反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究

摘要：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它擁有奇特的邏輯思維方式和推理體系。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，存在一個概念，它的特點(diǎn)是非常直觀，明顯，也具有強(qiáng)的說服力，這個概念就是反例。因此，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位。在學(xué)習(xí)過程中，我們要明白反例的概念，同時也要學(xué)會如何構(gòu)造一個完美的反例，并把握反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。它不僅能幫助我們發(fā)現(xiàn)人類歷史上的規(guī)律，而且還可以預(yù)測未來，激發(fā)人們的思考。

關(guān)鍵詞：反例 構(gòu)造 作用 思維定勢 功能固著

引言

在數(shù)學(xué)上，要說明一個命題是正確的，需要經(jīng)過嚴(yán)格的論證，但是要說明一個命題是錯誤的，舉出一個反例就夠了。在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，很多著名的數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)命題都是被反例否定的。經(jīng)常有這樣的故事，一位數(shù)學(xué)家用了很長的時間來證明一個重要的猜想，卻沒有得出結(jié)論，而有另外一位科學(xué)家用了一個反例來說明這個猜想，卻解決了這個問題。相對于具體的數(shù)學(xué)命題來說，數(shù)學(xué)中的反例是其實就是為了說明某個數(shù)學(xué)命題不成立而舉出來的例子，它的作用就是可以有效且快速地對假命題進(jìn)行否定。早在1970年就有心理學(xué)家表明：“反例攜帶了最適于辨別的關(guān)鍵信息”。美國教育心理學(xué)家布魯納也認(rèn)為：“反例能預(yù)防做出‘倉促的判斷’”。因此，反例在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的過程中起著不可估量的作用。

一、反例的概念

1.邏輯學(xué)中反例的概念

在邏輯學(xué)中，反例是相對于某個全稱命題的概念。要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使它滿足命題的所有條件，但是卻得出的與命題的結(jié)論不一樣的結(jié)果，這樣的例子就是命題的反例。

2.教育心理學(xué)中反例的概念

在教育心理學(xué)中，反例屬于否定例證的一種類型。具體來說，定義和概念的正例傳遞了最有利于分析的信息，而反例則傳遞了最有利于判別的信息。不含有某一概念的所有本質(zhì)屬性或只含有該概念的部分本質(zhì)屬性的例證，就是這個概念的否定例證。而根據(jù)該概念具有概念本質(zhì)屬性的程度，否定例證可以分為兩類：第一類是普通否定例證，這類例證中不具有概念本質(zhì)屬性中較多的或者較明顯的特性，因而比較容易區(qū)分，例如我們很容易在一堆圖形中找出不是四邊形的那一個圖形，就是三角形，因為三角形不具有四邊形概念中四條封閉線段這一明顯的本質(zhì)屬性，所以被快速的找到。另一類否定例證則是具有較多、較明顯的本質(zhì)屬性，只是不具有少數(shù)的、潛在的本質(zhì)屬性的例證，這樣的例證被稱為反例。

3.數(shù)學(xué)中反例的概念

在數(shù)學(xué)中，符合命題的條件，但不符合命題結(jié)論的例子，就叫做反例。簡單來說，反例就是一種指出某命題不成立的具體例子。[1]在數(shù)學(xué)中，一般來說，命題的形式為：具有性質(zhì)，我們要說明這個命題為真，則必須使中任意一個元素都具有性質(zhì)，而要說明這個命題為假，則只需找到一個元素，但元素不具有性質(zhì)即可，也就是構(gòu)造了一個反例予以反駁。例如，對于命題“若兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，那么它們的和也是質(zhì)數(shù)”的判斷，我們可以構(gòu)造一個反例：3和5是質(zhì)數(shù)，但是3+5的和8不是質(zhì)數(shù)，進(jìn)而對該命題進(jìn)行了否定。雖然，從某種意義上來說，指出某命題不成立的任何例子都可以稱為反例。但是，數(shù)學(xué)中所說的反例，是建立在獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)上的，而且是具有一定代表性的反例。其中，指出一個數(shù)學(xué)命題為假命題的反例可能有許多個，而我們只需要舉出其中一個即可。

二、反例的構(gòu)造方法

反例的構(gòu)造是根據(jù)具體數(shù)學(xué)問題展開的，對于不同的數(shù)學(xué)問題可以構(gòu)造出不同的反例，對于同一個數(shù)學(xué)問題用不同的方法也可以構(gòu)造出不同的反例，所以數(shù)學(xué)中反例的構(gòu)造方法是多種多樣的，但是在解決實際問題的時候我們只需要采取其中最佳的一個反例就夠了。

在應(yīng)用過程中，我們可以運(yùn)用類比、組合、靈感、聯(lián)想等創(chuàng)造性思維的形式來舉出反例，但是反例的構(gòu)造是有一定難度的，因為它需要學(xué)生有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)基本知識作為基礎(chǔ)。所以只有在平時的教學(xué)過程中不斷的學(xué)習(xí)和積累，才能構(gòu)造出具有很好效果的反例。

1.二分法

所謂“二分法”就是把滿足題設(shè)的情形分為兩種，使其中一種具備某類屬性，而另一種不具備這類屬性，如果在第一種情況下命題成立，則考慮第二種情況，必要時，可以繼續(xù)采用“二分法”把第二種情況再進(jìn)行分類考查，直到找到反例為止（當(dāng)然有時也不一定能找到）[2]。

例1：判斷下面命題的真假：

2.特例構(gòu)造法

對于一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，直接證明它會很繁瑣，這個時候可以考慮選取典型反例和特殊情況來構(gòu)造所需要的反例，從而對命題進(jìn)行有效的否定。

例2：判斷下面命題是否正確：

3.圖形構(gòu)造法

思考題目的幾何意義，采用圖形的方法來構(gòu)造反例。

例3：判斷下列命題的真假：

分析：假設(shè)函數(shù)，的最小正周期，如果該假設(shè)成立，則函數(shù)的最小正周期也是。故構(gòu)造函數(shù)，使其最小正周期縮小一半（如下圖1）。為使與滿足條件，可取的前半周期與的周期相等，后半周期為;而的前半周期為，后半周期與的周期相等，從而構(gòu)造出反例。這樣根據(jù)圖像可直觀的判定原命題為假命題。

4.題設(shè)數(shù)量關(guān)系討論法

對于一些真假難分的數(shù)學(xué)命題，在它的題目中往往會隱含一些數(shù)量關(guān)系，當(dāng)這些數(shù)量關(guān)系和題干的某些條件相符的時候，命題成立，而和另外一些條件相符的時候，命題卻不成立。所以，多關(guān)注題目中的數(shù)量關(guān)系就能夠比較容易的構(gòu)造出反例。

例4：證明下面命題的真假：

三、反例在教學(xué)中的作用

1.培養(yǎng)學(xué)生理解概念的有力工具

在概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中占有重要的地位，教師應(yīng)該重視學(xué)生對概念的理解，尤其在學(xué)習(xí)概念的強(qiáng)化階段，要加深學(xué)生對概念的掌握，就必須在概念學(xué)習(xí)的過程中適當(dāng)?shù)膽?yīng)用反例來進(jìn)行教學(xué)，在辨別分析的基礎(chǔ)上，才能對概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性有明確的理解，在排除大量無關(guān)條件的干擾后，使學(xué)生重新認(rèn)識和形成概念。若是沒有反例，很多無關(guān)條件就得不到排除。

例如：集合的定義是一些元素組成的總體，要理解這個概念就要把握集合中元素的特征，即確定性、互異性、無序性，這樣才能判斷一些元素能否組成集合。

比如不是集合，因為它不符合集合中元素的互異性，出現(xiàn)了兩個相同的元素;再比如也不是集合，因為它不符合集合中元素的確定性，是一個不確定的元素;又比如和是相同的集合，因為雖然集合和集合中元素排列順序不同，但是元素相同，符合集合中元素的無序性，所以是相同的集合。

通過列舉這樣的反例可以幫助學(xué)生很好的掌握集合的概念，也能檢驗自己寫出的集合是否正確。

2.培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

不難發(fā)現(xiàn)，我們現(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)教科書和相關(guān)的參考書往往是以正面的陳述和嚴(yán)密的邏輯證明為主，例題也是從正面來進(jìn)行解釋并驗證定理，或說明如何使用定理來解題的，所以老師在教學(xué)的時候，習(xí)慣于從左到右的正向證明，并且往往偏重演繹論證的練習(xí)，但是這反而抑制了從右到左的逆向思維，導(dǎo)致學(xué)生在解決問題時總是想方設(shè)法的尋找正面的論證方法，以至于對一個錯題在做了好久也做不出來的時候，也不會去思考是不是這個題目是錯誤的，或者舉出反例來否定命題。久而久之學(xué)生在學(xué)習(xí)時就很容易形成思維定勢和功能固著，不會主動去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，而數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授基本知識、基本技能、基本情感、基本方法，還要培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力，如側(cè)向思維、多向思維、反向思維等。

因此老師在教學(xué)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生積極的去質(zhì)疑、去猜想、去發(fā)現(xiàn)問題、去解決問題，而尋找與構(gòu)造反例的過程則恰恰是一項充滿創(chuàng)造性的思維活動。要構(gòu)造反例首先要對所涉及的公式、概念、法則、定理等有比較深刻的認(rèn)識，抓住其本質(zhì)特征，并進(jìn)行積極的思維活動，這樣才能構(gòu)造出正確有效的反例。運(yùn)用反例，不僅可以幫助學(xué)生改正學(xué)習(xí)中的錯誤，消除思想誤區(qū)，克服學(xué)生的思維定勢，抑制負(fù)遷移;還可以讓學(xué)生在構(gòu)造反例的過程中去體會數(shù)學(xué)思維方式的妙處。一個“巧妙”的反例可以推翻一個看似很“牢固”的理論，有人誤以為構(gòu)造反例是所謂的“投機(jī)取巧”，事實上，反例的構(gòu)造雖然并不像演繹證明那樣有明確的、嚴(yán)密的、有章可循的邏輯方法，但是它是一種高級的、復(fù)雜的、多維的思維活動過程。

例如：在求函數(shù)定義域的問題中也可以運(yùn)用反例。

舉出這樣的反例，可以加深學(xué)生對定義域求法的理解，克服學(xué)生的思維定勢，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移的能力。

3.加強(qiáng)學(xué)生對已有知識的鞏固

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中，經(jīng)常會有這樣的現(xiàn)象發(fā)生：當(dāng)教師在講解完新知識后，通過例題對知識點(diǎn)進(jìn)行鞏固時，就會有部分學(xué)生不聽課了，原因是學(xué)生覺得自己已經(jīng)明白了，學(xué)會了，理解了，沒有必要再繼續(xù)聽講了，于是開始埋頭做自己的事。此時，教師就要學(xué)會利用反例來對新知識進(jìn)行鞏固，對那些覺得自己會了就不聽課的同學(xué)進(jìn)行提問，通過逐步加深問題的難度，讓這些同學(xué)意識到自己還有不明白的知識，還有沒有掌握的地方，還得要認(rèn)真聽課。

例如：在學(xué)習(xí)直線公理“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”和線段公理“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”的時候，學(xué)生可能會感覺很簡單，覺得自己學(xué)會了，這時就要舉一些反例讓學(xué)生鞏固已經(jīng)學(xué)過的知識，而舉一些學(xué)過的命題的反例則可以更好的鞏固知識。比如直線公理的反例“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條線段”，線段公理的反例“兩點(diǎn)所有連線中，射線最短”。它們都是錯誤的公理，因為線段，射線和直線三者是不同的概念，不能混為一談，互換位置。

這樣的一些反例，可以讓學(xué)生鞏固新知識，也讓他們明白其實他們還沒有真正的領(lǐng)會這些知識點(diǎn)，還需要好好的理解學(xué)習(xí)。

4.幫助學(xué)生理解與運(yùn)用性質(zhì)、定理和公式

由于書上的定理和公式，記錄的都是前人探索的結(jié)論，但卻沒有他們探索的詳細(xì)過程，所以在教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的理解情況適當(dāng)?shù)呐e些反例，這樣才能幫助學(xué)生牢固地掌握性質(zhì)、定理和公式。

例如：指數(shù)函數(shù)（且）的性質(zhì)是過定點(diǎn)，即時，。所有的指數(shù)函數(shù)的圖像只過同一個定點(diǎn)。假設(shè)指數(shù)函數(shù)和，它們的圖像不過點(diǎn)，令，，，得出這兩個函數(shù)圖像都過點(diǎn)，則假設(shè)不成立，即所有的指數(shù)函數(shù)的圖像都過點(diǎn)。

運(yùn)用這些反例，學(xué)生可以很好的理解并掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為之后學(xué)習(xí)其他知識奠定一個良好的基礎(chǔ)。

結(jié)束語

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，一些反例的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)理論上一種根本性的改革和突破，推動數(shù)學(xué)向前進(jìn)步和發(fā)展，所以說有時候，一個新的數(shù)學(xué)概念的形成，反例也起了至關(guān)重要的作用。例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者認(rèn)為世界上任何的數(shù)都可以用有理數(shù)來表示，在長達(dá)幾個世紀(jì)的時間里，這個結(jié)論都影響著人們對于數(shù)的認(rèn)識，直到公元前五世紀(jì)海帕修斯發(fā)現(xiàn)了單位正方形對角線的不可公度性（即的無理性），才徹底的推翻了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于有理數(shù)的理論，雖然誘發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”，但是數(shù)的范圍卻被擴(kuò)充了，無理數(shù)這個新的數(shù)學(xué)概念也形成了。從某種意義上來說，反例推動了我們數(shù)學(xué)的發(fā)展，正因為有了反例，才有了數(shù)學(xué)的今天。

反例不僅是我們對假命題進(jìn)行否定的有效手段，它也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原有理論的局限性，甚至錯誤，尤其在數(shù)學(xué)發(fā)展的轉(zhuǎn)折時期，一個完美的反例可能會直接促進(jìn)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和變革，可以說，反例是數(shù)學(xué)這座宏偉殿堂中必不可少的一部分。

參考文獻(xiàn)

[1]蔡美虹.淺談數(shù)學(xué)中的反例[J].廣西師院學(xué)報（自然科學(xué)版），1997（03）：78-83.

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[3]溫行權(quán).例談反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2011（11）：10-12.

作者簡介：鄭凱琪，女，1996年07月30日，漢，山西大同，上海師范大學(xué)