具有控制結(jié)構(gòu)的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題解集的本質(zhì)連通區(qū)

賴遵遠(yuǎn)，陳劍塵

（南昌航空大學(xué)，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063）

引 言

在研究非線性問(wèn)題的穩(wěn)定性中，解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性是值得探討的問(wèn)題。而強(qiáng)向量均衡問(wèn)題求出的強(qiáng)解是一種理想的解，相比向量均衡問(wèn)題中的有效解、弱有效解和真有效解等均更好[1-6]。因此，研究強(qiáng)向量均衡問(wèn)題解集的本質(zhì)連通區(qū)是十分有意義的，同時(shí)也取得了一些相關(guān)研究成果。例如：龔循華和袁淑敏[7]在約束集值映射滿足一定連續(xù)性、目標(biāo)映射是錐-真擬凸的條件下，證明了對(duì)稱強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題構(gòu)成的空間M中其解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性定理；孟旭東和張傳美[8]在目標(biāo)映射為錐-真擬凸、約束集值映射滿足一定連續(xù)性的條件下，得到了廣義強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題構(gòu)成的空間M中對(duì)每個(gè)廣義強(qiáng)向量擬均衡問(wèn)題解集至少存在一個(gè)本質(zhì)連通區(qū)；熊昀暄和陳劍塵[9]在序錐C的拓?fù)鋬?nèi)部為空、C非空的條件下，給出了強(qiáng)向量均衡問(wèn)題解集的本質(zhì)連通區(qū)也是存在的結(jié)論。

一些數(shù)學(xué)家研究解集的本質(zhì)連通區(qū)都是在序錐不變動(dòng)的情況下進(jìn)行的，而事實(shí)上當(dāng)序錐變動(dòng)時(shí)，解集的本質(zhì)連通區(qū)也是值得研究的。本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，利用具有控制結(jié)構(gòu)的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題解映射為usco映射的引理，當(dāng)序錐是變動(dòng)的以及映射滿足一定的條件下，證明了具有控制結(jié)構(gòu)的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性定理。

1 預(yù)備知識(shí)

除特別說(shuō)明外，本文始終假設(shè)X和Y均為實(shí)Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K是X中的非空緊凸子集，C:K→2Y是一個(gè)集值映射，使得對(duì)?x∈K，C(x)均為Y中的閉凸點(diǎn)錐。族{C(x):x∈K}被稱為Y上的控制結(jié)構(gòu)[11]，記K(Y)表示為Y上全體的非空緊子集。再設(shè)F:K×K→2Y為集值映射，我們考慮以下具有控制結(jié)構(gòu)的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題(簡(jiǎn)稱SSVEPD)：求x∈K，使得

接下來(lái)，我們來(lái)介紹一些集值映射的基本概念和結(jié)論。

定義1.1[12]設(shè)X和Y均為拓?fù)渚€性空間，F(xiàn):X→2Y為集值向量，則

（1）稱F在x′∈X處是上半連續(xù)的，若對(duì)包含F(xiàn)(x)的任一開集V，存在包含x′的開集U，使得F(x)?V，?x∈U. 稱F在X上是上半連續(xù)的，若F在X上的任一點(diǎn)均為上半連續(xù)的。

（2）稱F在x′∈X處是下半連續(xù)的，若對(duì)包含F(xiàn)(x)任一開集V，F(xiàn)(x′)∩V≠?，存在包含x′的開集U，使得F(x)∩V≠?，?x∈U。稱F在X上是下半連續(xù)的，若F在X上的任一點(diǎn)均為下半連續(xù)的。

（3）稱F在X上是連續(xù)的，若F在X上既是上半連續(xù)的，又是下半連續(xù)的。

（4）稱F是usco映射，若對(duì)任意的x′∈X，F(xiàn)(x′)是緊值的，且F在X上是上半連續(xù)的。

引理1.1[13]設(shè)E1和E2均為賦范線性空間，A?E1，B?E2均為非空緊凸集，T1:A→2B，T2:A→2B均為A上有非空緊凸值且上（下）半連續(xù)的映射，λ(x)和μ(x)均為A上的連續(xù)函數(shù)，且λ(x)≥0，μ(x)≥0，λ(x)+μ(x)=1，?x∈A，則

是A上 具有非空緊凸值且上（下）半連續(xù)的映射。

引理1.2[14]設(shè)D是一個(gè)半序集，如果D的每一個(gè)全序子集都有上（下）界，則D必有極大（?。┰?。

定義1.2[10]設(shè)X和Y均為拓?fù)渚€性空間，C:K→2Y是一個(gè)集值映射，使得對(duì)?x∈K，C(x)均為Y中的閉凸點(diǎn)錐。G:X→2Y為集值映射，稱G為C(x)?似擬凸的，若對(duì)?x1,x2∈X，?λ∈(0,1)，有

或者

文獻(xiàn)[10]給出了具有控制結(jié)構(gòu)的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題解的存在性定理。

引理1.3[10]設(shè)X和Y均為實(shí)Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K?X為非空緊凸子集，C:K→2Y為閉集值映射，C(x)為Y中的閉凸點(diǎn)錐，F(xiàn):K×K→2Y為集值映射。如果下列條件同時(shí)成立：

（1）對(duì)?x∈K，F(xiàn)(x,x)?C(x)；

（2 ）對(duì)?y∈K，F(xiàn)(x,y)在K上關(guān)于x是下半連續(xù)的；

（3）對(duì)?x∈K，F(xiàn)(x,y)在K上關(guān)于y是C(x)?似擬凸的。則

（i ）SSVEPD在K中是可解的，即存在x∈K，使得

（ii）SSVEPD解集是K中的緊子集。

2 SSVEPD解集的本質(zhì)連通區(qū)

在本節(jié)中，將證明對(duì)任一u=F∈M，Φ(u)中都至少存在一個(gè)本質(zhì)連通區(qū)。設(shè)X和Y均為Banach空間，K為X中的非空緊凸子集，F(xiàn):K×K→2Y為集值映射。令

其中，F(xiàn)(x,y)是緊值，且滿足引理1.3中（i）、（ii）、（iii）。

設(shè)B1和B2均為賦范空間中的緊子集，則B1和B2中的Hausdorff度量定義為：

其中，h0(B1,B2)=sup{d(b,B2)|b∈B1}，d(b,B2)=inf{|b?b′||b′∈B2}。

對(duì)?F1,F2∈M，定義：

其中，h表示為K(Y)上的Hausdorff度量，K(Y)表示為Y上的所有非空緊子集。

于是對(duì) ?F∈M，Φ定義了一個(gè)從M到2K的集值映射且Φ(F)≠?。

引理2.1[10]Φ:M→2K是一個(gè)usco映射。

定義2.1[10]對(duì)任意的u=F∈M，x∈Φ(u)，則

（1）稱x是Φ(u)的本質(zhì)解，如果對(duì)x在K中的任何開鄰域O，存在u在M中的開鄰域V，使得對(duì)?u′∈V，有Φ(u′)∩O≠?。

（2 ）稱u是本質(zhì)的，如果u的任一解均為本質(zhì)的。

（3）稱u是弱本質(zhì)的，如果存在u的 某個(gè)解為本質(zhì)的。

引理2.2[10]存在M中的稠密剩余集Q，使得對(duì)?F∈Q均 為本質(zhì)的。

下面的例子類似于文獻(xiàn)[15]中的例1。

例1令F(x,y)={(x1,y1),(x2,y2)}，?(x,y)∈K×K，其中(x1,y1)≠(x2,y2). 顯然F∈M，Φ(F)={(x1,y1),(x2,y2)}.如果 Φ(F)存在本質(zhì)解，則本質(zhì)解只能為x1或x2。

下證x1或x2均不可能為Φ(F)的本質(zhì)解。

不妨設(shè)x2是Φ(F)的本質(zhì)解，那么由于(x1,y1)≠(x2,y2)，故存在ε0>0，使得

其中，B((xi,yi),ε0)={(x,y)∈K×K|h((x,y),(xi,yi))<ε0}，i=1,2。

于是，對(duì)?ε∈(0,ε0)，顯然B((x2,y2),ε)為(x2,y2)的一個(gè)開鄰域。但對(duì)?δ>0，我們?nèi)　蔒滿足存在(x0,y0)∈K×K，使得

上述例子表明，引理2.2中的Q≠M(fèi)，即M中的某些問(wèn)題甚至不存在本質(zhì)解，因而有必要研究M中問(wèn)題的解集的本質(zhì)連通區(qū)。

設(shè)u=F=M，x∈Φ(u)，則稱Φ(u)中包含x的所有連通子集的一個(gè)并集為x∈Φ(u)的連通分支[16]。因?yàn)镵為緊的以及連通分支是Φ(u)的連通閉子集，所以連通分支是連通緊集，且Φ(u)有以下的分解：，其中Λ為指標(biāo)集。

對(duì)?α∈Λ，Φα(u)是Φ(u)中的非空連通子集，且對(duì)?α∈Λ，?β∈Λ(α≠β)，有Φα(u)∩Φβ(u)≠?

引理2.3[17]設(shè)A，B和W均為K中的非空有界集，則

其中h為 Hausdorff度量，λ≥0，μ≥0且λ+μ=1。

定義2.2[13]設(shè)u=F∈M，P是Φ(u)中的非空閉子集。

（1）稱P是Φ(u)的本質(zhì)集，若對(duì)包含P的任意一個(gè)開鄰域O，存在δ>0，使得對(duì)?u′∈M且ρ(u,u′)<δ，有

（2）稱Φ(u)中的連通分支Φα(u)是一個(gè)本質(zhì)連通區(qū)，若Φα(u)是本質(zhì)的。

（3）稱Φ(u)中的本質(zhì)集P是極小本質(zhì)集，若P在Φ(u)中的任何本質(zhì)集的族中按集合包含關(guān)系所定的序關(guān)系均是極小元。

接下來(lái)，我們討論SSVEPD解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性。

定理2.1對(duì)每個(gè)u=F∈M，Φ(u)中都至少存在一個(gè)極小本質(zhì)集。

證明：由引理2.1知，Φ:M→2K是一個(gè)usco映射，即集值映射Φ是上半連續(xù)的，則Φ(u)本身為本質(zhì)集。設(shè)Ψ是Φ(u)中所有本質(zhì)集的集合，則Ψ為非空的。對(duì)Ψ任意一個(gè)非空全序子集φ，因?yàn)?φ的每個(gè)成員均為緊的，所以 φ中的所有成員之交是緊集，因而φ是有下界。根據(jù)引理1.2知，φ存在極小元，該極小元就為Φ(u)的極小本質(zhì)集。證畢。

定理2.2對(duì)任何的u=F∈M，Φ(u)的每個(gè)極小本質(zhì)集均為連通的。

證明：設(shè)m(u)是Φ(u)的一個(gè)極小本質(zhì)集，則m(u)為Φ(u)的閉子集。如果m(u)不是連通的，則有Φ(u)中的兩個(gè)非空閉子集w1(u)，w2(u)以及X中的兩個(gè)開子集I1，I2，使得

因?yàn)閙(u)是Φ(u)的極小本質(zhì)集，所以w1(u)和w2(u)均不是本質(zhì)的。因此，存在兩個(gè)開集S1，S2，并且w1(u)?S1以及w2(u)?S2，使得對(duì)任意的δ>0，存在u1,u2∈M以及ρ(u,u1)<δ，ρ(u,u2)<δ，但

令R1=I1∩S1，R2=I2∩S2，則R1和R2均為開集，且w1(u)?R1，w2(u)?R2.因?yàn)閣1(u)和w2(u)均為緊集，所以存在開集L1和L2，使得

因?yàn)閙(u)?L1∪L2，m(u)是本質(zhì)的，所以存在δ′>0，使得對(duì)任何滿足ρ(u,u′)<δ′的u′，有

由于L1?S1，L2?S2，則對(duì)上述的>0，由（1）式知，存在u1,u2∈M，使得

因?yàn)閡1,u2∈M，則u1=F1，u2=F2。

現(xiàn)定義F′:K×K→2Y如下：

顯然，λ(x)和μ(x)均為K上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)?x∈K，有λ(x)≥0，μ(x)≥0以及λ(x)+μ(x)=1.注意到F1(x,y)和F2(x,y)均為連續(xù)的，則由由引理1.1知

由引理2.2知

由（3）式，得

由式（2），得

如果x∈L1，則λ(x)=1，μ(x)=0，F(xiàn)′(x,y)=F1(x,y).

如果x∈Φ(u′)，則F′(x,y)?C(x)，?y∈K.于是，F(xiàn)1(x,y)?C(x)，?y∈K，則x∈Φ(u1)，這與式（3）是矛盾的，故Φ(u′)∩L1=?.

同理可證 Φ(u′)∩L2=?，則

因此，m(u)為連通的。證畢。

定理2.3對(duì)?u=F∈M，Φ(u)至少存在一個(gè)本質(zhì)連通區(qū)。

證明：對(duì)?u=F∈M，由定理2.1和定理2.2知，Φ(u)中至少存在一個(gè)連通的極小本質(zhì)集P. 又因?yàn)镻必包含于Φ(u)的某個(gè)連通區(qū)Φα(u)，且P為本質(zhì)的，所 以由定義2.2知，Φα(u)是Φ(u)的本質(zhì)連通區(qū)。證畢。

3 結(jié) 論

本文在Banach空間中，當(dāng)映射滿足一定的條件以及序錐是擾動(dòng)的情況下，證明了集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題所構(gòu)成的空間M中，SSVEPD解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性定理，并將現(xiàn)有的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題的本質(zhì)連通區(qū)，推廣到具有控制結(jié)構(gòu)的集值強(qiáng)向量均衡問(wèn)題的本質(zhì)連通區(qū)。