對“錐體之外接球問題”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)思考

林朝暉

【摘要】高中數(shù)學(xué)立體幾何的旋轉(zhuǎn)體中，關(guān)于球的度量問題（表面積與體積等）是歷屆高考的高頻考點，尤其以錐體外接球問題為考查側(cè)重點.立體幾何教學(xué)應(yīng)遵循從特殊到一般的認知規(guī)律，充分利用實物模型與多媒體空間演示功能，進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，并輔以科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法.本文從特殊、常見、一般的錐體的外接球問題三個層面剖析如何提高球類問題的復(fù)習(xí)效果，提升學(xué)生的空間思維素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】外接球問題;空間想象能力;復(fù)習(xí)教學(xué)

球類問題是高考熱點之一，在2019年與2020年全國一卷選擇題中均有考查，且屬于中高難度.往年學(xué)生對于球類題的得分率普遍較低，其根本原因是空間想象力及應(yīng)對思路的欠缺.要提高學(xué)生的得分率，教師就必須有針對性地歸結(jié)此類問題的應(yīng)對規(guī)律，尋求思維切入點和常用手法，并加以專項訓(xùn)練.下面筆者談?wù)劯呷惠啅?fù)習(xí)中關(guān)于“錐體外接球問題”的專題復(fù)習(xí).

課程設(shè)計心得：（本文中錐、柱體均在有外接球的前提下研究，案例中的R均默認為外接球半徑，球心為O）首先在上課前讓學(xué)生思考以下問題：（1）初中學(xué)過的三角形、四邊形的外接圓有哪些性質(zhì)？（2）球的截面圓的內(nèi)接等邊或直角三角形應(yīng)怎樣科學(xué)畫圖才易于觀察？（3）球心在相對截面小圓上的射影在什么位置？（4）三角形外接圓半徑r的一般求法是什么？（5）長方體與其外接球位置之間有何特性？并在本節(jié)課開始先通過提問環(huán)節(jié)落實這些問題的答案，為下面針對性復(fù)習(xí)做好必要的鋪墊.

一、引入“具有特殊棱、角位置關(guān)系的錐體”外接球問題，激發(fā)興趣

由于長方體外接球問題是學(xué)生最容易掌握的，第一步可從特殊棱角位置題型來引入.

案例1如圖1，三棱錐A-PBC中，AP垂直于平面PBC，PB垂直于PC，PB=5， PC=4 ，PA=3，求其外接球的半徑.

教師引導(dǎo)學(xué)生：“抬頭看看教室的一個角落，你會感悟到什么？”同時拿出自己制作的長方體金屬框模型進行演示.學(xué)生自然聯(lián)想到該問題可補形成長方體，即可通過預(yù)備中的“長方體與其外接球之間的位置特性”求解.

1.小組討論：對于三組對棱均相等的四棱錐，如何求它的外接球半徑呢？（圖2）誘導(dǎo)學(xué)生先畫出一個長方體，再進行點對點連線模仿切割體驗，感受局部與整體的關(guān)聯(lián)性，從而提升應(yīng)變能力.

2.課堂演練：圖3是一個多面體的三視圖，縱橫每小格長均為1個單位，試畫出該多面體的示意圖.本題學(xué)生在短時內(nèi)作出圖比較困難，若借助長（正）方體在對應(yīng)點、線、面處描點A，B，C，D（如圖4），即可撥云見日，鞏固思維成果.

建立補形意識，尋找與長（正）方體對應(yīng)的點、線、面，通過變換轉(zhuǎn)化為長（正）方體外接球問題，能大大降低學(xué)生的空間想象及作圖難度，增強趣味性的同時讓學(xué)生建立了信心.

二、引出“常見的棱、角位置關(guān)系的錐體”外接球問題，彰顯重點

由特殊題型導(dǎo)入，調(diào)動了學(xué)生的思維興奮點之后，第二步可推出常見的也是重點的題型.

1.對于“側(cè)棱相等的棱錐”的外接球問題，可引導(dǎo)學(xué)生抓住“一心一形（確定球心的位置及創(chuàng)建有效的直角三角形）”來突破

案例2若一個正四面體ABCD的棱長為3，求該四面體的外接球半徑.

正四面體是最特殊的“側(cè)棱相等的棱錐”，由此引入易于拓展.

教師可通過多媒體演示引導(dǎo)學(xué)生全方位觀察，并讓學(xué)生自行學(xué)會歸納球心的位置，建立直角三角形，嘗試列出方程.教師進行規(guī)范化演示如下.

如圖5，在Rt△BOH中，由勾股定理，得BH2+OH2=BO2， 列方程（3）2+（6-R）2=R2求解.

這是將一個未知邊也用R來表示，建立關(guān)于R的一元二次方程的典例.

小組討論：（1）“將正四面體改為正三棱錐，情形有何變化？”引導(dǎo)學(xué)生尋找異同點（側(cè)棱長改變，本質(zhì)不變），進一步提升知識遷移能力.

（2）“三條側(cè)棱均相等的三棱錐，當?shù)酌媸侵苯侨切螘r，你會聯(lián)想到什么？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)大細節(jié)中的小細節(jié)，多總結(jié)，再遇到此類問題便可極速求解.

這種通過構(gòu)建關(guān)于R的一元方程思想，是該類問題的核心價值體現(xiàn)，加強學(xué)生這種意識的培養(yǎng)及定量的訓(xùn)練，定能收到舉一反三的成效.

2.對于“錐體中有一條側(cè)棱垂直底面”的外接球問題，可引導(dǎo)學(xué)生通過“垂直具有的特性”來突破

在上例的基礎(chǔ)上，導(dǎo)入常見的“有一條側(cè)棱垂直底面的錐體”外接球問題，培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力.

案例3如圖6，三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA垂直于底面，AB=BC=3，且AB⊥BC.若其外接球的體積為48，求PA的長.

教師可利用多媒體演示引導(dǎo)學(xué)生交互討論，嘗試導(dǎo)出結(jié)論“因PA垂直底面，該側(cè)棱兩端點關(guān)于水平大圓面對稱”，并進一步啟發(fā)：“若AC是底面小圓面的直徑，PC與球的關(guān)系是什么？”熟練運用這些對稱性結(jié)論，能提高解題效率.

圖6

圖7

課堂演練：上例的前提不變，數(shù)量條件改為PA=BC=2，cos∠BAC=223，求球O的體積.

如圖7，設(shè)r為小圓半徑，而球心與小圓心的連線與PA平行，再根據(jù)對稱性，得R2=r2+PA[]22，輕松獲解.

一條側(cè)棱垂直于底面的錐體的外接球問題也是較常見的，抓住關(guān)鍵的對稱特性，并結(jié)合模型演示，可進一步增強學(xué)生的空間對稱感，達到事半功倍的解題效果.

三、上升到“一般的棱、角位置關(guān)系的錐體”外接球問題，突破瓶頸

在引入特殊并導(dǎo)出常見題型后，可上升到在一定情境下的一般錐體的外接球問題.

1.對于“有二面角大小等條件的錐體”的外接球問題，可引導(dǎo)學(xué)生抓住“球心與兩個相鄰截面圓的位置關(guān)系”來突破

案例4如圖8，三棱錐S-ABC中，SB=SC=AB=AC=BC=3，二面角A-BC-S的平面角為120°，若該三棱錐內(nèi)接于球O，求球O的體積.

要點引導(dǎo)：如圖9，先確定球心的位置，當條件中有二面角大小時，可結(jié)合二面角定義在Rt△OBD中求解.

小組討論：（1）進一步特殊化，“已知四面體S-ABC滿足AB=BS=SC=CA=2，BC=22，求四面體S-ABC外接球的半徑.”

（2）進一步拓展：“當二面角的兩個半平面相互垂直時，該四邊形是什么四邊形？”

由一般性問題推敲特殊細節(jié)，可進一步提升學(xué)生的持續(xù)性思維素養(yǎng).

難點延伸：“面面垂直情形下，一般地，如果面PAB⊥面ABC，兩個三角形外接圓圓心在三角形外時球心的位置應(yīng)如何找到？”

圖10

在多媒體動態(tài)演示下引導(dǎo)學(xué)生動手畫出矩形OO1DO2如圖10所示，再根據(jù)題設(shè)在Rt△AOO2中列方程求解.

本題型是訓(xùn)練空間想象力的極好素材，可有效提高學(xué)生的空間搭建能力，通過層層變式，一般與特殊之間關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，就可將所學(xué)知識運用自如.

2.對于“有一個側(cè)面垂直底面的錐體”的外接球問題，可引導(dǎo)學(xué)生運用“二元方程組思想”來突破

圖11

案例5如圖11，四棱錐P-ABCD中，平面PCD垂直于正方形ABCD，AB=2，PC=PD，E是DC的中點，PE=3，求該四棱錐外接球的體積.

討論并嘗試列式：列一元方程易求解嗎？若不易，能否列二元方程求解呢？

如設(shè)OO1=m，引導(dǎo)學(xué)生在底部和頂部不同方位分別構(gòu)造直角三角形，（提問：為什么是選取不同方位的直角三角形？）列二元方程組：R2=m2+2及R2=（3-m）2+12，消元即可.錐體外接球問題列二元方程組求解的類似題型很多，教師可以特征典例訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力.

樹立方程組思想，不拘于思維定式，將一個關(guān)鍵量以不同角度運用兩次，在立體幾何運算與解三角形板塊中是一種常用的發(fā)散思維，應(yīng)加強培養(yǎng)學(xué)生的這種能力.

文末，筆者給學(xué)生梳理出本節(jié)專題復(fù)習(xí)課解決“錐體外接球問題”的思維導(dǎo)圖如下.

四、結(jié)語

對于本專題復(fù)習(xí)課，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)錐體與球的各種位置特性，引導(dǎo)學(xué)生緊扣“一心一形”，即先確定球心的位置，尋找有效的直角三角形，架構(gòu)度量間的勾股關(guān)系（方程或方程組），樹立設(shè)元消元的思想，靈活輾轉(zhuǎn)于特殊與一般的本質(zhì)聯(lián)系，加強實物模型觀察與多媒體演示，提升空間思維素養(yǎng)，加以針對性題型訓(xùn)練，學(xué)生具備了各種常見的應(yīng)對策略后，自然會消除畏難情緒，應(yīng)考能力自然水漲船高.

【參考文獻】

[1]黃家禮.幾何明珠：第三版[M].北京：國家行政學(xué)院出版社，2014.

[2] 甘志國.高中數(shù)學(xué)題典：立體幾何[M].黑龍江：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2106.