高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的解題思路分析

黃建國

（湖南省永州市道縣敦頤高級中學(xué)，湖南 永州 425300）

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，保證學(xué)生可以利用所學(xué)過的知識進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解答。在數(shù)學(xué)解題的過程中，也需要學(xué)生具有多樣化的思維，可以從不同的角度來分析問題，從而實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。由此，教師利用教學(xué)設(shè)計來實現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、獨立思考等能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)培養(yǎng)。數(shù)學(xué)分類討論思想是整個課堂實踐的起點。所謂教學(xué)設(shè)計就是對課堂教學(xué)的目標(biāo)，教學(xué)情境問題，教學(xué)活動以及教學(xué)評價的系統(tǒng)規(guī)劃。落實核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)，教師要從慣常的知識、技能教學(xué)經(jīng)驗中跳出來，通過強化教學(xué)設(shè)計研究，以專業(yè)的、科學(xué)的教學(xué)設(shè)計，找到落實核心素養(yǎng)目標(biāo)的突破口。合理、科學(xué)的教學(xué)設(shè)計使得教師在課堂中有正確的教學(xué)方向，有清晰的教學(xué)計劃，便更加易于培養(yǎng)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)。

一、函數(shù)思想

函數(shù)是將較為抽象的數(shù)學(xué)題目，通過另一種表達(dá)方式進(jìn)行展現(xiàn)，突出數(shù)學(xué)的多樣性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，需要利用函數(shù)的思想，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的轉(zhuǎn)換，掌握數(shù)學(xué)解題技巧，從而更直觀地理解數(shù)學(xué)知識，打破學(xué)生舊有固化的解題觀念，獲得解題思路，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。函數(shù)的思想對于數(shù)學(xué)邏輯的學(xué)習(xí)有著重要意義。在課程改革的背景下，要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握解題能力的同時形成良好的邏輯思維，函數(shù)的思想與課程改革的目標(biāo)相符合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的功能性。同時，在近幾年的高考中，越來越側(cè)重于考查學(xué)生的綜合運用知識的能力，掌握函數(shù)思想在這一大背景下顯得尤為重要。采用函數(shù)思想，可以使學(xué)生能夠發(fā)散思維，靈活運用各類方法，從而擺脫生搬硬套的思維模式，打破固化的解題套路，為解答疑難問題開辟捷徑。因此，函數(shù)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是對于教師傳授知識而言，還是對于學(xué)生靈活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，都具有十分重要的意義。

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

（一）浮于形式

信息化時代下，將個性化教學(xué)作為一種輔助性的工具，已經(jīng)成為教育教學(xué)的必然趨勢，但是有部分教師在運用現(xiàn)代化技術(shù)的時候，教學(xué)課件浮于形式，導(dǎo)致了課堂教學(xué)工作的簡單化和形式化，而且非常容易分散學(xué)生的注意力。無法為那些不同性格、不同興趣的學(xué)生提供自主參與、自主創(chuàng)造的空間，也不利于學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)和探究問題。

（二）實踐活動的運用較低

運用個性化教學(xué)，不代表教師可以置身事外，而是要從重復(fù)性的理論教學(xué)中脫離出來，借助個性化教學(xué)的優(yōu)勢性，開展一些符合時代發(fā)展的教學(xué)活動。如若在一堂數(shù)學(xué)課上，教師在制作了精美的教學(xué)課件以后，課堂上只是簡單的交代了一些知識點，然后讓學(xué)生自行展開學(xué)習(xí)，而教師則是以旁觀的態(tài)度去對待學(xué)生，那么這種“自主”過于形式化，只是放任式的學(xué)習(xí)，不是引導(dǎo)式的學(xué)習(xí)，所以最終的教學(xué)效果非常不理想。為了通過個性化教學(xué)教育來培養(yǎng)學(xué)生的技術(shù)素養(yǎng)，在對高中生進(jìn)行教育時就更應(yīng)該注重他們的實踐能力的培養(yǎng)。

（三）學(xué)生缺乏積極性

在缺乏深層次溝通的基礎(chǔ)上，使得數(shù)學(xué)知識同個性化教學(xué)無法進(jìn)行有效銜接，而且教師在設(shè)計課件的時候缺乏創(chuàng)新性，使得內(nèi)容過于單調(diào)和枯燥，學(xué)生對此的興趣匱乏。還有的教師在制作課件的時候，缺乏對信息的整合與處理能力，使得整個框架非常零散，

三、函數(shù)問題解題策略

（一）信息化教學(xué)，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

信息化教學(xué)，是指以現(xiàn)代化的教學(xué)理念為指導(dǎo)，以先進(jìn)的信息技術(shù)為依托，結(jié)合現(xiàn)代教學(xué)方法開展的教學(xué)活動，屬于一種新的教學(xué)手段或者教學(xué)模式。信息化手段主要以多媒體為載體，對學(xué)生進(jìn)行課程教學(xué)演示，在演示過程中可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，豐富課堂的教學(xué)氛圍。利用多媒體教學(xué)可以增加課程教學(xué)的內(nèi)容，讓學(xué)生對課程的了解更加深入形象，教師靈活的應(yīng)用信息技術(shù)手段，增加學(xué)生課程方面的儲備量。信息化教學(xué)還可以強化思想教育，讓同學(xué)知道學(xué)習(xí)課程的重要性，在教育中進(jìn)行思想和情感的培養(yǎng)，營造濃烈的教學(xué)氣氛。信息化教學(xué)以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，有效實現(xiàn)探究式學(xué)習(xí)和自主學(xué)習(xí)，使得學(xué)生可以在自主探索、合作中提升自身發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，從而形成最適合自身發(fā)展的學(xué)習(xí)方法和知識體系，推進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高。信息化教學(xué)讓學(xué)生在交流探討中學(xué)會合作共贏，讓學(xué)生知道合作學(xué)習(xí)的利處，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作能力。信息化教學(xué)不僅可以提高教學(xué)效率和學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率，而且能夠使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會溝通和交流，培養(yǎng)團隊合作意識，對信息和成果進(jìn)行共享，實現(xiàn)共同進(jìn)步。

（二）豐富教學(xué)方法和形式

網(wǎng)絡(luò)教學(xué)包括三種教學(xué)模式的有機互動結(jié)合：一是師生之間有效互動，如授課、探討、答疑等；二是學(xué)習(xí)對象與網(wǎng)絡(luò)工具的互動。這需要設(shè)計和制作適合參學(xué)對象特點和認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)資源。三是學(xué)習(xí)對象之間的互動。通過各種網(wǎng)絡(luò)工具，學(xué)生和學(xué)生可以在不同的時間和空間進(jìn)行有效的互動。等效互動原則告訴我們，如果一種互動是強的，另兩種互動可能是弱的；兩種或兩種以上的強互動有助于學(xué)生的滿意度。因此，教師可以充分利用三者互動的等價互動原則，豐富學(xué)習(xí)的資源和形式，組織多種教學(xué)實踐活動，以提高學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)質(zhì)效。例如，當(dāng)教師在教授三角函數(shù)的知識時，可以借助計算機來完成教學(xué)。教師在講解完計算機的幾何畫板功能如何使用后，可將學(xué)生分為不同的小組，并給每個小組設(shè)定一個三角函數(shù)的常數(shù)數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行自主操作，在15度的單位下繪制出相應(yīng)的函數(shù)圖像，既幫助學(xué)生驗證了三角函數(shù)概念，也增強了學(xué)生的動手能力。

（三）學(xué)生課后討論，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

教師可利用信息化技術(shù)發(fā)起課后交流活動，利用網(wǎng)絡(luò)平臺構(gòu)建新的教學(xué)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、應(yīng)用，幫助其在有限的空間中獲得更為豐富的文化知識[4]。以經(jīng)典網(wǎng)絡(luò)授課平臺“和教育”、“釘釘”為例，教師在完成教學(xué)工作之后，可利用網(wǎng)絡(luò)平臺發(fā)起課后交流活動，引導(dǎo)學(xué)生針對所學(xué)的知識進(jìn)行探究、解疑，從而提升教學(xué)質(zhì)量。在虛擬環(huán)境的交流活動中，學(xué)生能夠放下因?qū)W習(xí)能力差異而產(chǎn)生的畏懼心理，基于此，教師在利用“和教育”開展交流互動的過程中，應(yīng)為學(xué)生制定多元化的交流方案：或是為成績較差的學(xué)生答疑，或是在會議中展示學(xué)生所掌握的文化知識，對教學(xué)材料與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行補充。教師可根據(jù)不同的教學(xué)周期發(fā)起獨具特色的探究活動，或是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用文化知識，或是幫助學(xué)生剖析文化知識背后的故事，依靠線上交流，幫助學(xué)生理解教學(xué)知識的豐富性與多樣性。依靠學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間的多元互動，在有限的教學(xué)時間內(nèi)，學(xué)生必將獲得更為豐富的文化知識。

（四）分類討論思想，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

高中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)理念的提出，明確了數(shù)學(xué)學(xué)科重點學(xué)習(xí)的方向，高中數(shù)學(xué)作為重點內(nèi)容，對學(xué)習(xí)綜合能力的培養(yǎng)起到了重要作用。在高中數(shù)學(xué)中，需要加強學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生合理地完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)。另外，教師需要結(jié)合學(xué)生的能力，進(jìn)行數(shù)學(xué)任務(wù)的安排，使高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)合理化。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)內(nèi)容都是有限的，需要學(xué)生在課后進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，增強自身的自主學(xué)習(xí)觀念，與同伴進(jìn)行數(shù)學(xué)溝通交流，豐富自身技能儲備，不斷提升個人魅力。

（五）建模意識，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

學(xué)生以往的思維定式在進(jìn)行數(shù)學(xué)難題解答的過程當(dāng)中，都是按照之前出現(xiàn)過的例題而尋求方法，而目前的數(shù)學(xué)試題過程當(dāng)中經(jīng)常會出現(xiàn)一些新型的難題，所以教師在指導(dǎo)學(xué)生解題以及引導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程當(dāng)中，一定要使學(xué)生們進(jìn)行有意識的創(chuàng)新，從而形成自身的自主探究習(xí)慣，在自主學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中來摸索到培養(yǎng)自身建模意識的重要性。從而使學(xué)生能夠自動地來培養(yǎng)出自身的創(chuàng)新意識，這樣學(xué)生才可以在自己摸索的過程當(dāng)中得到最大的鍛煉，例如在高中函數(shù)的講解，教師在講述的過程當(dāng)中也可以引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)模型就是能夠?qū)嶋H問題和自身的數(shù)學(xué)理念來結(jié)合，從而形成一個較為實際的觀念，在講拋物線的過程當(dāng)中，就可以舉到生活中的一個例子，例如說是打羽毛球或者是說，以氣溫的例子來進(jìn)行，這樣學(xué)生們在心中就會產(chǎn)生一定的拋物線的模型概念。

（六）探究式學(xué)習(xí)，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

在高中教學(xué)階段，實驗?zāi)芰Φ呐囵B(yǎng)有著很大的意義。實驗?zāi)芰ψ鳛樽罨镜臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，已經(jīng)成了教師評價數(shù)學(xué)生綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵指標(biāo)，因此教師有必要借助探究教學(xué)模式，增強學(xué)生的實驗?zāi)芰?，使其能運用有效的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，促進(jìn)基礎(chǔ)知識的掌握和數(shù)學(xué)知識的拓展。在教學(xué)開展之前，教師首先需要運用合理的解題方法進(jìn)行備課，這樣才能在課堂中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，激活想象力，通過類比來探究新知識的特點。例如，教師在講解例題“已知函數(shù)f（x）=emx+x2–mx，求證其在（–∞，0）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減和在區(qū)間（0，∞）內(nèi)單調(diào)遞增”時，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作解答此題目。課上，教師道：“同學(xué)們，看到這道題，我們首先想到什么呢？”學(xué)生道：“含有參數(shù)！”隨后，學(xué)生進(jìn)行小組討論，通過培養(yǎng)學(xué)生的小組合作意識，同時幫助學(xué)生從多個角度分析問題。

（七）單元整體方式，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

高中數(shù)學(xué)教師作為對高中生的直接教學(xué)指導(dǎo)者，應(yīng)正確認(rèn)識到單元整體教育的價值，積極地思考與探究有效的單元整體教學(xué)方式，切實提高自身的專業(yè)素養(yǎng)與教學(xué)水平，為學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展提供強有力的教學(xué)保障。在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，需要教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了解，通過定向分析探討學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，以及這個年齡階段所能接觸到的生活中的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生設(shè)計契合其自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求的單元整體教學(xué)方案。例如，教師在講授習(xí)題“y=x2在點（1，1）處切線方程”、“過某一點作y=x2切線，求切線方程”或者其延伸題型“求y=mx2+（m–1）+2 單調(diào)性”時，通過總結(jié)函數(shù)解題的整體改變，通過整體教學(xué)理念進(jìn)行解題。在導(dǎo)數(shù)切點的教學(xué)中，只要熟練掌握導(dǎo)數(shù)切點重要性，認(rèn)識到切點坐標(biāo)同時滿足切線與曲線方程即可求得答案等。

（八）數(shù)形結(jié)合思想，解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合思想是將較為抽象的數(shù)學(xué)題目，通過另一種表達(dá)方式進(jìn)行展現(xiàn)，突出數(shù)學(xué)的多樣性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，需要利用數(shù)形結(jié)合的思想，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的轉(zhuǎn)換，掌握數(shù)學(xué)解題技巧，從而更直觀地理解數(shù)學(xué)知識，打破學(xué)生舊有固化的解題觀念，獲得解題思路，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)形結(jié)合的思想對于數(shù)學(xué)邏輯的學(xué)習(xí)有著重要意義。在課程改革的背景下，要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握解題能力的同時形成良好的邏輯思維，數(shù)形結(jié)合的思想與課程改革的目標(biāo)相符合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的功能性。同時，在近幾年的高考中，越來越側(cè)重于考察學(xué)生的綜合運用知識的能力，掌握數(shù)形思想在這一大背景下顯得尤為重要。采用數(shù)形思想，可以使學(xué)生能夠發(fā)散思維，靈活運用各類方法，從而擺脫生搬硬套的思維模式，打破固化的解題套路，為解答疑難問題開辟捷徑。因此，數(shù)形思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是對于教師傳授知識而言，還是對于學(xué)生靈活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，都具有十分重要的意義。已知函數(shù)f(x)=x3-3x，1.求函數(shù)在[-1,1]上的最值。2.求曲線y=f（x）在點（-1，2）處的切線方程l。3.求由切線l，曲線f（x）=x3-3x，x=1 圍成的面積。在此時，利用數(shù)形結(jié)合的思維，根據(jù)已知題目進(jìn)行函數(shù)的繪圖，如圖1，可以快速地了解題目的關(guān)鍵點，觀察到函數(shù)的單調(diào)性以及極值后進(jìn)行解答。

四、結(jié)語

總體而言，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅需要注重基礎(chǔ)理論知識的教授，同時還需要引導(dǎo)學(xué)生充分意識到數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，為提升學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)能力奠定良好基礎(chǔ)。教師在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時也需要從多方面進(jìn)行思考，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。新時代的高中數(shù)學(xué)教師是提升學(xué)生人文素養(yǎng)的引路人，在核心素質(zhì)能力培養(yǎng)的過程中更加需要發(fā)揮主導(dǎo)作用，以此更好地推動學(xué)生的綜合素質(zhì)能力提升。