區(qū)間集非交換剩余格廣義Fuzzy濾子的構(gòu)造性刻畫

喬希民,謝小軍，羅俊麗,吳洪博

(1.廣州工商學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，廣東 佛山 510850；2.商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西 商洛 726000；3.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062)

美國(guó)計(jì)算與控制論專家Zadeh于1965年所創(chuàng)立的模糊集理論[1]，極大地促進(jìn)了建立在模糊集理論上的模糊演繹推理邏輯體系和與之相匹配的模糊邏輯代數(shù)分析的發(fā)展。波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的粗糙集理論[2]，是對(duì)知識(shí)庫研究化為對(duì)等價(jià)關(guān)系的研究，是對(duì)知識(shí)庫的約簡(jiǎn)化為對(duì)等價(jià)關(guān)系族的約簡(jiǎn)，最大限度地克服了模糊集中隸屬度論域函數(shù)同類隸屬關(guān)系的主觀性，從而用知識(shí)庫中上近似集與下近似集的清晰知識(shí)來表述任意“不確定性”與“含糊”的不一致性，討論基于知識(shí)粒度的模糊相似關(guān)系的上、下近似及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、模糊粗糙集的數(shù)學(xué)特征，顯現(xiàn)了Zadeh集與Pawlak集的不可區(qū)分性、近似空間、知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)等核心概念，在云計(jì)算、云模型、云變換(粒計(jì)算理論與方法)、云推理、云控制、數(shù)據(jù)場(chǎng)與拓?fù)鋭?shì)、三支決策分析等人工智能方面的廣泛應(yīng)用[3-7]。Yao等人從粗糙集的近似結(jié)構(gòu)出發(fā)，既將描述部分已知概念的信息不完備性得以精確地給出，又將下近似集和上近似集滿足特定條件的語義解釋相結(jié)合，抽象概括為區(qū)間集概念[8-11]，完善了區(qū)間理論體系。文獻(xiàn)[12]主要介紹了三支決策理論、模型與方法，基于模糊集、粗糙集、區(qū)間集構(gòu)造三支決策，基于直覺模糊集與區(qū)間集的三支決策研究，形式概念的三支表示，粗糙模糊集與模糊三支決策等。文獻(xiàn)[13]研究了基于經(jīng)典集、模糊集、粗糙集三種語境下的二元關(guān)系的模糊粗糙近似算子的構(gòu)造性數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以及近似算子的公理化刻畫等，充分體現(xiàn)區(qū)間集理論在三支概念分析與決策計(jì)算等領(lǐng)域中的實(shí)踐[14-16]。濾子理論[17-21]既是研究模糊邏輯演繹推理系統(tǒng)可視為代數(shù)濾子的鏡像,又是眾多學(xué)者從不同視域提出性質(zhì)迥異的濾子概念，拓展了模糊邏輯代數(shù)分析的研究路徑。文獻(xiàn)[22]研究了邏輯代數(shù)上的濾子(理想)理論,EQ-代數(shù)上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及拓?fù)銭Q-代數(shù)，邏輯代數(shù)及其超結(jié)構(gòu)上的態(tài)理論、內(nèi)態(tài)理論和廣義態(tài)理論，而基于非可換邏輯代數(shù)均含有共同的非交換剩余格這一本質(zhì)的基礎(chǔ)性代數(shù)結(jié)構(gòu)。

本文將區(qū)間集思想和濾子理論應(yīng)用于非交換剩余格，在給出區(qū)間集非交換剩余格的定義和文獻(xiàn)[23-26]的基礎(chǔ)上，構(gòu)造性地研究了區(qū)間集非交換剩余格廣義Fuzzy濾子的代數(shù)結(jié)構(gòu)，又進(jìn)一步討論了它們之間的等價(jià)性表示定理的特征刻畫。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9-11]設(shè)A=[Al,Au]，其中Al,Au是任意經(jīng)典集合且Al?Au。區(qū)間集用下近似集和上近似集對(duì)來表示,定義如下:設(shè)U為論域,2U是U的冪集，那么區(qū)間集上2U的子集形式為：A=[Al,Au]={A∈2U|Al?A?Au}，稱其為一個(gè)閉區(qū)間集。閉區(qū)間上的所有區(qū)間集的集合記為I(2U)={[Al,Au]|Al,Au?U,Al?Au}。

注1 當(dāng)Al=Au時(shí),區(qū)間集A=[Al,Au]成為經(jīng)典集合A,其全集U=[U,U],空集?=[?,?]。

引理1 設(shè)A,B,C∈I(2U),則下列各式成立:

(2) 〈I(2U),?,U〉是以U為單位元的半群；

則稱I(2U)為區(qū)間集上非交換剩余格。

定義4[23-26]若I(2U)中的算子滿足交換性,則稱I(2U)為區(qū)間集交換剩余格。

性質(zhì)1[23-26]設(shè)?X,Y,Z∈I(2U),則有

(1) ?:I(2U)×I(2U)→I(2U)是單調(diào)遞增的；

定義5[23-26]設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,J?I(2U),J≠?,如果?X,Y∈I(2U),有

(2) 若X,Y∈I(2U)，則X?Y∈I(2U)，

那么稱J為I(2U)上的一個(gè)濾子,所有濾子之集記為J(I(2U))。

命題1[23-26]設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,J?I(2U),J≠?,則J是濾子當(dāng)且僅當(dāng)J滿足

(1)U∈J；

定義6[23-26]設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,J:I(2U)→[?,U]是一個(gè)映射，則J為I(2U)的模糊子集。全體模糊子集之集記為F(I(2U))。

定義8[23-26]設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,X∈I(2U),J∈F(I(2U)),若J滿足

則稱J為I(2U)上的一個(gè)模糊值,記為XT,其中X是XT的支撐,T為XT的值,記為G(X,T)。

注3P(X)與T的線性和記為P(X)⊕T;P(X)與T的線性差記為P(X)?T。

定義9[23-26]設(shè)?X,Y∈I(2U),J∈F(I(2U)),如果J滿足以下條件:

則J稱為I(2U)上的Fuzzy濾子。

命題2[23-26]設(shè)J∈F(I(2U))，則J是I(2U)上的一個(gè)廣義Fuzzy濾子的充要條件為:

2 I(2U)上廣義Fuzzy濾子的構(gòu)造

定義10[25]設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,F∈F(I(2U)),若滿足

則稱F為I(2U)上的廣義Fuzzy濾子。全體廣義Fuzzy濾子之集記為FF(I(2U))。

定理1 設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,F∈F(I(2U)),則F為I(2U)上的一個(gè)廣義Fuzzy濾子的充要條件是F滿足

又對(duì)?X,Y∈I(2U),由性質(zhì)1中之(6)和定義10中之(1)得

充分性：分以下兩步完成:

定理2 設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,F∈F(I(2U)),則下述條件等價(jià)：

(1)F是I(2U)上的一個(gè)廣義Fuzzy濾子；

證明 由(1)推(2)。設(shè)F是I(2U)上的一個(gè)廣義Fuzzy濾子，又設(shè)X,Y,Z∈I(2U)且X?(Y?Z)=U，則由定理1有

由(1)推(3)，仿上述由(1)推(2)可得。故定理2成立。

定理3 設(shè)I(2U)是區(qū)間集非交換剩余格,F∈F(I(2U)),則F為I(2U)上一個(gè)廣義Fuzzy濾子的充要條件是:?T∈((CI,U],G(F,T)為I(2U)上的一個(gè)廣義濾子。這里G(F,T)是非空的。

證明 必要性：假設(shè)?T∈((CI,U],G(F,T)是非空的,分以下兩種情形證G(F,T)是一個(gè)廣義濾子。

故由命題1知G(F,T)是I(2U)上的一個(gè)廣義濾子。

充分性：分以下兩步完成:

故根據(jù)定理1知F是I(2U)上的一個(gè)廣義Fuzzy濾子。

證明 必要性：設(shè)?T∈(?,CI],且H(F,T)是非空的,分以下兩步:

H(F,T)。

故依據(jù)命題1知H(F，T)是I(2U)上的廣義濾子。

充分性：分以下兩步完成:

故依據(jù)定理1知F是I(2U)上的廣義Fuzzy濾子。

3 結(jié)語