哥德爾定理中遞歸結(jié)構(gòu)在圖形設(shè)計中的探究

摘要：本文簡要分析自我遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾幾幅著名作品中的應(yīng)用，以圖形設(shè)計過程中設(shè)計靈感的獲取、設(shè)計程序的敲定、設(shè)計信息的提煉之間的內(nèi)在聯(lián)系為基礎(chǔ)，對獲取的設(shè)計元素在圖形視覺形態(tài)上進(jìn)行整合，最終應(yīng)用于圖形設(shè)計的設(shè)計實踐中，為今后的遞歸結(jié)構(gòu)應(yīng)用到圖形設(shè)計領(lǐng)域以及數(shù)理邏輯與藝術(shù)設(shè)計領(lǐng)域的結(jié)合提供科學(xué)理論研究與案例參考。

關(guān)鍵詞：哥德爾不完備定理 遞歸函數(shù) 埃舍爾 圖形設(shè)計

美國作家侯世達(dá)的《哥德爾，艾舍爾，巴赫——集異璧之大成》一書，將哥德爾的數(shù)理邏輯、埃舍爾的版畫、巴赫的音樂貫穿在一起，揭示出三者之間“三位一體”“殊途同歸”的關(guān)系。哥德爾深奧的數(shù)理邏輯與埃舍爾的版畫和巴赫的音樂有著相同的“自指遞歸”。埃舍爾用他的版畫表現(xiàn)出視覺藝術(shù)的怪圈，他的名言是“誰敢確定地板不是天花板”;本著自指遞歸的思維，巴赫創(chuàng)造出“合理錯位”但結(jié)尾又能回到開頭的《卡農(nóng)》;哥德爾依靠數(shù)理邏輯來推理數(shù)理邏輯本身，從而創(chuàng)造出了哥德爾不完備定理。

一、哥德爾定理簡述

（一）哥德爾不完備定理

作為數(shù)學(xué)界最重要的定理之一，其“不完備定理”的影響已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尤其是哥德爾的不完備定理在推理過程中使用的原始遞歸函數(shù)如今在元數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、音樂、藝術(shù)設(shè)計方面也產(chǎn)生重要影響。

哥德爾不完備定理認(rèn)為：在一個足夠復(fù)雜的公理體系形式系統(tǒng)中（包含皮亞諾算術(shù)公理），都存在一個命題，它在這個系統(tǒng)內(nèi)既不能被證明也不能被否定。簡言之，哥德爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)系統(tǒng)是不完備的，并且還是不可完備的。

（二）遞歸函數(shù)與遞歸結(jié)構(gòu)

據(jù)甘迪（Robin Gandy，1919—1995）考證，首先使用“遞歸”術(shù)語的人是形式主義學(xué)派“首領(lǐng)”希爾伯特。原始遞歸函數(shù)是由哥德爾首先提出來的，現(xiàn)如今仍然是計算機(jī)理論的一個重要概念。所謂的原始遞歸函數(shù)是指由初始函數(shù)開始，經(jīng)過有限次數(shù)的代入于原始遞歸式而作出的函數(shù)。

不管是哥德爾首先提出的原始遞歸函數(shù)，還是后來提出的一般遞歸函數(shù)，其實都是一種典型的遞歸結(jié)構(gòu)。遞歸函數(shù)關(guān)系本質(zhì)是一種迭代關(guān)系，而迭代實質(zhì)上是一個循環(huán)反饋的過程，即由最初的函數(shù)（或自身）作為“輸入”，由“輸入”通過遞歸得到“輸出”，隨后把得到的“輸出”再作為“輸入”引入函數(shù)，不論是多復(fù)雜的遞歸函數(shù)，都可以看作是一種把“果”又當(dāng)成“因”的循環(huán)迭代過程。這樣一種互為因果、互為輸入與輸出的循環(huán)迭代過程就是遞歸過程或成為遞歸結(jié)構(gòu)。而這種互為因果、互為輸入與輸出的循環(huán)過程在埃舍爾的版畫中體現(xiàn)得淋漓盡致，創(chuàng)造出了許多令人驚奇的圖形設(shè)計作品。

哥德爾當(dāng)時所說的一般遞歸函數(shù)，可根據(jù)它本身的定義理解為“在有限證明步驟內(nèi)可以計算的函數(shù)”。如今數(shù)學(xué)界已經(jīng)證明：可以從初始函數(shù)開始以有限步驟計算出的函數(shù)都是遞歸函數(shù)。在《哥德爾，艾舍爾，巴赫——集異璧之大成中》，作者通過自指遞歸思維將哥德爾不完備定理，埃舍爾自相纏繞的版畫，巴赫循環(huán)上升最終又回到起點的音樂三者緊密聯(lián)系在一起。本文重點探討遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用以及與圖形創(chuàng)新設(shè)計的結(jié)合。

二、遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用

作為20世紀(jì)荷蘭著名版畫家的埃舍爾，他的畫作因包含大量的數(shù)學(xué)性、物理性以及哲學(xué)性被許多數(shù)學(xué)家、畫家所喜愛。埃舍爾將二維空間里視覺元素以及遞歸過程描繪在三維空間的真實場景中，并且畫面沒有一絲違和感，其中自相纏繞的怪圈或自指遞歸過程經(jīng)常作為主體出現(xiàn)在他的畫中。

1960年，英國數(shù)學(xué)家莫比烏斯勸埃舍爾創(chuàng)作一幅表現(xiàn)莫比烏斯帶的版畫，隨后埃舍爾在充分了解莫比烏斯帶后創(chuàng)作出一系列優(yōu)秀的拓?fù)鋵W(xué)版畫，例如《莫比烏斯帶II》（圖1）?！赌葹跛箮I》中的這只螞蟻沿著莫比烏斯帶走了一整圈最后又回到原位，沒有跳躍，也沒有跨越什么邊界，無可辯駁地證明這個結(jié)構(gòu)只有一個面。螞蟻的行走路徑陷入了一個無限循環(huán)的怪圈，以自身為初始函數(shù)開始計算完成了一個簡單的遞歸過程。

《手畫手》（圖2）是埃舍爾一生中最有名的作品之一，畫中一只右手正在畫左手的袖子，同時左手也在執(zhí)筆畫右手，此時正好處在快要結(jié)束的位置，達(dá)到了一種平衡。這是一種循環(huán)，就像前面的遞歸結(jié)構(gòu)，從一個層次進(jìn)入了另一個層次，然后又返回到原來的層次，進(jìn)行了一種無限的循環(huán)。這幅畫的空間由于手的形態(tài)，在一個二維畫面中創(chuàng)造了一個三維立體世界。

《畫廊》（圖3），畫廊里左下角是畫廊的入口，畫廊內(nèi)正在進(jìn)行展覽。我們看到一個男青年站在一幅畫前看畫，其畫上是一座水城，有很多樓房，有一艘船在水面行駛，最右角有一棟角樓，角樓是一間畫廊的入口，畫廊內(nèi)正在進(jìn)行展覽，男青年站在那里看畫……畫面將整個畫廊、水城樓房、看畫男青年放在了一個平面中，形成了一個遞歸循環(huán)的怪圈。這個遞歸循環(huán)過程可以如圖4那樣抽象地表達(dá)出來。

埃舍爾創(chuàng)造出許多充滿矛盾卻令人驚嘆的作品，在他的許多作品中，都通過分割、對稱、循環(huán)、連續(xù)、遞歸等方法，把許多三維物體在二維平面上表現(xiàn)出來。其中的某一個設(shè)計元素，在同一個系統(tǒng)內(nèi)循環(huán)上升或者循環(huán)下降，這個設(shè)計元素又回到了原來開始的地方。這是一個循環(huán)怪圈，也是一個自指遞歸的過程。

三、遞歸結(jié)構(gòu)在圖形設(shè)計中的應(yīng)用

筆者從埃舍爾版畫中的循環(huán)怪圈、自指遞歸結(jié)構(gòu)中受到啟發(fā)，探究其在圖形設(shè)計中的應(yīng)用。

首先在埃舍爾版畫中進(jìn)行設(shè)計靈感的獲取，埃舍爾版畫中使用了大量的球面來表示反射和透視的圖，比如《陽臺》（圖5），以陽臺和盆栽為中心進(jìn)行突出顯示，整個建筑物呈球形膨脹起來。而進(jìn)行循環(huán)遞歸的圖形設(shè)計創(chuàng)作，球體是最好實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)模型。

其次在設(shè)計元素提取上，采用解構(gòu)式球形、藍(lán)色海浪、帆船構(gòu)成循環(huán)遞歸，設(shè)計程序使用5W1H模型。

Why：根據(jù)數(shù)學(xué)原理中的遞歸結(jié)構(gòu)與圖形進(jìn)行結(jié)合進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計。

What：（1）在哥德爾定理中提取遞歸結(jié)構(gòu)模型;（2）探究遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用;（3）將遞歸結(jié)構(gòu)用于圖形設(shè)計實踐中做出一個創(chuàng)意圖形。

Where：用于創(chuàng)意圖形設(shè)計。

Who：1人。

When：2020年第二學(xué)期。

How：（1）色彩定位：外部海浪天藍(lán)色，內(nèi)部采用深藍(lán)色，帆船采用褐色與紅色;（2）元素定位：解構(gòu)球體模型，海浪漩渦以及帆船;（3）特點定位：通過圖形體現(xiàn)遞歸結(jié)構(gòu)在其中的應(yīng)用。

最后在確定設(shè)計元素、主題顏色、設(shè)計程序后進(jìn)行設(shè)計，如圖6所示，從最底部來看帆船從漩渦開始，帆船沿海浪循環(huán)上升，最終到達(dá)最頂部的漩渦，隨后又循環(huán)下降回到最底部的漩渦之中，從而形成一個遞歸循環(huán)的怪圈，圖形也體現(xiàn)了漁民出海與歸來的路徑情景。

四、結(jié)語

本文以哥德爾不完備定理為指導(dǎo)，借助其推理過程中的遞歸函數(shù)，總結(jié)出遞歸結(jié)構(gòu)與模型，以遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用作為理論支撐，探究其在圖形設(shè)計中的具體應(yīng)用。

遞歸結(jié)構(gòu)能夠作為一種有效的設(shè)計思維方法應(yīng)用在圖形、造型創(chuàng)造性的設(shè)計實踐之中，從而形成一個靈活有趣、富有深意的創(chuàng)意圖形。同時，遞歸結(jié)構(gòu)（包含自我遞歸結(jié)構(gòu)）能夠完全融入藝術(shù)設(shè)計領(lǐng)域之中，特別是在圖形、造型設(shè)計之中，進(jìn)而促進(jìn)藝術(shù)設(shè)計跨學(xué)科設(shè)計思維的發(fā)展。遞歸結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)有部分相似性，是一種“大遞歸中套小遞歸”的層次嵌套結(jié)構(gòu)和過程，且當(dāng)前的遞歸結(jié)構(gòu)只能滿足我們當(dāng)前的需求或設(shè)計需求，隨著認(rèn)知需求和設(shè)計需求的不斷更新，遞歸結(jié)構(gòu)也會被更新優(yōu)化，應(yīng)用在圖形、造型設(shè)計中也會創(chuàng)新優(yōu)化，從而產(chǎn)生符合這個時代需求的創(chuàng)意圖形。

本文只是就遞歸結(jié)構(gòu)對圖形進(jìn)行創(chuàng)意設(shè)計，更細(xì)致的內(nèi)容還有待于思考探究，但筆者相信，遞歸結(jié)構(gòu)融入藝術(shù)設(shè)計領(lǐng)域中，能夠為設(shè)計師從事設(shè)計實踐工作時提供靈感，無論是藝術(shù)設(shè)計，還是遞歸結(jié)構(gòu)，都能夠在創(chuàng)新、批駁、再創(chuàng)新、再批駁的過程中不斷走向科學(xué)與成熟。

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（作者簡介：董天碩，男，碩士研究生在讀，曲阜師范大學(xué)美術(shù)學(xué)院，研究方向：視覺傳達(dá)設(shè)計）

（責(zé)任編輯 劉月嬌）