電磁場效應下HR神經元的全局分岔與參數(shù)辨識*

肖冉 安新磊 祁慧敏

（蘭州交通大學數(shù)理學院，蘭州 730070）

引言

神經元是神經系統(tǒng)中最基本的結構和功能單位，通過復雜的放電活動，承擔著接受刺激、傳遞信息等重要職責，且神經元的放電活動具有復雜的非線性動力學特征[1]，因而研究神經元放電活動的動力學行為有著十分重要的意義.上個世紀50年代，Hodgkin和Huxley通過對烏賊軸突觸的電壓鉗位實驗數(shù)據(jù)進行分析，建立了HH神經元模型[2].這是歷史上首個神經元放電活動的數(shù)學模型.上個世紀80年代，Hindmarsh和Rose通過對丘腦神經元進行研究，建立了HR神經元模型[3，4].近些年來，大量的實驗與研究表明，電磁輻射會對神經元放電活動產生影響，且這一影響不可忽略.文獻[5]通過非線性動力學理論，分析了HH神經元模型單個及耦合神經元受電磁輻射影響下的放電行為.文獻[6]利用非線性動力學理論及數(shù)值仿真方法，分析了磁通e-HR神經元模型的動力學特性，并施加Washout濾波器實現(xiàn)了對磁通e-HR神經元模型的隱藏放電控制.文獻[7]通過引用磁通變量描述電磁感應下的改進四變量神經元模型，研究了相位同步逼近問題，并發(fā)現(xiàn)神經元間的磁通耦合可以產生完美的相位同步.文獻[8]研究了電磁刺激對單個神經元以及神經網絡系統(tǒng)動力學行為有著顯著的調控能力.文獻[9]利用磁通變量描述電磁感應的影響，并利用憶阻器耦合實現(xiàn)了磁通對膜電位的調制.更進一步地，通過對神經元施加加性相位噪聲，檢測了神經元在模態(tài)中的動態(tài)響應和相變，并觀察到雙相干共振行為.此外，各個離子通道也會對神經元膜電壓產生影響，即通過改變細胞膜內外各離子的濃度，進而改變膜電壓大小.文獻[10]認為外電場對細胞膜內外各離子通道的傳遞有影響，從而改變膜電壓，并通過引入電場變量，建立了外電場作用下的FHN神經元模型，進一步分析了該模型放電活動動力學特征.但是，上述文獻中建立的神經元模型未能同時考慮電場和磁場對神經元模型的影響，有必要在考慮電磁場的情況下再進一步研究.

研究表明，在很多神經元模型的放電活動中也會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，因此研究神經元模型里的混沌控制與同步是十分有必要的.文獻[11]利用滑?？刂坪蚆ittag-Leffler函數(shù)方法，使分數(shù)階慣性神經元主從系統(tǒng)達到混沌同步.文獻[12]通過磁控憶阻器建立了一個e-HR神經元模型，并通過自適應同步控制方法，實現(xiàn)了系統(tǒng)混沌態(tài)放電到周期簇放電態(tài)的同步控制.文獻[13]通過建立全局耦合的抑制性和興奮性神經元網絡，發(fā)現(xiàn)耦合強度足夠大時能夠誘導抑制性和興奮性神經網絡達到幾乎完全同步的狀態(tài).在一般的混沌控制與同步里，參數(shù)都是已知的.但實際混沌系統(tǒng)的參數(shù)往往難以確定，如混沌系統(tǒng)的參數(shù)本身部分未知或全部未知，工作過程中系統(tǒng)參數(shù)受到擾動，神經元系統(tǒng)可能會因為外界刺激電流的改變，使得多個系統(tǒng)參數(shù)同時發(fā)生變化.因此，參數(shù)辨識問題是神經元動力學分析中的重要一環(huán).基于Lyapunov穩(wěn)定性原理的自適應同步方法是目前參數(shù)辨識常用的方法[14，15].文獻[16]通過增加控制器個數(shù)以及取恰當大小的增益系數(shù)，保證了HR神經元模型中一組差異過大的未知參數(shù)的準確識別，并縮短了識別的暫態(tài)過程.

受上述研究啟發(fā)，本文考慮到磁場以及外電場兩方面都對神經元產生影響，同時引入磁通變量和電場變量，構建了一個改進的五維HR神經元系統(tǒng).運用Matlab軟件做出該系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔圖，可以看到該系統(tǒng)具有豐富的放電行為及分岔現(xiàn)象，然后對雙參數(shù)分岔圖里的一條黑線做峰峰間期（ISI）分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“鋸齒狀”的混沌結構.考慮到放電過程中系統(tǒng)可能多個參數(shù)同時發(fā)生變化，取定一組參數(shù)，使系統(tǒng)為混沌態(tài)，以其中五個參數(shù)為未知參數(shù)，利用Lyapunov穩(wěn)定性原理和自適應同步方法，選擇合適的控制器，使驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達成同步，同時辨識出未知參數(shù)的值.

1 模型描述

基于三維Hindmarsh-Rose（HR）神經元模型，文獻[17]考慮到電磁輻射對膜電位的影響，通過加入磁通變量來模擬這一影響，改進成一個四維的Hindmarsh-Rose（HR）神經元模型，再對該四維系統(tǒng)做雙參數(shù)分岔分析，并通過Washout控制器來實現(xiàn)亞臨界Hopf分岔穩(wěn)定性控制，從而消除了隱藏放電現(xiàn)象.Ma J等[9]考慮到外電場參與細胞內各離子的傳遞，引起膜電壓的變化，引入了電場變量.受上述啟發(fā)，本文同時引入磁通變量和電場變量，建立磁場電場共同作用下的五維HR神經元動力系統(tǒng)，系統(tǒng)的微分方程如下所示：

其中，五個狀態(tài)變量分別表示膜電位、快電流、自適應慢電流、模擬細胞周圍磁場的磁通變量以及外電場，I為外界的刺激電流，a，b，c，d，r，s，χ0是重要的動力學參數(shù)，Ie是磁場產生的電磁感應電流，表達式為-k0(α+3βφ2)x，α和β是與系統(tǒng)相關的確定參數(shù)，k2，k3也是確定系數(shù)，為磁通反饋增益.因為快電流y對外電場的變化非常敏感，所以對變量y施加一項k1E來表示外電場對變量y的影響.在本文中，各參數(shù)參考值取為：a=1.0，b=3.0，c=1.0，d=5.0，s=4.0，r=0.006，χ0=-1.61，α=0.2，β=0.03，I=3，k0=0.1k1=0.1，k2=0.3，k3=0.5，k4=0.2，k5=0.3.

2 雙參數(shù)分岔分析

神經元模型往往會受到外界刺激，從而使神經元的放電行為發(fā)生變化.系統(tǒng)（1）中膜電壓x的放電行為與系統(tǒng)參數(shù)取值有關，其余各參數(shù)取參考值時，系統(tǒng)膜電壓x隨外界刺激電流I變化的峰峰間期（ISI）分岔圖如圖1所示.從圖中我們可以看到：當外界刺激電流I逐漸增大時，系統(tǒng)（1）首先由靜息態(tài)進入周期1尖峰放電態(tài)，隨后經過加周期分岔進入周期2，3，4，5...10簇放電態(tài)，再通過倍周期分岔進入混沌態(tài)放電，混沌態(tài)放電結束后進入周期11的周期簇放電態(tài)，再次通過倍周期分岔進入混沌態(tài)放電，最后通過逆倍周期分岔進入周期1尖峰放電態(tài).但在實際情況中，外界刺激電流I改變時，系統(tǒng)（1）的其他幾個參數(shù)可能也同時發(fā)生改變.因此研究系統(tǒng)（1）的雙參數(shù)同時改變時，膜電壓x的變化更具有實際意義.

圖1 關于參數(shù)I的ISI分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of ISI with respect to parameter I

取I和r這兩個參數(shù)，對系統(tǒng)（1）做雙參數(shù)分岔分析，其余參數(shù)取參考值.系統(tǒng)（1）的雙參數(shù)分岔結構圖如圖2所示.圖中不同顏色對應著不同的神經元膜電壓放電狀態(tài)，右邊顏色欄的數(shù)值表示對應的周期簇放電狀態(tài).（如數(shù)字1表示周期1尖峰放電態(tài)，數(shù)字2表示周期2簇放電態(tài)，數(shù)字8表示周期8簇放電態(tài)，白色區(qū)域代表周期大于或等于20的周期簇放電狀態(tài)或混沌態(tài)）.

圖2 參數(shù)I和r的雙參數(shù)分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram with two parameters I and r

對圖2做分析可知，當參數(shù)I∈ [2.85，3.85]，r∈ [0.002，0.027]時，系統(tǒng)（1）表現(xiàn)出非常豐富的周期簇放電狀態(tài)和“鋸齒狀”混沌狀態(tài).沿圖2中的黑線左上到右下方向，可以看到膜電壓x經歷的放電過程是：先從混沌放電態(tài)進入到周期3簇放電，再由倍周期分岔進入周期6，12，24...簇放電直到混沌放電態(tài)，混沌放電態(tài)結束后出現(xiàn)周期4窗口，同樣經過倍周期分岔進入周期8，16，32...直到進入混沌放電態(tài).一直反復下去.看到系統(tǒng)（1）每經歷一次混沌放電，放電的周期數(shù)比混沌放電前的周期數(shù)大一，這個過程就是伴有混沌的加周期分岔模式.由此可以觀察到，隨著黑線的走勢，周期數(shù)不斷加大，相應的周期顏色帶面積不斷減小，且混沌的窗口也不斷減小.此外，從I∈[2.85，3.05]，r∈[0.002，0.007]這個參數(shù)區(qū)間可以看到，此時系統(tǒng)（1）的分岔結構不包含混沌區(qū)域的周期層，且相鄰周期窗口周期數(shù)大一，這個過程稱為無混沌的加周期分岔模式.

當以參數(shù)r為變量時，其余參數(shù)取參考值.沿圖2中的黑線從右下到左上方向，可以做出系統(tǒng)（1）膜電壓x的峰峰間期（ISI）分岔圖如圖3（a）所示，圖3（b）是圖3（a）所對應的最大Lyapunov指數(shù)圖.從圖3（a）可以更直觀地看出，隨著參數(shù)r的不斷減小，系統(tǒng)的膜電壓x放電模式從混沌態(tài)放電結束后進入周期3簇放電態(tài)，再通過倍周期分岔再次通向混沌態(tài)放電，然后進入周期4簇放電態(tài)，進一步通過倍周期分岔轉向混沌后再進入周期5簇放電態(tài)，以此反復下去，最后從高周期簇放電態(tài)通過倍周期分岔進入混沌后，通過一次逆倍周期分岔進入周期1尖峰放電態(tài).

圖3 系統(tǒng)（1）的ISI分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 The bifurcation diagram of ISI and maximum Lyapunov exponent diagram of system（1）

根據(jù)上述分析，外界刺激可以導致神經元的放電活動發(fā)生變化，系統(tǒng)動力學參數(shù)可能也會隨之改變.這樣在多個系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，如何辨識出變化后的未知參數(shù)就有著十分重要的意義.

3 改進五維HR神經元系統(tǒng)的自適應同步及參數(shù)辨識

4 數(shù)值仿真

在具體的數(shù)值仿真中，令驅動系統(tǒng)中狀態(tài)變量初值取 (-0.1，-0.2，-0.3，-0.4，-0.5)，響應系統(tǒng)狀態(tài)變量初值取(0.1，0.2，0.3，0.4，0.5)，未知參數(shù)取為a1=1，b1=3，c1=1，d1=5，r1=0.027，此時驅動系統(tǒng)為混沌態(tài)，將響應系統(tǒng)初始參數(shù)取為a2=1.2，b2=4，c2=1.5，d=6.2，r=0.003.通 過 Matlab軟件進行數(shù)值模擬，得到響應系統(tǒng)（3）的參數(shù)辨識曲線以及同步誤差e隨時間t的變化如圖4所示.可以觀察到，經過一定的暫態(tài)過程后，同步誤差隨時間逐漸趨于零附近.驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)達成同步.且由數(shù)值仿真可以得出，在t=1000時，響應系統(tǒng)的參數(shù)估計值a2=c2=0.999，b2=3，d2=4.999，r2=0.027，基本趨近于驅動系統(tǒng)的未知參數(shù)值，即辨識出驅動系統(tǒng)的未知參數(shù).

圖4 系統(tǒng)（3）的參數(shù)辨識曲線Fig.4 Parameter identification curve of system（3）

可以看到，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應同步方法辨識出了五維HR神經元系統(tǒng)的未知參數(shù)值，且從仿真結果可以看到同步誤差很快趨近于零，辨識結果也較為準確，說明基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應同步方法的參數(shù)辨識是成功的.

5 結論

本文首先基于三維HR神經元模型，通過引入磁通變量和電場變量，構建了一個改進的五維神經元系統(tǒng)（1）；其次，利用Matlab軟件進行雙參數(shù)分岔分析，進一步發(fā)現(xiàn)其具有豐富且復雜的分岔模式.如沿著圖2黑線從左上到右下方向，系統(tǒng)有著常見的倍周期分岔、加周期分岔的分岔模式，混沌結構呈“鋸齒狀”；然后，取一種混沌狀態(tài)的情況單獨分析，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應同步方法，以該混沌神經元系統(tǒng)作為驅動系統(tǒng)，構建一個對應的響應系統(tǒng)，設計了使兩個系統(tǒng)同步的控制器，使驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達成完全同步，從而混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)得到了識別，理論證明了控制器的可行性；最后，通過數(shù)值仿真得到了五個狀態(tài)變量的誤差圖以及參數(shù)辨識曲線.從圖中可以看到兩系統(tǒng)較快地達到完全同步，且未知參數(shù)得到識別.本文的研究結果在生物學與醫(yī)學電磁場下神經元模型的建立中有著一定的參考價值.

圖5 系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（3）同步誤差圖Fig.5 Synchronization error diagram of system（2）and system（3）