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    對2021年一道八省聯(lián)考題多種解法的研究

    2021-11-24 09:02:28劉大鵬
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:切線斜率拋物線

    劉大鵬

    (遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

    2021年1月23至25日,江蘇、河北、遼寧、福建、湖北、湖南、廣東、重慶八省市聯(lián)合舉行了最大規(guī)模的高三適應性考試,此次考試由國家教育部命題考試中心統(tǒng)一命題,是落實對考生核心素養(yǎng)的考查、推進命題改革的風向標、對師生復習備考有重要的引領(lǐng)作用.

    一、考題再現(xiàn)

    題目(2021年八省市高三適應性聯(lián)考第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓N:(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( ).

    A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

    C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

    二、解法研究

    易得拋物線方程y2=2x.

    1.求切線AB斜率的兩種方法

    2.以求點B坐標為解題的突破口

    所以BC方程為3x+6y+4=0.

    所以BC方程為3x+6y+4=0.

    所以BC方程為3x+6y+4=0.

    為減少計算量,本文給出以下定理:

    定理1 已知拋物線C:y2=2px,定點A(a,b)∈C,動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,

    ①當γ=0時,kPQ為定值,且等于拋物線在點A處切線斜率的相反數(shù);

    定理的證明見文[1].

    所以BC方程為3x+6y+4=0.

    將點E坐標代入選項,故選B.

    同理,得同構(gòu)式:3x2+6y2+4=0.

    所以BC:3x+6y+4=0.

    所以4=3(y+2)2=3(y2+4y+4),把y2=2x代入,得3x+6y+8=0.

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