聚焦度量過程，感悟面積本質(zhì)

張明

【摘 要】從度量的角度認識“量”的本質(zhì)，貫穿整個小學(xué)階段，從長度、面積，到角度、體積在數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法上都具有內(nèi)在的聯(lián)系。本文以“量面積”的活動為主線，從長方形的面積到其他圖形的面積，在不同測量對象的變化中進一步加深學(xué)生對面積本質(zhì)的認識。

【關(guān)鍵詞】面積本質(zhì) 度量 單元整體教學(xué)

一、教學(xué)設(shè)計思考

“面積”是北師大版數(shù)學(xué)三年級下冊第五單元的內(nèi)容，開展“量面積”活動的教學(xué)是我們在進行“面積”單元統(tǒng)整時設(shè)計的第2課時。從內(nèi)容來講，本節(jié)課涵蓋了原教材“長方形的面積”這一內(nèi)容，是學(xué)生在前一課時初步認識面積和面積單位的基礎(chǔ)上，以長方形、正方形為研究對象，進一步從度量的角度進行“面”的大小刻畫，理解面積本質(zhì)。同時，本節(jié)課也是本單元繼續(xù)學(xué)習(xí)面積單位換算和面積相關(guān)應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。從知識之間的整體聯(lián)系來看，本節(jié)課與之前學(xué)習(xí)的長度的度量，以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的角度、體積的相關(guān)知識，在學(xué)習(xí)方式上具有一致性;長方形的面積知識也是后續(xù)其他平面圖形，如平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積度量轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。

作為承前啟后的一節(jié)課，怎樣讓學(xué)生既能從知識內(nèi)容上感受前后聯(lián)系，從度量角度加深對面積本質(zhì)的進一步認識，又能在學(xué)習(xí)方法上進行遷移，感受學(xué)習(xí)方式的一致性呢？結(jié)合學(xué)情調(diào)研和教學(xué)實踐分析，基于單元統(tǒng)整的理念，在教材整合和教學(xué)重構(gòu)方面，我們進行了如下的思考與嘗試。

（一）突出“量”的活動，感悟度量本質(zhì)

測量是將測量對象和標(biāo)準(zhǔn)單位進行比較的過程。學(xué)生在前一節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)能用面積單位“鋪滿”圖形的方式度量圖形的面積。本節(jié)課繼續(xù)聚焦“量”面積的活動，從長方形、正方形入手，拓展至其他學(xué)生認識的平面圖形，在“量”的活動中，進一步理解面積的本質(zhì)是面積單位的累加，即測量對象內(nèi)部包含的面積單位的多少。

（二）溝通“量”的方法，理解公式本質(zhì)

基于教學(xué)前測和教學(xué)實踐經(jīng)驗，教師未教授相關(guān)知識之前，有些學(xué)生就已經(jīng)知道長方形面積=長×寬，以及學(xué)習(xí)后容易將“長方形面積=長×寬”與“長方形周長=（長+寬）×2”混淆，是學(xué)習(xí)長方形面積這一內(nèi)容時，常遇到的問題。究其原因，學(xué)生感到困難的從來都不是測量的結(jié)果，而是學(xué)生未能很好地從“量”的方法上，建立起長、寬與內(nèi)部所包含面積單位數(shù)量之間的聯(lián)系。因此，本節(jié)課力求引導(dǎo)學(xué)生升級“量”的方式，實現(xiàn)從鋪滿，到不鋪滿，再到公式計算的過渡，理解面積公式是“數(shù)”法（面積單位）優(yōu)化的結(jié)果，建立起一維“長、寬”和二維“面積”之間的對應(yīng)和聯(lián)系。

（三）豐富“量”的素材，積累活動經(jīng)驗

三年級學(xué)生思維正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維逐漸過渡的發(fā)展階段，這樣的思維特點決定了其對長方形面積的探究過程，還是需要借助一定的直觀“測量”活動，才能到達最后合理抽象公式進行推理計算。有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，應(yīng)該要能促進有效的數(shù)學(xué)思考。在安排“量”的素材時，教師既要考慮對象的豐富性，如量長方形、正方形，以及其他平面圖形時，也要考慮方式的多樣性，如鋪滿“量”、不鋪滿“量”、想象“量”，滿足不同學(xué)生的能力需求，引導(dǎo)學(xué)生積累“量”面積的活動經(jīng)驗，實現(xiàn)長方形面積刻畫從形象到抽象，從直覺到推理的過程。

（四）變換“量”的對象，實現(xiàn)方法遷移

長方形的面積探究，是學(xué)生從度量角度感悟面積本質(zhì)的一個例子和應(yīng)用，同時也是后續(xù)學(xué)習(xí)其他圖形面積的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課還要注意揭示知識的縱橫聯(lián)系，在進行不同圖形“量”面積的活動時，教師要引導(dǎo)學(xué)生在不同的圖形變換的基礎(chǔ)上思考其中的不變，促進學(xué)生對“圖形的度量”整體知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)和學(xué)習(xí)方法的遷移。同時也注重從統(tǒng)整的視角審視整個小學(xué)階段的“測量”教學(xué)，幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)長度、面積、角度以及體積等知識的整體框架。

基于以上思考，我們將本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位為：在升級“量”法、優(yōu)化“數(shù)”法的過程中，探究并理解長方形的面積公式;在“量”更多平面圖形面積的過程中，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，從度量角度進一步理解面積的意義，引導(dǎo)學(xué)生在探究交流中發(fā)展數(shù)學(xué)表達能力，建立“測量”的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

二、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：探究長方形的面積

活動1：挑戰(zhàn)激趣，升級“量”

（1）量一量：長方形的面積是多少

師：上節(jié)課我們認識了什么是面積，同學(xué)們了解了選擇不同的面積單位，在圖形上鋪滿，就能知道這個圖形的面積是多少。這節(jié)課我們繼續(xù)研究長方形的面積（板書：量長方形的面積），不過難度要升級了——不鋪滿！你能知道長方形的面積是多少嗎？

生：能！

課件呈現(xiàn)活動要求。

選一選：選擇一種學(xué)習(xí)材料（每組提供1張長方形的紙、1把直尺、1平方厘米的小正方形若干）。

鋪一鋪：一眼看出你的測量方法。

填一填：長方形的面積是多少。

師：老師收集了一些同學(xué)的作品，看看大家是怎樣“不鋪滿”，也能知道長方形面積的。

學(xué)生作品展示：

（2）說一說：測量面積的方法和結(jié)果

師：請同學(xué)們看一看以上作品，并說一說。

生1：圖1把第一排鋪好了，鋪了4個1平方厘米的小正方形，一共有3行，3×4=12，一共是12個1平方厘米的小正方形，也就是12平方厘米。

生2：圖2和圖1其實是一樣的，只要把圖1中第一行的4個1平方厘米的小正方形移了下來，就是圖2。所以圖2也可以用3×4=12，得出長方形紙的面積是12平方厘米。

生3：圖3雖然沒有鋪滿，但是每一個空的地方都相當(dāng)于一個1平方厘米的小正方形，我們通過想象填上去的話，也是一行有4個，一共有3行。

師：如果把圖3中沒有鋪上去的小正方形添上去，一行也有4個1平方厘米的小正方形，能鋪3行，一共12個。誰還有其他的方法嗎？

生4：我來說圖4，寬是3厘米，平均分成3段，長是4厘米，平均分成4段，再用3×4，就可以得出12平方厘米。

師：圖4都沒有鋪，你是怎樣看出是12平方厘米的？4代表什么？3又表示什么意思？

生：4表示長方形的長邊上能擺4個1平方厘米的小正方形，寬邊上能擺3行，一共就是3×4=12（平方厘米）。

[設(shè)計意圖]圍繞“量”字開啟教學(xué)，激活學(xué)生度量學(xué)習(xí)的活動經(jīng)驗，并在此基礎(chǔ)上升級“量”法挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和學(xué)習(xí)需要。

活動2：交流溝通，理解“量”

師：同學(xué)們想到了這么多升級后的“量”法，都知道了這個長方形紙的面積是12平方厘米。老師把大家的方法放大了展示到黑板上（貼板書），這些方法之間有什么聯(lián)系嗎？

生：都可以用3×4=12，長方形的面積是12平方厘米。

師：既可以用3乘4，也可以用4乘3，這里的4代表什么？3代表什么呢？

生1：4代表長方形的長，3代表長方形的寬。

生2：4代表長方形的長，表示能鋪4平方厘米，3代表長方形的寬，表示能鋪3個1平方厘米，鋪滿的話就是4×3=12（平方厘米）。

師：（結(jié)合黑板上板書）你們的意思就是說，原來需要鋪滿才能知道面積，現(xiàn)在只需要知道一行有幾個這樣的小正方形，一共有幾行就能知道面積。或者說只要知道長邊上有幾個這樣的面積單位，寬邊上有幾個這樣的面積單位就可以了。所以長方形的面積，我們還可以怎樣計算？

生：4×3=12。

（師板書12=4×3）

師：4是什么？3是什么？也就是長方形的面積可以用……

生：長方形的面積=長×寬。

（師板書）

師：在這幾種方法中，你都能找到長方形的面積等于長乘寬嗎？

師指名學(xué)生找一找，說一說。

[設(shè)計意圖]展示學(xué)生不同的“量”面積的方式，從“不鋪滿”測量面積的方式中，優(yōu)化“數(shù)”面積單位的方法，找到長、寬與長方形所包含面積單位個數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，理解公式的本質(zhì)。

活動3：豐富素材，想象“量”

師：用升級后的玩法，如果1格表示1平方厘米，你能快速說出下面這些長方形的面積是多少嗎？

課件逐一出示下面的長方形，指名學(xué)生說一說。

生1：圖5是長方形，面積是8×4=32（平方厘米），8代表一行有8個1平方厘米，共4行，面積是32平方厘米。

生2：圖6中，一行有5個1平方厘米，共5行，面積是5×5=25（平方厘米）。

師：圖6也是一個正方形，所以正方形的面積可以怎樣簡化算呢？

生：正方形面積=邊長×邊長。

（師板書）

環(huán)節(jié)二：探究其他圖形的面積

活動4：變換圖形，拓展“量”

（1）嘗試操作

師：真厲害！這么快就完成了長方形、正方形面積測量方法的升級，接下來我們繼續(xù)升級，你們敢接受挑戰(zhàn)嗎？你們還能測量出更多圖形的面積嗎？（板書：更多圖形）猜一猜，我們可能要挑戰(zhàn)測量哪些圖形的面積？

生：三角形、平行四邊形、梯形……（見圖7）

課件出示：

活動要求：

標(biāo)一標(biāo)，畫一畫：一眼看出你的測量方法;

填一填：圖形的面積是多少？

生獨立完成挑戰(zhàn)卡，小組內(nèi)交流，每人挑戰(zhàn)一個，快速完成的同學(xué)可以申請再挑戰(zhàn)一個圖形。

（2）匯報交流

師：我們一起來看看同學(xué)們是怎樣測量的。

①平行四邊形。

生1：我把平行四邊形上多出來的一部分切下來，移到左邊，剛好拼成了一個長方形（見圖8）。

生2：我也是這樣拼接的，拼起來之后變成了長4厘米、寬3厘米的長方形，面積可以用4×3=12（平方厘米），見圖9。

師：切下來，補過去，是個好辦法！由平行四邊形變成了長方形，形狀變了，但是什么沒變？

生：面積沒變。

師：哦，同學(xué)們把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成了長方形的面積，真不錯。

②三角形。

生1：我是把三角形里面兩個半格的小三角形拼在一起，就是1個1平方厘米整格。4個半格的小三角形剛好拼成2個整格，還有6個原本就是整格的，一共8平方厘米（見圖10）。

生2：我覺得這整個三角形像是大正方形的一半，正方形的面積是4×4=16平方厘米，一半剛好是8平方厘米（見圖11）。

③梯形。

圖12 圖13

生1：我在多出來的那個部分畫上了格子，大概是4個格子的一半，也就是2格。其余的部分是4×3=12 （格），一共是14平方厘米（見圖12）。

生2：我和他的方法差不多，我把多的部分分出來，就是一個三角形，面積應(yīng)該是2平方厘米，其余部分是12平方厘米，加起來也就是梯形的面積14平方厘米（見圖13）。

（3）小結(jié)思考

師：同學(xué)們，當(dāng)我們需要測量不規(guī)則的圖形面積時，你們都想到了哪些好辦法？

生1：可以數(shù)一數(shù)圖形中有幾個格子，就能知道面積是多少平方厘米。

生2：可以把多出來的部分切下來，移過去補上，轉(zhuǎn)化成我們會算的圖形。

生3：2個半格的可以拼在一起算一格。

……

師：是的，我們可以用割補的方法，拼一拼、湊一湊，把不好測量的圖形轉(zhuǎn)化成我們會測量的長方形，再計算面積。

[設(shè)計意圖]長方形面積是后續(xù)學(xué)習(xí)多邊形面積計算和轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生變化圖形，“量”其他平面圖形的面積，在操作中直觀讓學(xué)生初步體會，不管哪種平面圖形，其面積都是要看所包含單位面積的個數(shù)，不是整格的可以進行拼一拼、補一補，初步體會轉(zhuǎn)化思想。

環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)，前后整合

師：同學(xué)們，上節(jié)課我們從原來的“量長度”到“量面積”。這節(jié)課，我們對測量長方形面積的方法進行了升級，還研究了測量更多圖形面積的方法?，F(xiàn)在你對“量面積”有什么體會呢？

生1：可以把不規(guī)則的轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形。

生2：“量面積”時要知道里面有多少個小方格。

生3：不一樣的圖形，只要分一分、補一補，就能變成規(guī)則的圖形。

……

師：除了量線段的長度、量面的大小，以后我們還會學(xué)習(xí)量角的大小，量體積的大小。今天的學(xué)習(xí)，對你們有什么啟示嗎？

生1：在以后的學(xué)習(xí)中也會用到今天學(xué)過的方法。

生2：我覺得用今天學(xué)習(xí)的方法解題會比較輕松。

生3：以后量角或體積的話，應(yīng)該有更小或更大的單位。

……

師：同學(xué)們，讓我們帶著今天“量面積”過程的學(xué)習(xí)方法和思考，共同期待后續(xù)的學(xué)習(xí)吧！

[設(shè)計意圖]“圖形度量”的教學(xué)貫穿于小學(xué)階段，從一維的長度到二維求面積，再到三維求體積，以及角度的刻畫，在內(nèi)容、數(shù)學(xué)思維以及學(xué)習(xí)方式上都具有密切的聯(lián)系，因此在教學(xué)時，不能管中窺豹只見一斑，要引導(dǎo)學(xué)生樹立“度量”學(xué)習(xí)的全局觀，加強知識的前后聯(lián)系思考，促進整體知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)。

三、課后反思

長方形的面積教學(xué)，內(nèi)容主線清晰明了，為什么不上成一節(jié)傳統(tǒng)課，用量一量、擺一擺歸納面積公式，應(yīng)用公式解決問題呢？反正最終也是要讓學(xué)生掌握面積計算公式。為什么還要大張旗鼓“量面積”？分析這節(jié)課，我們覺得最大的特點是，通過有效的數(shù)學(xué)操作活動，促進了學(xué)生對面積本質(zhì)的數(shù)學(xué)思考。

（一）聚焦聯(lián)結(jié)，合理組織學(xué)習(xí)活動

為什么學(xué)生會出現(xiàn)混淆周長和面積的情況？為什么高年級學(xué)生學(xué)習(xí)多邊形面積時容易混淆公式？究其原因是學(xué)生對面積的本質(zhì)理解不到位。學(xué)生除了認識面積之外，真的沒有其他學(xué)習(xí)面積的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗了嗎？其實不然，長方形的面積屬于“圖形度量”的教學(xué)，與長度測量一脈相承。教師只有正確把握學(xué)情和知識間的聯(lián)系，才能對本節(jié)課有合理的目標(biāo)定位，組織以“量”為主線的學(xué)習(xí)活動，實現(xiàn)從度量角度理解把握面積本質(zhì)的目的。

（二）問題驅(qū)動，恰當(dāng)優(yōu)化操作策略

操作活動是積累數(shù)學(xué)活動的重要途徑。整節(jié)課聚焦“量面積”活動，學(xué)生充分地經(jīng)歷了“長方形面積”直觀測量的過程。積累活動經(jīng)驗的目的是為了促進學(xué)生有效地數(shù)學(xué)思考。為什么“長方形的面積=長×寬”？“長×寬”究竟是在計算什么？在問題驅(qū)動下，實現(xiàn)長方形的面積從具體直觀的“量”到借助數(shù)學(xué)抽象推理的“不量”，也即利用面積公式計算面積。

（三）拓展聯(lián)系，有效促進深度學(xué)習(xí)

史寧中教授認為，度量是人的本能，即我們先天具有感知數(shù)量多少和距離遠近的能力。因此，即使多邊形面積、角度、體積等內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排在三年級以后，也需要我們在學(xué)習(xí)面積之初，就樹立“結(jié)構(gòu)化”“整體化”的意識。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、認知需求以及生活經(jīng)驗，進行有針對性的前延后拓，合理遷移，才能有效促進學(xué)生對于“度量”知識的整體建構(gòu)，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。