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    借助直角三角形,解決線段長度問題

    2018-01-24 00:12陳慶霞
    關(guān)鍵詞:輔助線動點直角三角形

    陳慶霞

    [摘 要] 在初中數(shù)學(xué)中,求解指定線段的長度問題層出不窮,那么,有沒有比較通用的方法來幫助學(xué)生分析呢?當(dāng)然有,那就是構(gòu)造合適的直角三角形. 本文主要介紹了幾種類型的試題中,如何構(gòu)造直角三角形來解決線段長度的求解問題.

    [關(guān)鍵詞] 直角三角形;中點;動點;輔助線

    當(dāng)學(xué)生面對求解線段長度問題束手無策時,毫不夸張地說,直角三角形會讓他們豁然開朗. 這要歸功于直角三角形那些“美好”的屬性,其中最為好用的就是“斜邊上的中線等于斜邊的一半”. 但題目往往不會直接給出明顯的直角三角形,所以需要我們自己去構(gòu)造. 下面,筆者從構(gòu)造直角三角形的不同方法入手,講解如何利用其解決線段長度的求解問題.

    試題呈現(xiàn),方法提煉

    在求解線段長度的試題中,有這樣一類題:所求線段的兩個端點是某兩條已知線段的中點,這類題往往在命題中就給出了足夠的點,我們只需連接一些已知點來構(gòu)造直角三角形即可.

    例1?搖 如圖1,四邊形ABCD是邊長為6的正方形,點E在邊AB上,BE=4,過點E作EF∥BC,分別交BD,CD于點G和點F,若M,N分別是DG,CE的中點,則MN的長為(?搖?搖 )

    A. 3 ?搖 B. 2■?搖?搖 ?搖C. ■?搖?搖?搖 D. 4

    解析?搖 連接MF,BF,由題意知B,N,F(xiàn)三點共線,且BN=NF,△MBF是直角三角形. 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知,MN的長是BF的一半,所以MN=■BF=■. 所以答案為C.

    提煉“真經(jīng)”?搖 本題難度適中,條件中給足了“中點暗示”,兩個中點分別提供了直角和一條三角形的邊,進(jìn)而為輔助線提供了思路,同時也暗示了直角三角形在此題中的重要地位.

    至此,本篇文章的主角——“直角三角形”就正式出場了. 事實上,解初中幾何問題的實質(zhì)就是在給定的圖形及條件中尋找或創(chuàng)造出一些特殊的形狀,如直角三角形、圓形、矩形、等腰三角形等,然后利用它們的特殊性質(zhì)達(dá)到解題的目的. 下面以具體示例來說明如何分析和構(gòu)造“直角三角形”,以達(dá)到解題的目的. 當(dāng)然,這些方法只是解題思路的冰山一角,學(xué)生可以以此為切入點,找到適合自己的解題技巧.

    觸類旁通,剖析動點

    動點問題在初中幾何問題中非常常見,相對于解答題來說,選擇題中的動點問題較容易,因為對于動點來說,總是存在著一些特殊的位置,使得問題變得無比簡單,其中就包括直角三角形,其往往能使問題的解決豁然開朗.

    例2?搖 如圖2,△ABC的底邊AB固定,且AB=4,頂點C是動點,分別以AC,BC為邊向外作正方形ACED和正方形BCFG,連接DG,取線段DG,AB的中點M和O,連接OM,那么OM的長為( )

    A. 3 B. 2 ?搖C. ■?搖 D. ■

    解析?搖 由于是選擇題,可運用特殊化思想. 由于點C是動點,猜想點C運動到使△ABC是特殊三角形時,求出線段OM的長度. 當(dāng)點C運動到使△ABC是等腰直角三角形時(如圖3),因為△ABC是等腰直角三角形,O是AB的中點,所以CO=■AB. 由題意可知,D,C,G三點在一條直線上,且DC=CG,所以點C與點M重合. 所以MO=CO=■×4=2. 所以答案為B.

    該題以選擇題的形式出現(xiàn),大大降低了難度,學(xué)生只要找到合適的特殊位置就可以輕松求解,因為選擇題不需要嚴(yán)密的證明,但若是解答題或填空題,有可能答案的個數(shù)不唯一,那就需要學(xué)生有較高的動態(tài)思維、推理論證、綜合運用知識的能力了.

    舉一反三,添加輔助線

    有的問題,連接已知點,并不能得到直角三角形,所求的線段也并沒有明顯地存在于直角三角形中,此時要想解題,就要作一條或幾條輔助線,通過構(gòu)造直角三角形來求解.

    例3?搖 如圖4,正方形ABCD的邊長為4,點O為對角線AC,BD的交點,點E是CD的中點,連接BE交OC于點G,且OG=■OC,過點C作CF⊥BE于點F,連接OF,則OF的長為______.

    解析 過點F作FP⊥OC于點P,因為B,C,F(xiàn),O四點共圓,所以∠FOP=∠FBC,sin∠FOP=sin∠FBC=■. 因為OG=■OC=■OB,所以sin∠FCP=sin∠FBO=■,F(xiàn)P=FC·sin∠FCP=■. 故在Rt△OPF中,OF=■=■■.

    在該題中,有個明顯的特點,就是添加了輔助圓,其實在一些線段求解問題中,我們經(jīng)常會運用到一些特殊形狀的性質(zhì)定理. 對于圓來說,有圓冪定理、角平分線定理、中線定理等,這些定理往往可以直接解題,但這對數(shù)學(xué)知識和解題能力的要求比較高.

    總結(jié)提高

    對于求線段長度問題,筆者列舉了幾種利用直角三角形解題的策略和方法,重點就是要告訴學(xué)生,這些都是有章可循的. 對于此類問題,關(guān)鍵在于就題論題,抓住問題的本質(zhì),選擇適合該題的最有效的方法,使解題過程優(yōu)化,提高解題速度. 教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生多做練習(xí),讓其在遇到線段長度問題時能借助直角三角形,盡快擺脫題目的迷惑,看到答案的“廬山真面目”.endprint

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