優(yōu)化新概念教學(xué)提升大學(xué)生探究能力
——以“數(shù)學(xué)期望”教學(xué)實(shí)踐為例

羅 原

(西南科技大學(xué)理學(xué)院，四川綿陽 621000)

0 引言

數(shù)學(xué)概念(mathematical concepts)是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)[1].

大學(xué)數(shù)學(xué)中很多基本數(shù)學(xué)概念高度概括且非常抽象,數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)技能和思維培養(yǎng)的基礎(chǔ),所以應(yīng)該高度重視概念教學(xué),讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),并且在理解概念的過程中體會(huì)到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，達(dá)到舉一反三之目的.

1 循序漸進(jìn)，由淺入深，引入概念

以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中數(shù)學(xué)期望教學(xué)內(nèi)容為例：

同時(shí)，這個(gè)概念也是歷年研考的熱點(diǎn)之一.所以，在隨機(jī)變量的數(shù)字特征的教學(xué)實(shí)踐中，要牢牢地抓住數(shù)學(xué)期望這個(gè)“牛鼻子”，這個(gè)矛盾的“主要方面”，進(jìn)而達(dá)到讓學(xué)生全面、系統(tǒng)、深刻地理解、掌握和運(yùn)用數(shù)字特征來解決問題的教學(xué)初衷.

以“擲骰子”的游戲?yàn)橐?假設(shè)擲骰子10次，得到如下記錄：

考慮出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值？

隨即引導(dǎo)學(xué)生思考隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)為“無窮”的時(shí)候，隨機(jī)變量的“平均值”還存在嗎？該如何計(jì)算？又有什么應(yīng)用？

1.1 提出概念

由上述定義可以看出，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望本質(zhì)上是一“加權(quán)平均值”，是概率意義下的平均值，而概率就是這里的“權(quán)重”.同時(shí)由于概率是頻率的“極限”，所以，這個(gè)平均值含有對(duì)“未來”進(jìn)行“展望”的意味.但對(duì)初學(xué)者而言，準(zhǔn)確理解這個(gè)概念的內(nèi)涵并且熟練運(yùn)用并不是很容易的.同時(shí)還要注意，由于數(shù)學(xué)期望的定義要求“絕對(duì)”收斂，所以一個(gè)隨機(jī)變量可以有平均值或中位數(shù)，但其期望值卻是不一定存在的.

1.2 凸顯概念“平均值”之屬性，引導(dǎo)學(xué)生探究新概念內(nèi)涵

據(jù)筆者追蹤觀察，多數(shù)學(xué)生初次接觸到數(shù)學(xué)期望這個(gè)概念時(shí)，普遍有“抓不住”概念本質(zhì)的感覺.那么，在教學(xué)中，首要任務(wù)就是破解其“神秘感”，凸顯概念的“平均值”屬性.

例1[3]設(shè)有某國家盛行“重男輕女”，家庭若第一胎為女孩，則必生第二胎；若第二胎仍為女孩，則必生第三胎；……直到生男孩為止.那么，這個(gè)國家人口男女比例如何？

這個(gè)結(jié)果讓不少同學(xué)感到意外，也品嘗到探究新事物的妙趣.此時(shí)，老師可抓住時(shí)機(jī)，對(duì)怎樣理解數(shù)學(xué)期望即是“加權(quán)平均值”以及概率即是“權(quán)重”這個(gè)“內(nèi)涵”做及時(shí)闡述和引導(dǎo)，以期盡快掌握這個(gè)新概念的根本特質(zhì).

1.3 提升學(xué)生課堂主體地位，引導(dǎo)探究問題之良好習(xí)慣，提高解決問題能力

美國著名教育家、哲學(xué)家、心理學(xué)家約翰·杜威說過：“科學(xué)教育不僅僅是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)大量的知識(shí)，更重要的是要學(xué)習(xí)科學(xué)研究的過程或方法”.而教育家施瓦布所倡導(dǎo)的探究教學(xué)中，他認(rèn)為學(xué)習(xí)“不在于占有的信息，而在于擁有的探究能力”[1].

學(xué)習(xí)新概念的最終目的，在于運(yùn)用好概念，解決實(shí)際問題.在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)積極發(fā)揮學(xué)生的課堂主體地位作用，調(diào)動(dòng)其探究興趣.

在數(shù)學(xué)期望的概念里，概率扮著“平均值”的“權(quán)重”這個(gè)重要角色，同時(shí)由于概率又是頻率的“極限”，所以，這個(gè)平均值含有對(duì)“未來”進(jìn)行“展望”的意義，這是在“平均值”基礎(chǔ)上的又一個(gè)值得探究的“爆發(fā)點(diǎn)”，與“平均值”一起，構(gòu)成了“數(shù)學(xué)期望”的“雙核”，應(yīng)著重加以引導(dǎo)[3].

例2[4]設(shè)有甲、乙二人各出70元設(shè)立獎(jiǎng)金，竟猜馬路上駛過汽車牌號(hào)尾數(shù)的“單”與“雙”(假設(shè)每輪都有勝負(fù)).規(guī)定先猜中5次者獲得全部獎(jiǎng)金140元.現(xiàn)游戲因?yàn)橐馔庠蚺R時(shí)終止.此時(shí)甲已猜中4次，乙已猜中3次.請(qǐng)問應(yīng)該如何分配該筆獎(jiǎng)金？

引導(dǎo)分析：平均分配顯然對(duì)甲不公平.或者把獎(jiǎng)金分成7份，甲4乙3，即甲得80元，乙得60元.這是個(gè)貌似“公平”的方案，但這樣分配是不是“合理”的？甲、乙應(yīng)該按什么比例瓜分獎(jiǎng)金才算“合理”呢？

可以這樣設(shè)想，在現(xiàn)有情況下游戲繼續(xù)進(jìn)行下去會(huì)是什么結(jié)果？

這個(gè)分配方案是否“合理”呢？

方案二、假設(shè)游戲全部完成(即將全部(至多)九次比賽進(jìn)行完畢)，結(jié)果如表2，

例3[5](考研復(fù)習(xí))筆者曾在班上引導(dǎo)學(xué)生做過的實(shí)驗(yàn):隨機(jī)地抽取5位同學(xué)，請(qǐng)他們報(bào)出自己的學(xué)號(hào)：5,13,30,64,69.由此推算該班學(xué)生人數(shù)？

例3同樣利用了數(shù)學(xué)期望“雙核”“內(nèi)涵”，來對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的某種“統(tǒng)計(jì)規(guī)律性”進(jìn)行“推斷”，在實(shí)踐中具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

教學(xué)實(shí)踐中還可以組織同學(xué)舉一反三，自我設(shè)計(jì)一些有趣的實(shí)驗(yàn)，比如對(duì)聚會(huì)人數(shù)，馬路上汽車流量，電話公司客戶數(shù)等等做出某種“推斷”，進(jìn)一步達(dá)到強(qiáng)化理解和熟練運(yùn)用的目的.

2 總結(jié)

新概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中極其重要的環(huán)節(jié)，而講好新概念的關(guān)鍵在于發(fā)揮學(xué)生課堂主體地位作用，以問題為導(dǎo)向，讓其全過程置身其中，充分調(diào)動(dòng)其探究積極性.從課堂效果觀察，成效是明顯的.當(dāng)然，實(shí)踐往往是極其豐富多彩的，并不存在一種適合所有概念教學(xué)的“萬能模式”.但只要抓住概念本質(zhì)，凸顯概念“內(nèi)涵”，以生為本，問題導(dǎo)向，那么，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的是有保證的.此外，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，很大程度上還取決于在實(shí)際問題中的觀察與思考.這樣在客觀上就要求老師要時(shí)刻關(guān)注生活中的“司空見慣”現(xiàn)象及其背后蘊(yùn)含的科學(xué)道理和邏輯關(guān)系，并將之予以提煉，讓“呆板”的數(shù)學(xué)概念在豐富的實(shí)踐中變得栩栩如生，趣味盎然.