淺談“尺規(guī)作圖”的關(guān)鍵點(diǎn)教學(xué)

曾立萱

摘要：尺規(guī)作圖是全國(guó)中考的高頻考點(diǎn)，考法新穎多變。不僅要掌握基本的尺規(guī)作圖方法，還要靈活運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)，將題目信息轉(zhuǎn)化一次或多次，得出要作的基本尺規(guī)作圖。近三年福建省中考尺規(guī)作圖是以解答題的形式呈現(xiàn)的，既要求尺規(guī)作圖，還要求幾何證明、幾何計(jì)算。所以要拿到本題的滿分，就要教師“高屋建瓴”，準(zhǔn)確把握尺規(guī)作圖的關(guān)鍵點(diǎn)教學(xué)。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖；轉(zhuǎn)化；教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)；動(dòng)手操作；邏輯推理；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）19-0127

初中數(shù)學(xué)平面幾何中，對(duì)圖形的學(xué)習(xí)有四個(gè)不同層次：看圖、析圖、畫圖、用直尺與圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖的作圖工具只能是直尺（沒有刻度）與圓規(guī)。與尺規(guī)作圖相關(guān)的題目主要在于訓(xùn)練學(xué)生的作圖分析、合情說明作圖過程、規(guī)范地用直尺與圓規(guī)操作?？v觀近幾年福建中考數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)：作圖題已由以往形式上的單一而轉(zhuǎn)向多樣型和復(fù)合型，突出考查學(xué)生對(duì)“尺規(guī)作圖”的理解、操作、綜合應(yīng)用能力?！冻咭?guī)作圖》以它特有的魅力，備受命題者青睞。

一、原題呈現(xiàn)

（2020年福建中考數(shù)學(xué)卷第23題）如圖，已知點(diǎn)C是線段AB外一點(diǎn)。

（1）求作四邊形ABCD，使CD∥AB且CD=2AB

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)P，

AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N，求證：M、P、N三點(diǎn)共線。

二、作法賞析

1.作一個(gè)角等于已知角

解法1：如圖1，利用基本作圖作∠DCM=∠ABC；

解法2：如圖2，利用基本作圖作∠DCB=∠CBM；

【點(diǎn)評(píng)1】這兩種畫法是大部分考生的主流作法，也是最容易想到的作圖方法，作法1利用“同位角相等，可得兩直線平行”，再作CD=2AB。作法2利用“內(nèi)錯(cuò)角相等得兩直線平行”。

在圖1中，若連結(jié)AE，可得平行四邊形ABCE。由此還可以想道：先以△ABC的AC邊為對(duì)角線作平行四邊形ABCE；再在射線CE上截取ED=CE。問題轉(zhuǎn)化為：已知三點(diǎn)A、B、C不在同一條直線上，求作：點(diǎn)E，使得四邊形ABCE是平行四邊形.

2.作特殊圖形：平行四邊形

解法3：如圖3，利用SSS作△ABC的全等三角形△CAE

解法4：如圖4，通過“作一個(gè)角等于已知角”，得CE∥AB，AE∥BC，得平行四邊形ABCE。

作圖依據(jù)是“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。

解法5：如圖5，過點(diǎn)A作BC的平行線AE；再在射線AE上截取AE=BC，得平行四邊形ABCE。

解法6：如圖6，作AC的中垂線，再作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)E，得平行四邊形ABCE。

解法7：如圖7，先作線段BE=2AB；再利用“有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，得平行四邊形EBCD。

【點(diǎn)評(píng)2】以上解法3到解法7，共同之處是“作特殊圖形——平行四邊形”。在解題時(shí)需運(yùn)用“數(shù)學(xué)的化歸與轉(zhuǎn)化的思想”。把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)從“組合作圖”到“基本作圖”的分解與思想轉(zhuǎn)化。作圖中應(yīng)注意“作一個(gè)線段等于已知線段”“作一個(gè)角等于已知角”“作已知線段的垂直平分線”及“交軌法”確定點(diǎn)E的位置。由于平行四邊形的多種不同判定方法，所以產(chǎn)生了尺規(guī)作圖的“一題多解”。

這道中考題在考查尺規(guī)作圖的同時(shí)綜合考查了平行四邊形的多種證明方法，考核了學(xué)生的幾何推理能力。所以在平時(shí)教學(xué)中依據(jù)隱藏的條件，作三角形、平行四邊形、矩形、正方形要多加以變式訓(xùn)練。

3.作垂線

我們知道“在同一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，所以可以把“過點(diǎn)C作AB的平行線”轉(zhuǎn)化為作垂線。

解法8：如圖8，先過點(diǎn)C作直線l⊥AB；再過點(diǎn)C作直線m⊥l，則直線m∥直線AB；最后再作CD=2AB。

【點(diǎn)評(píng)3】這種解法也是大多數(shù)學(xué)生會(huì)想到的。利用“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂線”，作兩次垂線，從而這兩條垂線互相平行。第一次“過直線AB外一點(diǎn)C作直線AB的垂線”；第二次“作已知直線l上的點(diǎn)C作直線l的垂線。

4.構(gòu)造法

解法9：構(gòu)造三角形的中位線

如圖9，先在射線CB上截取BE=BC，再在射線EA上截取AD= AE，連結(jié)CD。

則由作圖可知AB是△DCE的中位線，從而DC∥AB且DC= 2AB。

解法10：構(gòu)造“角平分線+等腰三角形”模型，推得平行線

如圖10，作BF平分∠ABC；以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫弧，交射線BF于點(diǎn)M，可得CM∥AB；在射線CM上依次截取CE=ED= AB。

【點(diǎn)評(píng)4】構(gòu)造法主要是用到常見的幾何模型。方法9構(gòu)圖巧妙，作圖簡(jiǎn)單，整體轉(zhuǎn)化；方法10轉(zhuǎn)化程度高，學(xué)生在考場(chǎng)限時(shí)考試中較難想到。教師在平時(shí)教學(xué)中要“一題多解”，從不同的角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何模型的能力、幾何直觀能力、發(fā)散思維能力。

三、關(guān)于尺規(guī)作圖教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)的幾點(diǎn)思考及教學(xué)建議

對(duì)于2020年中考數(shù)學(xué)第23題，第（1）步是作圖題，第（2）步是“三點(diǎn)共線”幾何證明問題（可以用“相似法”“同一法”“解析法”加以解決，這里不展開敘述）。筆者發(fā)現(xiàn)近三年福建中考的尺規(guī)作圖都是放在解答題的位置，所占分值有所增加，這個(gè)現(xiàn)象引起筆者的思考。

1.高度重視尺規(guī)作圖教學(xué)的意義

尺規(guī)作圖是初中生必須掌握的作圖技能，在教學(xué)過程中可以培養(yǎng)學(xué)生良好的作圖習(xí)慣、作圖與幾何推理有機(jī)結(jié)合的能力，所以在初中需高度重視尺規(guī)作圖。

例如：華東師大版七上《9.1三角形中的重要線段》的教學(xué)中，就可以要求學(xué)生用尺規(guī)作圖作出三角形中線、角平分線、高線，從而發(fā)現(xiàn)三角形的重心、內(nèi)心、垂心；在八上《全等三角形》這一章，探索兩個(gè)三角形全等的條件，也是由尺規(guī)作圖得到兩個(gè)三角形，再由“疊合法”“歸納法”得出SSS、SAS等判定方法。

同時(shí)，通過向?qū)W生介紹尺規(guī)作圖三大難題、結(jié)合軟件幾何畫板，大大激發(fā)學(xué)生探究的興趣。在高中學(xué)習(xí)中要求掌握?qǐng)A錐曲線切線的尺規(guī)作圖，用到了“交軌”原理。在作圖中，學(xué)生會(huì)體會(huì)到幾何的美麗，對(duì)學(xué)生今后從事美術(shù)設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等精確繪圖等有很大的啟發(fā)與引領(lǐng)作用。

2.準(zhǔn)確把握尺規(guī)作圖的教學(xué)要求

（1）教學(xué)核心內(nèi)容

①合理表述作圖過程；②明確每一步作圖的步驟與依據(jù)；③規(guī)范作圖。

（2）教學(xué)基本題型

落實(shí)好以下幾種類型的尺規(guī)作圖：①五種基本作圖；②作三角形或四邊形；③作三角形的內(nèi)切圓或外接圓；④作三角形的全等或相似；⑤作線段的三等分點(diǎn)；⑥作已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)；⑦作圓的內(nèi)接正方形，圓的內(nèi)接正六邊形等；⑧利用基本作圖解決生活實(shí)際問題。

（3）作圖關(guān)鍵點(diǎn)

把“組合作圖”轉(zhuǎn)化為“基本作圖”。方法是：先畫目標(biāo)圖形的草圖；再分析目標(biāo)圖形的幾何性質(zhì)，從而得到作圖的整體思路；最后按基本作圖的步驟規(guī)范操作。

例：如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°。

①求作：在邊AB上找一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心作⊙O，使得⊙O經(jīng)過點(diǎn)A且與邊BC相切.

②若AC=8，AB=10，求所作的⊙O的周長(zhǎng)。

解析①：如圖所示，先作∠BAC的角平分線AD；再作線段AD的垂直平分線，交AB邊于點(diǎn)O；最后以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓O，則圓O為所求。

解析②：用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求半徑（請(qǐng)大家試一試）

在這個(gè)例題教學(xué)中，可以訓(xùn)練學(xué)生：目標(biāo)圖形的轉(zhuǎn)化、分解、具體作圖時(shí)所用到的幾何推理依據(jù)，通過尺規(guī)作圖促進(jìn)學(xué)生的幾何思維。

3.在尺規(guī)作圖中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

尺規(guī)作圖中所涉及的數(shù)學(xué)思想主要是：（1）分類討論；（2）化歸與轉(zhuǎn)化。

在華師大版《義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“27.2.1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”中探討《幾點(diǎn)可以確定一個(gè)圓》。主要考查“作已知線段的垂直平分線”，但在分析中滲透分類討論與交軌法定點(diǎn)。教師要領(lǐng)會(huì)教材的安排意圖，在這一系列變化中挖掘更深的內(nèi)涵，滲透數(shù)學(xué)思想。

又如：已知圓O、點(diǎn)P在⊙O外，用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)P作⊙O的切線

解析：若切點(diǎn)是點(diǎn)A，則必有OA⊥AP于點(diǎn)A，即∠OAP=90°，問題轉(zhuǎn)化為：尋找以O(shè)P為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)A的軌跡。故作“以線段OP為直徑作圓”，點(diǎn)A是所作的圓與圓O的交點(diǎn)（有2個(gè)）

4.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵點(diǎn)教學(xué)策略

（1）構(gòu)建尺規(guī)作圖的思考方法：分析問題、轉(zhuǎn)化結(jié)論。

（2）注意原題的拓展與歸納，知識(shí)的遷移與聯(lián)系。

（3）數(shù)學(xué)建模，學(xué)以致用。

（4）回歸中考試題，提升解題能力。

四、結(jié)束語

“數(shù)學(xué)課程要讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)的知識(shí)與技能”。目前尺規(guī)作圖的功能主要體現(xiàn)在實(shí)踐應(yīng)用、樣板圖紙的設(shè)計(jì)及美術(shù)圖案設(shè)計(jì)方面。在教學(xué)取材方面，可以增加生活方面圖案，讓學(xué)生用尺規(guī)作圖完成，提高實(shí)踐操作能力。同時(shí)，教師還可以介紹flash、CAD、Photoshop等專業(yè)畫圖軟件，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，為將來進(jìn)行專業(yè)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：福建省泉州市第七中學(xué)金山校區(qū)362000）