建立數(shù)學(xué)模型 促進學(xué)生的深入理解

張 勇

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模階段，即讓學(xué)生經(jīng)歷從復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出問題的過程，找到一類問題的共性，然后建構(gòu)出基本的模型，并在不斷探索和嘗試的過程中豐富模型，從而達成對知識的深入理解和全面認(rèn)識。在實際教學(xué)中，教師要尋找合適的材料，推動學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)建模，引領(lǐng)學(xué)生有效學(xué)習(xí)，具體可以從以下幾個方面入手：

一、借力比較過程，抽象基礎(chǔ)模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型不是簡單的模仿和應(yīng)用，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，通過觀察、比較、分析、實踐等去發(fā)現(xiàn)問題，抽象出一類現(xiàn)象的共性，從而建構(gòu)出基本的問題模型來。所以在實際教學(xué)中，教師要選擇合適的素材，促進學(xué)生的抽象能力，推動數(shù)學(xué)模型的建立。

例如在“假設(shè)的策略”教學(xué)中，我首先出示例題：同學(xué)們?nèi)ス珗@劃船，52名同學(xué)正好租了10條船，已知每條小船能坐4人，每條大船能坐6人，那么租的小船和大船各有多少條？在引導(dǎo)學(xué)生獨立分析問題之后，我組織他們集體交流，學(xué)生展示出不同的思路：有學(xué)生通過畫圖來尋找答案，有學(xué)生用一一列舉的方法來湊出答案，還有的學(xué)生先假設(shè)10條船全是小船，這樣得到可坐40人，然后將其中一些小船改成大船，經(jīng)過計算學(xué)生發(fā)現(xiàn)想要增加12人需要將其中6條船改成大船。交流過程中學(xué)生結(jié)合畫圖過程理解了假設(shè)的思路，并認(rèn)定這樣的思路在解決這個問題的時候相對比較簡單。教學(xué)例題之后，我再出示一道古代的數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”給學(xué)生嘗試，大部分學(xué)生選擇的是假設(shè)的方法，在交流這個問題的時候，學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)這個問題與之前的例題有共同點，雞和兔就相當(dāng)于小船和大船，它們腳的數(shù)量相當(dāng)于大船和小船能夠坐的人數(shù)，有了這樣的認(rèn)識，學(xué)生對于這類問題就建構(gòu)出一個模型來，再碰到類似的問題他們會自覺運用之前的方法經(jīng)驗來嘗試解決問題。

在這個教學(xué)案例中，學(xué)生經(jīng)歷了比較和分析，發(fā)現(xiàn)了幾個問題之間的共同之處，這樣的經(jīng)歷促進學(xué)生建構(gòu)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而為他們掌握假設(shè)的策略提供了幫助。

二、借力直觀形象，搭建數(shù)學(xué)模型

小學(xué)生尚處于具體形象思維為主的階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中，教師要盡量為學(xué)生提供一些表象作為支撐，幫助學(xué)生形象地認(rèn)識問題，幫助學(xué)生構(gòu)建相對清晰的數(shù)學(xué)模型。

例如在“24時記時法”的教學(xué)中，我利用學(xué)生已經(jīng)具備了用普通記時法來記錄一天24小時的基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)出一個普通記時法下的矛盾，從而引發(fā)了學(xué)生將一天的24小時全部記錄出來的欲望。在此基礎(chǔ)上，我利用課件動態(tài)呈現(xiàn)了一天24小時的變化過程。在課件中，結(jié)合背景的變化，鐘面上的時針轉(zhuǎn)動了兩圈，在時針轉(zhuǎn)動的同時，下面的時間軸一直向前走，并且在時間軸上的整點處課件會自動出示24時記時法下的即時時刻，當(dāng)一圈轉(zhuǎn)完開始第二圈的時候，時間軸長的時刻變成了13：00、14：00、15：00……學(xué)生自然將這些時刻與鐘面上的時刻進行對比，并發(fā)現(xiàn)一天中時鐘轉(zhuǎn)動第二圈的時候，24時計時法下的時刻需要用鐘面上所指的數(shù)加上12。

從教學(xué)效果來看，這個動態(tài)的課件起到了重要的作用，尤其是課件中背景的變化，讓學(xué)生形象地認(rèn)識到時鐘轉(zhuǎn)動的第一圈是從夜里12時開始到中午的12時，而第二圈是從中午12時開始到晚上的12時，這種形象化的材料推動了學(xué)生的模型建構(gòu)，降低了學(xué)生理解的難度。

三、借助實際材料，豐富數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)與生活有著緊密的聯(lián)系，很多數(shù)學(xué)知識可以在生活中找到原始的模型，很多生活問題可以從數(shù)學(xué)的角度去理解和解釋，所以在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的時候，教師可以找到一些生活中的模型來促進學(xué)生的理解與認(rèn)識，讓學(xué)生的模型進一步豐富起來。

例如在“角的認(rèn)識”教學(xué)中，教師首先出示一些生活中的模型，比如扇子、剪刀等等，并從實物中將角抽象出來。在告訴學(xué)生這些就是角之后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這些角的共同點，并嘗試用自己的語言來描述，學(xué)生在交流中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的角的共同點是有一個頂點和兩條邊，而且隨著兩條射線的轉(zhuǎn)動，角的大小會發(fā)生變化。有了這樣的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)角就立體的建構(gòu)了出來，并且與生活中一些不具備數(shù)學(xué)角本質(zhì)特征的角(比如動物的角)區(qū)分開來。在這個教學(xué)案例中，教師尋找的素材無疑是貼切的，借助于這些生活素材，學(xué)生很好地把握了角的本質(zhì)特征，構(gòu)建了幾何學(xué)習(xí)的特征要素。

總之，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中構(gòu)建出穩(wěn)固而豐富的數(shù)學(xué)模型對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有幫助的，在實際教學(xué)中教師需要為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模提供良好的條件，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷豐富而真實的學(xué)習(xí)過程，在探索和思考中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并達成必要的數(shù)學(xué)理解。