)中廣義逆包含性質(zhì)，我們將上述的結(jié)果從半素環(huán)推廣到冪等自反環(huán)的情形下。本文中，符號E(R)表示環(huán)中了所有的冪等元之集。對于環(huán)中元素a和冪等元e，如果aRe=0蘊含著eRa=0，此時稱環(huán)R為左冪等自反環(huán)[4]。類似的，如果eRa=0蘊含著aRe=0，此時稱環(huán)R為右冪等自反環(huán)。若環(huán)R既是左冪等自反環(huán)又是右冪等自反環(huán)，則稱R是冪等自反環(huán)。

引理4半素環(huán)是冪等自反環(huán)。

證明假設(shè)R是一個半素環(huán)，對于環(huán)中任意元素a和冪等元e，滿足aRe=0。那么一定有eRa=0。若eRa≠0，則一定存在元素b使得eba≠0。注意到aRe=0，由此可得，ebaReba=eb(aRe)ba=0。由于R是一個半素環(huán)，那么可以得到eba=0(矛盾)。這說明eRa=0，也就是說環(huán)R是左冪等自反環(huán)。類似證明可得，環(huán)R也是右冪等自反環(huán)。

例子1設(shè)R為模4剩余類環(huán)。容易驗證環(huán)R是冪等自反環(huán)，但不是半素環(huán)。由此可知引理4的逆命題不成立。

下文中，我們將在冪等自反環(huán)的情形下研究廣義逆的包含性質(zhì)。首先給出關(guān)于a的{1}-逆的表達(dá)式。

引理5[5，推論1]假設(shè)a∈Reg(R)且a0為a的一個內(nèi)逆，則a{1}={a0+x-a0axaa0}，其中x為R中任意元素。

定理1假設(shè)R是一個冪等自反環(huán)且a,b∈Reg(R)。若a{1}=b{1}，則a=b。

證明由于a{1}=b{1}，則ba{1}b=bb{1}b=b。這里任取元素a的一個內(nèi)逆a0，則有ba0b=b，另外由引理5，我們可得對于任意的x∈R，b(a0+x-a0axaa0)b=b。于是可得，b(x-a0axaa0)b=0。由于x為環(huán)中任意元，取(1-a0a)y代替前式中的x，這里y為環(huán)中任意元素，則有b(1-a0a)yb=0，即b(1-a0a)Rb=0。由題設(shè)知b∈Reg(R)，那么取b0為元素b的一個內(nèi)逆，由等式b(1-a0a)Rb=0可得b(1-a0a)Rbb0=0。由題設(shè)R是一個冪等自反環(huán)，則bb0Rb(1-a0a)=0，進(jìn)一步可得b(1-a0a)=0，即b=ba0a，那么b∈Ra。

類似證明，由于a{1}=b{1}，這里任取元素b的一個內(nèi)逆b0，則有ab0a=a。由引理5可得，對于任意的x∈R，則a(b0+x-b0bxbb0)a=a。由此可知a(x-b0bxbb0)a=0。取y(1-bb0)代替前式中的x，這里y為環(huán)中任意元素，那么aR(1-bb0)a=0。取a0為元素a的一個內(nèi)逆。由等式aR(1-bb0)a=0可得a0aR(1-bb0)a=0。由于R是一個冪等自反環(huán)，則(1-bb0)aRa0a=0，進(jìn)一步可得(1-bb0)a=0，即a=bb0a，那么a∈bR。

由于a{1}=b{1}，則對于元素b的一個內(nèi)逆b-，一定存在元素a的一個內(nèi)逆a-使得a-=b-。由a∈bR和b∈Ra可知，a=bb-a=ba-a=b。

推論1假設(shè)R是一個半素環(huán)且a,b∈Reg(R)。若a{1}=b{1}，則a=b。

定理2假設(shè)R是一個冪等自反環(huán)且a,b∈Reg(R)。若a{1,2}?b{1,2}，則a=b。

證明由于a{1,2}?b{1,2}，則ba{1，2}b=bb{1，2}b=b。這里任取元素a的一個內(nèi)逆a0，則有ba0b=b。注意到對于任意x∈R，a0+a0ax(1-aa0)∈a{1，2}，則b[a0+a0ax(1-aa0)]b=b，于是可得ba0ax(1-aa0)b=0，即ba0axb=ba0axaa0b。對上式左乘aa0可得ax(1-aa0)b=0。由于x為R中任意元素，用b0x來替換x，則ab0x(1-aa0)b=0。對上式左乘bb0，則有bb0x(1-aa0)b=0。由于R是一個冪等自反環(huán)，則(1-aa0)bxbb0=0，取x=b0進(jìn)一步可得(1-aa0)b=0，即b=aa0b，那么b∈aR。因此，對于任意的a(1,2)∈a{1,2}，由于a{1,2}?b{1,2}且b∈aR，那么可以得到aa(1,2)=aa(1,2)ba(1,2)=ba(1,2)，也就是說，aa0=ba0成立。

注意到對于任意x∈R，a0+(1-a0a)xaa0∈a{1，2}，類似地，可以得到b=ba0a，那么由于aa0=ba0，于是可得b=ba0a=aa0a=a。

推論2假設(shè)R是一個冪等自反環(huán)且a,b∈Reg(R)。若a{1,2}=b{1,2}，則a=b。

推論3假設(shè)R是一個半素環(huán)且a,b∈Reg(R)。則a{1,2}?b{1,2}當(dāng)且僅當(dāng)a{1,2}=b{1,2}當(dāng)且僅當(dāng)a=b。