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    巧妙構(gòu)造函數(shù)式 靈活處理不等式

    2021-11-24 09:39:18洪汪寶
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)式子

    洪汪寶

    (安徽省安慶市第一中學(xué) 246004)

    利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式或比較大小問題,是近年高考或各地模擬中的重點問題和熱點問題.又因題目靈活多變,不同的問題需要構(gòu)造不同的函數(shù),要求學(xué)生會觀察問題的條件特點,巧妙構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)式,利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出不等式解集或比較大小.

    一、構(gòu)造和差型

    當(dāng)條件中出現(xiàn)“f′(x)±g′(x)”類型的式子時,注意聯(lián)想到“[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)”,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)±g(x),得到其單調(diào)性,并利用函數(shù)的其它性質(zhì),解決相應(yīng)問題.

    例1設(shè)奇函數(shù)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x≥0時,有f′(x)+cosx<0,則當(dāng)x≤0時,有( ).

    A.f(x)+sinx≥f(0) B.f(x)+sinx≤f(0)

    C.f(x)-sinx≥f(0) D.f(x)-sinx≤f(0)

    解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+sinx,則F′(x)=f′(x)+cosx.因x≥0時,有f′(x)+cosx<0,于是函數(shù)F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),函數(shù)y=sinx是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,函數(shù)F(x)是R上的奇函數(shù),于是F(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減.所以F(x)≥F(0)=0,f(x)+sinx≥f(0),故選A.

    例2設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),且f′(x)>g′(x),則當(dāng)a

    A.f(x)>g(x)

    B.f(x)

    C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)

    D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

    解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),x∈[a,b],則F′(x)=f′(x)-g′(x)>0.所以函數(shù)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增.所以當(dāng)ag(x)+f(a).至于f(x)與g(x)的大小關(guān)系,無法判斷,故選C.

    解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+2x,則F′(x)=f′(x)+2>0.于是函數(shù)F(x)是R上的增函數(shù).又f(1)=1,于是F(1)=3.所以原不等式可轉(zhuǎn)化為F(log2|3x-1|)

    解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+sinx+x,則F(x)-F(-x)=f(x)+sinx+x-[f(-x)-sinx-x]=f(x)-f(-x)+2sinx+2x=0.所以F(x)=F(-x),即F(x)是R上的偶函數(shù).

    二、構(gòu)造乘積型

    當(dāng)條件中出現(xiàn)“f′(x)g(x)+f(x)g′(x)”類型的式子時,注意聯(lián)想到“[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)”,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)·g(x),得到其單調(diào)性,并利用函數(shù)的其它性質(zhì),解決相應(yīng)問題.

    例3設(shè)偶函數(shù)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)是f′(x),當(dāng)x>0時,滿足2f(x)+xf′(x)>x,則不等式(x+4)2f(x+4)-16f(-4)>0的解集為____.

    解析因為x>0時,2f(x)+xf′(x)>x,于是2xf(x)+x2f′(x)>x2>0.構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2f(x),則F′(x)=2xf(x)+x2f′(x).所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以F(x)是R上的偶函數(shù),其在(-∞,0)上單調(diào)遞減.原不等式可轉(zhuǎn)化為F(x+4)>F(-4),即F(|x+4|)>F(4),于是|x+4|>4,解得x<-8或x>0.故填(-∞,-8)∪(0,+∞).

    又F(1)=ln1·f(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時,F(xiàn)(x)>0,但lnx<0,于是f(x)<0,此時(x2-1)f(x)>0,符合;當(dāng)x∈(1,+∞)時,F(xiàn)(x)<0,但lnx>0,于是f(x)<0,此時(x2-1)f(x)<0,不符合.因f(x)是R上的奇函數(shù),所以當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0,不符合;當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0,符合.

    因此不等式(x2-1)f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).

    解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x),則F′(x)=f(x)+xf′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,則F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    點評例3的構(gòu)造有一定難度,構(gòu)造時要結(jié)合所求解不等式的結(jié)構(gòu)特點,變式1與變式2的構(gòu)造相對要直接些.注意總結(jié)常見的乘積型構(gòu)造:①當(dāng)出現(xiàn)“f(x)+xf′(x)”時,構(gòu)造“F(x)=xf(x)”;②當(dāng)出現(xiàn)“nf(x)+xf′(x)”(n為常數(shù))時,構(gòu)造“F(x)=xn·f(x)”;③當(dāng)出現(xiàn)“f(x)+f′(x)”時,構(gòu)造“F(x)=ex·f(x)”;④當(dāng)出現(xiàn)“nf(x)+f′(x)” (n為常數(shù))時,構(gòu)造“F(x)=enx·f(x)”.

    三、構(gòu)造除商型

    例4已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足:對任意x∈R,都有f(x)>0,g(x)>0, 且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,若a>0,b>0且a≠b,則有( ).

    A.a

    變式2設(shè)函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),f(-1)=0.當(dāng)x>0時,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,則不等式f(x)>0的解集為____.

    四、構(gòu)造綜合型

    除了以上直接逆用一種求導(dǎo)法則的問題之外,還有些綜合問題,需要逆用多種求導(dǎo)法則,這樣對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求更高.在構(gòu)造時,既要充分利用含導(dǎo)函數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)特點,還要注意觀察要求解的不等式的結(jié)構(gòu),要兩者相結(jié)合.

    變式1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足(x-1)f(x)

    A.a

    點評例6及其變式的構(gòu)造相對比較綜合,構(gòu)造時不僅僅逆用一種運算法則,要多種并用.注意總結(jié)常見的綜合型構(gòu)造:①當(dāng)出現(xiàn)“f(x)+f′(x)+n” (n為常數(shù))時,構(gòu)造“F(x)=ex·f(x)+nex”;② 當(dāng)出現(xiàn)“nf(x)+f′(x)+n” (n為常數(shù))時,構(gòu)造“F(x)=enx·f(x)+enx”.

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