一類非線性淺水波方程的對(duì)稱動(dòng)態(tài)分析和精確解

康曉蓉，鮮大權(quán)，鮮驪珠

（1.西南科技大學(xué)理學(xué)院，四川 綿陽 621010；2.成都理工大學(xué)中英合作辦學(xué)，四川 成都 610059）

非線性偏微分方程的孤子解由于可以提供有價(jià)值的信息來理解非線性物理現(xiàn)象而受到各個(gè)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，如淺水波方程可以描述流體動(dòng)力學(xué)、彈性介質(zhì)和等離子體中的一些現(xiàn)象而被廣泛應(yīng)用于環(huán)境保護(hù)、海洋開發(fā)、災(zāi)害預(yù)防以及流體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域。通常，直接求解這些非線性方程的精確解是極其困難的，尋求有效的求解方法成為學(xué)者關(guān)注的重點(diǎn)。近年來已有很多具體方法，如exp(-φ(ξ))擴(kuò)展方法[1]、G′/G展開法[2]、Riccati 方程輔助法[3]、tanh 展開法[4]、對(duì)稱法[5]、同倫分析法[6]、反散射法[7]、CK 直接約化法[8]、CkdVE 方法[9]等被應(yīng)用于求解多種孤子方程的精確解。

本文研究帶有兩個(gè)非零任意常系數(shù)的非線性淺水波方程：

其中a1,a2為任意非零常數(shù)。該方程包含了以下兩個(gè)著名的非線性模型：

1)當(dāng)a1=3,a2=-2時(shí),方程(1)即為常用來描述淺水波在水平底面上單向、無旋傳播狀態(tài)的Camassa-Holm(CH)方程[10]；許多學(xué)者對(duì)該方程的守恒律、適定性、幾何結(jié)構(gòu)等性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)研究并推導(dǎo)出緊孤立波解、尖峰孤立波解、鐘型孤波解等豐富的解。

2) 當(dāng)a1=4,a2=-3時(shí),方程(1)即為用于模擬彌散介質(zhì)中非線性波動(dòng)的Degasperis-Procesi(DP)方程[11]，該方程同樣在尖峰孤立波解和周期尖波解等解析解的研究方面取得富有成效的結(jié)果。

考慮到廣義淺水波模型在物理應(yīng)用上更具有普遍性，研究該方程的局部特征及精確的相互作用解是更有意義的工作，因此本文將利用Lie 群方法得到淺水波方程(1)的生成元和李代數(shù)，應(yīng)用所得的Lie 對(duì)稱約化方程，采用截?cái)鄡缂?jí)數(shù)展開法尋求方程的精確解結(jié)構(gòu)，并給出某些解的局域激發(fā)特征及幾何結(jié)構(gòu)分析。

1 淺水波方程的對(duì)稱約化

根據(jù)Lie 群理論[12-13]，淺水波方程(1)的Lie 點(diǎn)對(duì)稱σ(x,y,t)滿足如下方程：

其中u=u(x,t)滿足淺水波方程(1)。假設(shè) σ具有形式：

其中d,e,f,g為關(guān)于變量x,t的待定函數(shù)，u=u(x,t)滿足方程(1)。將式(3)代入式(2),得到d,e,f,g及u滿足的多項(xiàng)式：

由未知函數(shù)u與其各階導(dǎo)數(shù)的線性無關(guān)性，有

其中c1∈R,c2,c3,c4為非零實(shí)數(shù)。將(5)式代入(3)式得淺水波方程(1)的Lie 點(diǎn)對(duì)稱：

求解基于對(duì)稱(6)的線性偏微分方程σ=0，可得：

其中F,G均為一元可微函數(shù)。

2 約化方程（9）和方程（10）的解

假設(shè)方程（9）具有變換F(ξ)=b1ξ+b2ξ2+b3ξ3+b4ξ4+b5ξ5,其中bi(i=1,···,5)為不全為零的待定參數(shù)，利用截?cái)鄡缂?jí)數(shù)展開法[14-15]，得到關(guān)于待定參數(shù)的非線性超定代數(shù)方程組：

根據(jù)系統(tǒng)（11）的解可得方程（9）的解F1(ξ)和F2(ξ)：

設(shè)方程（10）有變換G(η)=b1η+b2η2+b3η3+b4η4+b5η5+b6η6，類似地可得到方程組：

由系統(tǒng)（14）的解得到方程（10）的解G1(ξ)～G5(ξ)如下：

3 淺水波方程（1）的新非行波解結(jié)構(gòu)及局域演化特征

將式(12)—式（13）分別代入式(7)，將式(15)—式（19）分別代入式(8)，可得淺水波方程(1)的一系列解如下：

下面以u(píng)7(x,t)為代表，討論淺水波方程(1)的非行波局域演化特征及幾何結(jié)構(gòu)。

圖1 參數(shù)I 下u7(x,t)的局域幾何結(jié)構(gòu)

圖2 參數(shù)II 下u7(x,t)的局域幾何結(jié)構(gòu)

4 結(jié)論

本文運(yùn)用李群法得到非線性淺水波方程(1)的兩個(gè)Lie 點(diǎn)對(duì)稱約化，應(yīng)用截?cái)鄡缂?jí)數(shù)展開法得到了約化方程的解，獲得方程(1)新的非行波精確解結(jié)構(gòu)。以精確解u7(x,t)為代表討論了方程(1)解的局域演化特征及其幾何結(jié)構(gòu)。這些結(jié)果不但豐富了非線性淺水波方程的可積意義和解的類型,并且對(duì)進(jìn)一步研究同類模型具有較高的參考價(jià)值。