基于有限質(zhì)點法的牽引走板與雙滑車多體動力計算方法*

秦劍 江明 景文川 賈寧 李剛

（1.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100055）（2.國網(wǎng)四川電力送變電建設(shè)有限公司，成都 610051）

引言

牽引走板是輸電線路工程張力放線施工中用于連接牽引鋼絲繩和各子導(dǎo)線的專用工具，有一牽二、一牽四、一牽六等不同型式.走板由鋼板焊接而成，由牽引鋼絲繩帶動，牽引導(dǎo)線通過輸電線路鐵塔上的各個放線滑車.當(dāng)線路鐵塔間的轉(zhuǎn)角、高差較大時，需懸掛雙放線滑車，增加滑車承載能力，減小導(dǎo)線對滑車的包絡(luò)角[1，2].

隨著特高壓工程建設(shè)的開展，大截面導(dǎo)線普遍應(yīng)用，牽引走板質(zhì)量、體積也不斷增加，在沖擊力的作用下對滑車和導(dǎo)線會產(chǎn)生一定損傷，嚴(yán)重時會發(fā)生滑車破損而導(dǎo)致放線事故，造成較大的經(jīng)濟(jì)損失.因此牽引走板、放線滑車的設(shè)計與安裝成為特高壓工程放線施工中關(guān)注的重點[3-5].目前，張力放線過程中牽引走板與滑車的接觸沖擊過程尚未開展相關(guān)研究，缺少滑車所受沖擊載荷、滑車懸掛擺動等施工關(guān)鍵因素的計算分析方法，對雙滑車結(jié)構(gòu)的理論研究更屬空白.

有限質(zhì)點法以向量力學(xué)和數(shù)值計算為基礎(chǔ)，將結(jié)構(gòu)離散為質(zhì)點群，采用牛頓第二定律描述這些質(zhì)點的運(yùn)動，避免求解非線性方程組和整體剛度矩陣，適于計算發(fā)生剛體位移和幾何大變形的結(jié)構(gòu)，在處理結(jié)構(gòu)大變形、接觸、碰撞等非線性問題方面取得良好的應(yīng)用效果[6-8].在結(jié)構(gòu)接觸計算方法中，Lagrange乘子法精度較高，但增加了未知量數(shù)目[9]，而罰函數(shù)法以接觸剛度系數(shù)與界面侵入量的乘積作為接觸力，使無穿透的約束條件近似得到滿足[10-12]，計算方便且不增加方程數(shù)量，在多體系統(tǒng)碰撞計算中獲得了廣泛的應(yīng)用.俞鋒等[13]結(jié)合罰函數(shù)法采用有限質(zhì)點法對索與滑輪接觸進(jìn)行分析，張鵬飛等[14]針對桿、板等結(jié)構(gòu)提出了接觸力的簡化計算方法，秦劍等[15]對索道載荷過鞍座沖擊的影響進(jìn)行了深入計算.

本文在有限質(zhì)點法的基礎(chǔ)上提出牽引走板與雙放線滑車系統(tǒng)的動力計算方法，分析牽引走板與雙放線滑車在接觸下的作用影響，為張力放線施工安全提供技術(shù)參考.

1 牽引走板與放線滑車運(yùn)動系統(tǒng)

在牽引機(jī)的牽引力及張力機(jī)的張力作用下，鋼絲繩、牽引走板及導(dǎo)線連續(xù)通過線路中各個鐵塔橫擔(dān)下懸掛的放線滑車（組），直至放線過程結(jié)束.如圖1所示.

圖1 牽引走板通過滑車Fig.1 Traction plate passing through the pulley

1.1 多體系統(tǒng)位置

將牽引鋼絲繩、牽引走板、導(dǎo)線及雙滑車、滑車懸臂、滑車連接桿看作由多個部件組成的多體運(yùn)動系統(tǒng).放線滑車懸掛在鐵塔橫擔(dān)上，懸掛點J1、J2，并以J1為原點建立平面坐標(biāo)系，如圖2所示.牽引繩（AB）、牽引走板（BC）、導(dǎo)線（CD）依次通過以O(shè)1、O2為中心的滑車.放線滑車在懸臂的作用下繞懸掛點J1、J2發(fā)生前后擺動.牽引方向及張力方向由放線整體工況確定，并在運(yùn)動過程中保持不變.

圖2 牽引走板與雙滑車運(yùn)動系統(tǒng)Fig.2 An illustrative system of traction plate and double-pulley

1.2 系統(tǒng)單元及節(jié)點

在牽引力與張力的作用下，牽引繩、導(dǎo)線可視為柔性的線彈性單元，僅承受軸向拉力，運(yùn)動過程中彈性模量及截面積保持不變.因此設(shè)置牽引繩單元AB，單元初始長度為sAB，彈性模量與截面積乘積為EAR.導(dǎo)線單元CD，單元初始長度為sCD，彈性模量與截面積乘積為EAC.牽引走板為鋼制，在接觸過程中無變形，視為矩形剛性單元，單元長度為sBC，厚度為bP，走板與鋼絲繩、導(dǎo)線連接節(jié)點B、C位于單元軸心線，下部頂點為P、Q，如圖3所示.

圖3 走板與滑車示意圖Fig.3 Schematic diagram of traction plate and pulley

懸掛單元O1J1、O2J2的初始長度為sOJ（在此認(rèn)為2個懸掛單元長度相同），彈性模量與截面積乘積為EAJ.雙滑車為完全相同的圓形剛性單元，中心為O1、O2（下文中以O(shè)1、O2表示2個滑車），半徑為R.雙滑車間隔單元O1O2，單元初始長度為sOO，彈性模量與截面積乘積為EAO.將單元質(zhì)量均勻集中于質(zhì)點B、C、D、O1、O2上，則各質(zhì)點質(zhì)量為：

式中，ρR、ρC、ρJ分別為牽引繩、導(dǎo)線、懸掛單元的單位長度質(zhì)量；mP、mK分別為牽引走板、滑車質(zhì)量.

1.3 牽引繩、導(dǎo)線與滑車的接觸

在實際中，牽引繩、導(dǎo)線只會與滑車的上部（高于中心O1、O2的部分）發(fā)生接觸，因此為簡化分析，從牽引繩、導(dǎo)線與滑車上部的接觸點入手判斷接觸情況 .節(jié)點A到滑車O1、O2上部的切點為A1、A2，節(jié)點B到滑車O1、O2上部的切點為B1、B2，滑車O1、O2的上部外切線切點為U1、U2，如圖4所示.以單元AB對滑車的切點水平位置判斷對滑車的包絡(luò)角，并獲得單元AB在接觸后的長度.

圖4 AB與雙滑車接觸狀態(tài)Fig.4 AB is contacted with two pulleys

（1）當(dāng)AB與滑車O1、O2同時接觸，如圖4（a）所示，AB的長度可表示為

其中，β1、β2為AB對滑車O1、O2的包絡(luò)角lU1U2、lO2B、lA1U1、lU2B2分別為O1到A、U1到U2、O2到B、A1到U1、U2到B2的距離 .

（2）當(dāng)AB僅與滑車O1接觸，如圖4（b）所示，AB的長度可表示為

（3）當(dāng)AB僅與滑車O2接觸，如圖4（c）所示，AB的長度可表示為

（4）其他情況下AB與滑車O1、O2不接觸.單元AB的長度SAB為A、B的距離lAB.

導(dǎo)線CD與滑車的接觸判斷可按上述方法實現(xiàn)，僅需將A、B替換為C、D即可.

1.4 牽引走板與滑車的接觸

牽引走板BC在運(yùn)動體系中為剛性體，與滑車接觸過程中不發(fā)生彎曲變形，牽引走板下部邊界PQ與滑車O1、O2接觸.因此可以通過直線PQ與滑車的關(guān)系判斷接觸情況.如圖5所示，圖中①～③表示不同的接觸狀態(tài).首先判斷牽引走板與滑車O1的接觸關(guān)系：

圖5 牽引走板與滑車接觸Fig.5 Traction plate is contacted with the pulley

其中，lO1P、lO1Q分別為O1到P、O1到Q的距離.其他情形下走板與滑車O1無接觸.走板與滑車O2的接觸判斷與O1相同，僅需將O1替換為O2即可，不再贅述.

2 多體運(yùn)動系統(tǒng)動力計算方法

2.1 有限質(zhì)點法

在此采用有限質(zhì)點法分析牽引走板與放線滑車多體系統(tǒng)的運(yùn)動.系統(tǒng)中各單元的變形通過具有集中質(zhì)量的質(zhì)點位移表示，質(zhì)點在單元內(nèi)力和節(jié)點外力的共同作用下遵循牛頓第二定律進(jìn)行運(yùn)動.質(zhì)點運(yùn)動方程可表示為

式中，m為質(zhì)點質(zhì)量；?為質(zhì)點加速度矢量；F為質(zhì)點所受合力矢量.采用中心差分法來求解質(zhì)點的運(yùn)動方程.令h為時間增量步長，節(jié)點運(yùn)動時間tn=nh，n≥ 0；xn-1、xn和xn+1分別為第n-1、n和n+1個時間步的質(zhì)點位置向量，F(xiàn)n為第n個時間步的質(zhì)點合力矢量.考慮結(jié)構(gòu)阻尼影響，引入阻尼系數(shù)ζ，由中心差分公式得到第n+1步的質(zhì)點位置向量：

式中，c1=1+ζh2，c2=1-ζh2.

2.2 質(zhì)點作用力

（1）牽引繩、導(dǎo)線對質(zhì)點的作用力

牽引繩AB與滑車發(fā)生柔性接觸，線彈性單元AB內(nèi)力可表示為

單元AB對質(zhì)點A、B、O1、O2的作用力fAB-A、fAB-B、fAB-O1、fAB-O2表達(dá)式可根據(jù)牽引繩與滑車的不同接觸狀態(tài)（圖4）得到，具體如表1所示.

表1 不同接觸狀態(tài)下的牽引繩對質(zhì)點作用力Table1 Force exerted by traction rope on the particles under different contact conditions

為簡化敘述，以e表示單位向量，下標(biāo)表示向量方向，即eAA1表示從A到A1的單位向量.其他向量采用同樣的表示方法，不再一一說明.同樣可以獲得單 元CD對C、D、O1、O2的作用力 fCD-C、fCD-D、fCD-O1、fCD-O2.

（2）牽引走板對質(zhì)點的作用力

走板與滑車O1、O2先后發(fā)生碰撞接觸，其法向接觸力等于侵入量與法向剛度系數(shù)的乘積[13]，因滑車在接觸過程中發(fā)生轉(zhuǎn)動而忽略摩擦接觸力.當(dāng)走板的P點與滑車O1發(fā)生點接觸時（圖6），走板對滑車的侵入量為R－lO1P，則單元BC對質(zhì)點O1的作用力可表示

圖6 牽引走板與滑車接觸Fig.6 Contact force between traction plate and pulley

其中k為法向剛度系數(shù)（可取值106）.當(dāng)PQ與滑車O1發(fā)生線接觸時，最大侵入點M，侵入量為R－lO1M，則單元BC對O1的作用力可表示

2.3 系統(tǒng)運(yùn)動過程計算

質(zhì)點A在牽引力的作用下，向牽引側(cè)運(yùn)動，在放線過程中維持恒定速度vA，則

通過張力放線施工整體計算[16]，確定vA及張力矢量TC.在得到tn時的質(zhì)點位移后，即可計算得到各單元內(nèi)力，進(jìn)而得到各質(zhì)點所受作用力.根據(jù)式（6）可獲得tn+1時的質(zhì)點位移，直至運(yùn)動過程結(jié)束.

表2 各質(zhì)點所受作用力Table2 Forces on the particles

3 牽引走板與放線滑車接觸計算分析

根據(jù)特高壓工程中張力放線施工的典型技術(shù)參數(shù)，開展?fàn)恳甙逋ㄟ^雙放線滑車的運(yùn)動過程計算，分析施工中重點因素對滑車載荷、擺動角等參數(shù)的影響.

3.1 接觸動力過程分析

典型工況1：走板通過滑車時運(yùn)行速度1.0m/s、牽引角度20°（牽引方向與水平的夾角）、張力角度-10°（張力方向與水平的夾角）、張力25kN、走板厚度0.1m、懸掛長度（sOJ）1.0m.計算中，參數(shù)ζ=0.2，h=10-4，運(yùn)動過程時間t=5.2s.走板通過雙滑車的過程如圖7（a）～（h）所示.

圖7 牽引走板通過雙滑車全過程Fig.7 The whole process of traction plate passing through the double-pulley

施工中主要關(guān)注滑車所受最大載荷，因此針對滑車所受載荷與滑車擺動角度進(jìn)行分析，計算結(jié)果如圖8所示.從圖8（a）可知，走板與雙滑車經(jīng)歷了無接觸—與滑車2接觸（從P到Q）—脫離接觸—與滑車1接觸（從P到Q）—脫離接觸的過程.圖中，①：走板與滑車2未接觸；②：走板前端與滑車2點接觸；③：走板與滑車2線接觸；④：走板末端與滑車2點接觸；⑤：走板與滑車2脫離；⑥：走板前端與滑車1點接觸；⑦：走板與滑車1線接觸；⑧：走板末端與滑車1點接觸；⑨：走板與滑車1脫離.整個過程中滑車1的最大懸掛載荷發(fā)生在階段⑦，滑車2的最大載荷發(fā)生在階段③.如圖8（b）可知，當(dāng)走板與滑車1發(fā)生線接觸時，滑車向牽引方向的擺動角達(dá)到最大；走板與滑車1脫離接觸時，滑車向張力方向的擺動角達(dá)到最大.

圖8 走板通過雙滑車過程分析（典型工況1）Fig.8 Process analysis of traction plate passing through double-pulley（typical condition 1）

通過計算發(fā)現(xiàn)牽引走板厚度和滑車懸掛長度對滑車載荷有較大影響，因此設(shè)置典型工況2：走板厚度0.3m、懸掛長度4m，其他參數(shù)與典型工況1相同.滑車載荷、滑車擺動角度結(jié)果如圖9所示.從圖9（a）可知，走板經(jīng)歷了無接觸—與滑車2接觸（從P到Q）—與滑車2、滑車1反復(fù)脫離、接觸—與滑車1接觸（從P到Q）—脫離接觸的變化過程.其中，①～④的狀態(tài)與典型工況1相同；⑤～⑥為走板與滑車1、滑車2反復(fù)脫離、接觸階段；⑦～⑩與典型工況2的⑥—⑩狀態(tài)相同.

圖9 走板通過雙滑車過程分析（典型工況2）Fig.9 Process analysis of traction plate passing through double-pulley（typical condition 2）

滑車的擺動角度與典型工況1近似，在中期因走板與滑車1、2的反復(fù)脫離、接觸而有波動.從典型工況1、2結(jié)果中可知，隨著放線滑車懸掛長度增大和走板厚度增加，走板通過雙滑車的運(yùn)行狀態(tài)發(fā)生了復(fù)雜變化，產(chǎn)生了與滑車1和滑車2反復(fù)接觸的變化過程，滑車載荷、擺動角度也有大幅增大.

3.2 重要因素的影響分析

特高壓輸電線路工程中，受實際條件影響，施工安裝中滑車的懸掛長度有較大變化；另外牽引走板通過滑車時因空間位置不同而呈現(xiàn)不同厚度變化.因此分別計算懸掛長度3.0m-4.5m，走板厚度在0.1m、0.2m情況下，走板牽引力、走板與滑車的最大接觸力、懸臂載荷、擺動幅度（向牽引側(cè)擺動為正，向張力側(cè)擺動為負(fù)）等參數(shù)的變化.計算結(jié)果如圖10～圖12所示.從圖10～圖12可知，走板通過雙滑車過程中：1）隨著懸掛長度的增加，滑車擺動幅度不斷減??；2）隨懸掛長度的增加，牽引力、最大接觸力、滑車載荷產(chǎn)生波動，其變化與運(yùn)動中的接觸狀態(tài)有一定關(guān)系；3）走板厚度對各變量影響較大，厚度0.2m時，牽引力、最大接觸力、滑車載荷、擺動幅度與厚度0.1m相比均有較大增長.

圖10 牽引力、接觸力隨懸掛長度的變化曲線Fig.10 Curve of traction force and contact force with varying suspension length

圖11 滑車1、2載荷隨懸掛長度的變化曲線Fig.11 Curve of loads of pulley 1 and 2 with varying suspension length

圖12 滑車擺動角最大幅值隨懸掛長度的變化曲線Fig.12 Curve of maximum amplitude of pulley swing angle with varying suspension length

4 結(jié)論

本文建立了輸電線路張力放線施工中牽引走板與雙滑車結(jié)構(gòu)的多體運(yùn)動系統(tǒng)，提出了運(yùn)動系統(tǒng)中鋼絲繩、導(dǎo)線、牽引走板與雙滑車間的接觸判別方法，通過罰函數(shù)法得到牽引走板與滑車的接觸力，結(jié)合有限質(zhì)點法形成了牽引走板與雙滑車的碰撞接觸計算方法，為輸電線路工程施工提供了技術(shù)支持，可用于大高差、大轉(zhuǎn)角等地形條件下牽引走板對雙滑車通過性的精細(xì)計算.通過模型簡化，可直接退化得到牽引走板與單滑車的接觸計算方法.

針對輸電線路施工中的典型工況，進(jìn)行了牽引走板與滑車的接觸過程分析，總結(jié)了運(yùn)動過程中接觸狀態(tài)、滑車載荷、滑車擺動角度的變化規(guī)律.針對工程中關(guān)注的懸掛長度、走板厚度等因素，進(jìn)行多個工況的走板過雙滑車過程計算，分析了牽引力、最大接觸力、滑車載荷、擺動幅度等主要影響參數(shù)的變化.計算分析結(jié)果為牽引走板、放線滑車的設(shè)計與施工安裝提供了參考依據(jù)，為張力放線施工安全提供保障.