例析實際應(yīng)用中與球相關(guān)的最值問題

摘要：立體幾何中與球有關(guān)的問題是模擬題、高考題中的重要題型，近幾年的考查側(cè)重實際應(yīng)用，常以生活實踐為背景，融入球與簡單幾何體的切接問題，考查與球相關(guān)的最值問題. 本課題通過幾個典例分析此類問題的求解策略，與讀者分享.

關(guān)鍵詞：球;實際應(yīng)用;最值

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0048-02

例1（2020·湖北襄陽模擬）魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.從外觀圖1上看，是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱;六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來.如圖所示，正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為1，將這個魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器半徑的最小值為（容器壁的厚度忽略不計）（ ）.

解析當(dāng)魯班鎖內(nèi)接于球形容器時，球形容器的半徑最小.根據(jù)魯班鎖的對稱性可知，球形容器的球心為三組長方體的中心，且每個長方體均由兩個正四棱柱組成，所以各長方體的長為2，寬為1，高為8.

評析本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查多面體與外接球球的計算，需要根據(jù)幾何體的對稱性確定一組長方體的外接球也就是整體的外接球.

例2（2020 ·河南省模擬）在棱長為8的正方體空盒內(nèi)，有4個半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點的三個面相切，另有一個半徑為R的大球放在四個小球之上，與四個小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，五球相切不松動，則小球半徑r的最大值為____________，大球半徑R的最小值為____________.

解析當(dāng)正方體盒內(nèi)四個小球中相鄰小球均相切時，小球半徑r最大，大球半徑R最小，由2r·2=8可得r的最大值為2，下面分析r=2時R的取值. 如圖所示，由對稱性知，大球球心O與四個小球球心O，O，O， O均為一個正四棱錐的頂點，且OO=R+r=R+2，O=2r=4.

評析本題通過數(shù)學(xué)問題與實際問題相結(jié)合，考查球與球，球與多面體的切接問題，一題兩空是新高考特色題型，分析球與球之間切接可得r的最大值，剖析球與多面體切接問題，結(jié)合對稱性計算出R的最小值.

例3（2020·福建莆田市質(zhì)檢）有一根高為30厘米，底面半徑為5厘米的圓柱體原木（圖3）.某工藝廠欲將該原木加工成一工藝品，該工藝品由兩部分組成，其上部分為一個球體，下部分為一個正四棱柱（圖4）.問該工藝品體積的最大值是立方___________厘米.

評析本小題以勞動技術(shù)、生活實踐為背景，考查立體幾何中與球有關(guān)的最值問題，是一類既富思考性，又融眾多知識和技巧于一體，綜合性強、靈活性高的問題.解答時，需仔細(xì)分析題設(shè)中的所有條件，在充分審清題目意思的基礎(chǔ)上，從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決;找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法加以解決.圖5

例4（2015 ·湖南高考）某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為

評析本題融合多個知識點，考查立體幾何中球的切接問題，考查運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查概率的計算，綜合性較強.

參考文獻(xiàn)：

[1]張克勤.一道立體幾何高考題的多種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2020（12）：56-57.

[2]黃德新，朱賢良.模型視角下的四面體外接球問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（15）：56-59+63.

[3]桑園，侯成緒.剖析幾何體與其外接球問題[J].河北理科教學(xué)研究，2020（02）：7-8.

[4]王小莉.分類例說立體幾何中的最值問題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（03）：4-7.

[5]唐明超，潘敬貞.探求命題規(guī)律，提高備考效率——談2019年多面體與球切接問題的備考策略[J].教學(xué)考試，2019（11）：8-10.

[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡介：謝新華，男，福建省莆田人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2020年度教育教學(xué)改革專項課題：學(xué)科素養(yǎng)視域下“讀思達(dá)”教學(xué)法的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用研究（項目編號：Fjjgzx20-077）.