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    直線方程的八種形式及應用舉例

    2021-11-24 09:35:56朱賢良
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關鍵詞:法線法向垂線

    朱賢良

    (安徽省樅陽縣宏實中學 246700)

    確定一條直線的要素可以是直線的斜率和直線上一點,或者是直線上的兩點.據此出發(fā),可以得到直線方程的八種形式.

    一、點斜式方程

    已知直線l經過點P0(x0,y0),且斜率為k,那么稱方程y-y0=k(x-x0)為直線l的點斜式方程.顯然,點斜式只能表示斜率存在(傾斜角不為直角)的直線;當直線的斜率不存在(傾斜角為直角)時,該直線的方程可表示為x=x0.

    二、斜截式方程

    已知直線l的斜率為k,且在y軸上的截距為b,那么稱方程y=kx+b為直線l的斜截式方程.實際上,斜截式方程可以看成是點斜式方程的特殊情形,也只能表示斜率存在(傾斜角不為直角)的直線.

    三、兩點式方程

    已知直線l經過點P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么稱方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0為直線l的兩點式方程.任意直線的方程都可用這種形式表示出來,但不太方便記憶.

    四、截距式方程

    五、一般式方程

    關于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)稱為直線的一般式方程.

    六、法線式方程

    過原點作直線l的垂線段,若x軸到該垂線(與直線l垂直的直線稱為直線l的法線)的角為α(把x軸依逆時針方向旋轉至與該垂線重合時所轉的角),且該垂線段的長度為p,那么將方程xcosα+ysinα=p稱為直線l的法線式方程.

    法線式方程的推導方法多種多樣,下面介紹借助圓的切線方程進行巧妙推導的方法:

    “2018陜西百強企業(yè)”,是按照國際通行的方式,參照中國500強企業(yè)排序辦法,堅持公平公開公正等原則,依據企業(yè)2017年度營業(yè)收入,在企業(yè)自愿申報的基礎上進行排序,并經“陜西省百強企業(yè)審定委員會”審定后產生的。現(xiàn)將排序名單予以公布。

    如圖1,過坐標原點作直線l的垂線,垂足為點P,則x軸到法線OP的角為α,而垂線段OP的長度為p,故點P的坐標為(pcosα,psinα).

    我們知道,圓心在坐標原點、半徑為p的圓的方程為x2+y2=p2,過此圓上一點(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=p2,而所求的直線l可以看成是此圓上在點P(pcosα,psinα)處的切線,其方程為(pcosα)x+(psinα)y=p2,即xcosα+ysinα=p.

    直線的法線式方程xcosα+ysinα=p,即xcosα+ysinα-p=0具有兩個特征:一是x,y的系數(shù)的平方和為1;二是常數(shù)項-p≤0(等于0時直線經過坐標原點).

    七、點法向式方程

    已知直線l經過點P0(x0,y0),且一個法向量(與直線l垂直的非零向量)的坐標為n=(A,B),那么稱方程A(x-x0)+B(y-y0)=0為直線l的點法向式方程.

    八、點方向式方程

    讀者朋友,你能從直線的法向量與方向向量之間的關聯(lián),說明點法向式方程與點方向式方程的聯(lián)系嗎?

    需要注意的是,各種形式方程的局限性并不完全一致,在解題時要注意加以考慮,作出合理的選擇,必要時需要進行分類討論.以下僅舉例說明點法向式方程與點方向式方程的應用,供讀者朋友參考.

    例題已知ΔABC的頂點坐標為A(3,2),B(9,-8),C(-1,4),試求其外心與重心的坐標.

    解析(1)求三角形的外心坐標:外心是三邊垂直平分線的交點,故只需要求出其中兩條邊的垂直平分線方程,聯(lián)立解得它們的交點,此即三角形的外心.

    (2)求三角形的重心坐標:重心是三邊中線的交點,故只需要求出其中兩條邊的中線方程,聯(lián)立解得它們的交點,此即三角形的重心.

    評注在求取直線的方程時,根據已知條件選用合適的形式進行表示.本題求垂直平分線方程時,易求其法向量坐標,故選用點法向式;求中線方程時,易求其方向向量坐標,故選用點方向式.

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