不同階外激勵下壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的內(nèi)共振特性分析*

郭翔鷹 段夢燁

（1.北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部，北京 100124）（2.非線性振動與機械結(jié)構(gòu)強度北京市重點實驗室，北京 100124）

引言

壓電纖維復(fù)合材料[1-3]（Macro Fiber Composite）是近年來興起的一種新型壓電復(fù)合材料（如圖1），由 NASA發(fā)明隨后由 Smart Material公司[4]生產(chǎn)進入了商業(yè)產(chǎn)品化.作為航空工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的研究熱點，這種材料已廣泛應(yīng)用于智能結(jié)構(gòu)和設(shè)備[5-7].壓電纖維復(fù)合材料主要由壓電纖維，電極和聚合物基質(zhì)組成，包括MFC-d31和MFC-d33兩種[8].

圖1 MFC結(jié)構(gòu)組成Fig.1 MFC configuration

國內(nèi)外眾多力學(xué)和材料等相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者們對壓電纖維復(fù)合材料進行了研究.Williams等[9]研究了壓電纖維復(fù)合材料的非線性拉伸和剪切性能.Xia等[10]基于高階剪切變形板理論分析了在熱環(huán)境下，表面粘結(jié)壓電纖維增強復(fù)合材料驅(qū)動器的功能梯度材料板的非線性動態(tài)響應(yīng).Shen等[11]基于高階剪切板理論，考慮壓電材料的溫度依賴性和初始的幾何缺陷，研究了壓電層合板的熱屈曲行為.Padoin等[12]在復(fù)合材料層合板中貼放壓電纖維復(fù)合材料，并通過改變復(fù)合材料層合板的鋪設(shè)方式討論壓電纖維復(fù)合材料的減振抑制作用.Guo等[13]應(yīng)用Reddy三階剪切理論分析壓電纖維復(fù)合材料中厚度殼的動力學(xué)特性，結(jié)果表明壓電纖維復(fù)合材料具有良好的抑制振動作用.Jiang等[14]分析了石墨烯及壓電纖維復(fù)合材料板的非線性動力學(xué)特性.Panda等[15]通過主動約束層理論研究了在幾何大變形下功能梯度壓電纖維復(fù)合材料層壓板的非線性動力學(xué)特性.Xie等[16]基于高階剪切變形理論，在反平面剪切和平面內(nèi)電載荷作用下，對具有任意形狀夾雜的壓電纖維復(fù)合材料進行二維電彈性分析.

基于上述文獻綜述表明，壓電纖維復(fù)合材料對振動抑制以及結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)都有一定的影響.本文主要研究不同階激勵作用下壓電纖維復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)特性響應(yīng)，分析壓電纖維復(fù)合材料懸臂板主參數(shù)共振-1∶3∶5內(nèi)共振情況下的非線性動力學(xué)響應(yīng).

1 運動方程

以無人機機翼作為工程背景，將機翼簡化為壓電纖維復(fù)合材料的懸臂板結(jié)構(gòu)，選擇d-31類型的壓電纖維復(fù)合材料，建立如圖2所示的力學(xué)模型，直角坐標(biāo)oxy位于壓電纖維復(fù)合材料板的中性面內(nèi)，z軸向下，設(shè)板內(nèi)任一點沿x、y和z方向的位移分別為u、v和w，并在該板上施加橫向激勵.懸臂板模型的長為a，寬為b，厚度為h.根據(jù)Reddy一階剪切理論，忽略面內(nèi)位移，壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的位移場在笛卡爾坐標(biāo)系中表示如下

圖2 壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的動力學(xué)模型Fig.2 The macro fibre composite plate model

式中，u，v，w為沿著x、y、z三個坐標(biāo)軸方向的位移；u0，v0為薄板中面沿著x、y方向的位移 ；為轉(zhuǎn)角，κ為剪切修正因子.

2 Galerkin離散

3 固有頻率分析

根據(jù)壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的動力學(xué)模型，利用ANSYS有限元結(jié)構(gòu)分析軟件建立了有限元模型，表1給出了壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的幾何參數(shù)，根據(jù)幾何參數(shù)，解得前三階的固有頻率如表2及模態(tài)振型如圖3所示.

表1 壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of the piezoelectric fiber composite cantilever plate

表2 壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的前三階固有頻率Table 2 The first three natural frequencies

圖3 壓電纖維復(fù)合材料懸臂板前三階模態(tài)振型圖Fig.3 The first three vibration modes of the piezoelectric fiber composite cantilever plate

由有限元模態(tài)分析結(jié)果得出，壓電纖維復(fù)合材料懸臂板結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)的模式為：第一階彎曲振動，第二階扭轉(zhuǎn)振動，第三階彎曲振動.為進一步分析壓電纖維復(fù)合材料懸臂板幾何尺寸對固有頻率的影響，固定寬度為0.05m，改變懸臂板的長度，得到不同長寬比下壓電懸臂板的前三階固有頻率.如表3及圖4所示的為不同長寬比下結(jié)構(gòu)的固有頻率值，隨著長寬比的增加，前三階固有頻率逐漸降低.

表3 壓電纖維復(fù)合材料懸臂板不同長寬比的前三階固有頻率Table 3 The first three natural frequencies with different aspect ratios

圖4 不同長寬比下的壓電纖維復(fù)合材料懸臂板前三階固有頻率Fig.4 The first three natural frequencies corresponding to different aspect ratios

4 內(nèi)共振分析

由于內(nèi)共振會引起結(jié)構(gòu)動態(tài)不穩(wěn)定甚至失效破壞，所以需要對不同長寬比下系統(tǒng)存在的內(nèi)共振現(xiàn)象進行分析，根據(jù)上述固有頻率的分析，在此研究1：3：5內(nèi)共振關(guān)系，采用多尺度法，得到系統(tǒng)極坐標(biāo)形式的平均方程為

通過數(shù)值模擬方法分析壓電纖維復(fù)合材料懸臂板結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)行為，研究壓電系數(shù)及外激勵幅值對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響.由表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)，計算無量綱后的系數(shù) .其中，μ1=0.32，μ2=0.32，μ3=0.32，β1= π/2，β2= π/3，β3= π/4，k11=10.2，k14=0.66，k15=-0.5，k16=5.2，k110=12.7，k111=15.8，k21=-39.2，k22=6.98，k26=4.15，k27=11.5，k28=1.55，k210=5.92，k33=-8.1，k36=1.55，k38=2.35，k39=-8.73，p1=1.0，p2=1.0，p3=1.0，改變外激勵幅值，令外激勵F1分別為100，300和500，得到在不同外激勵情況下的幅頻特性曲線如圖5所示，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧特性，并隨著外激勵的增大，硬彈簧特性增強.另外，壓電項對MFC懸臂板的非線性響應(yīng)有著重要的影響，固定上述的參數(shù)值和初始條件，如圖6所示的不同壓電系數(shù)下前三階的幅頻特性曲線，壓電系數(shù)pi分別取20，50和80，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧特性，隨著壓電系數(shù)的增大，硬彈簧特性增強.

圖5 一階外激勵作用下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 The amplitude-frequency response curve under external force of the first order（F1）

圖6 前三階不同壓電系數(shù)下的幅頻特性曲線Fig.6 The amplitude-frequency response curves with different piezoelectric coefficients of the first three orders

5 非線性動態(tài)特性響應(yīng)

為了分析壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的非線性振動特性，通過低頻激發(fā)高頻以及高頻激發(fā)低頻，分析不同尺寸下前三階外激勵對板振動的影響.采用Runge-Kutta法對懸臂板進行數(shù)值模擬，借助MATLAB數(shù)值模擬繪制分叉圖研究外激勵對結(jié)構(gòu)前三階非線性振動響應(yīng)的影響.

5.1 長度為0.085，寬度為0.05的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

當(dāng)懸臂板的長為0.085，寬為0.05時，分別改變前三階的外激勵幅值，研究振動響應(yīng)隨外激勵幅值的變化情況.當(dāng)幅值F1從0變化到300的過程中，得到系統(tǒng)一階外激勵的對系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響，其分叉圖如圖7所示，從分叉圖中分析可得：系統(tǒng)在開始時具有周期性運動，然后在短暫振蕩后進入周期性運動.

圖7 系統(tǒng)隨一階外激勵變化的分叉圖Fig.7 The bifurcation diagrams of the first three modes with respect to excitation amplitude F1

圖8所示為外激勵F2作用下的前三階分叉圖.由圖可知系統(tǒng)隨著外激勵F2的增加，最開始進行周期運動，當(dāng)F2=160時，系統(tǒng)出現(xiàn)分叉，進入混沌運動，當(dāng)F2增大到250N時，系統(tǒng)又重新呈現(xiàn)較為穩(wěn)定的倍周期運動.與第一階外激勵F1作用下的前三階分叉圖相比發(fā)現(xiàn)，不論是F1還是F2的作用，第三階的分叉現(xiàn)象更為明顯，且分叉區(qū)域較大.

圖8 系統(tǒng)隨二階外激勵變化的分叉圖Fig.8 The bifurcation diagrams of the first three modes with respect to excitation amplitude F2

圖9為第三階外激勵F3作用下的前三階分叉圖.由圖可知系統(tǒng)隨著外激勵F3的增加，最開始進行周期運動，當(dāng)F3=100時，系統(tǒng)從周期運動進入混沌運動，從圖中看出F3對第三階的影響更顯著，混沌區(qū)域更大，第一階和第二階的分叉圖呈現(xiàn)相同的趨勢.由上述分析可知，不同外激勵作用下系統(tǒng)都呈現(xiàn)周期混沌運動的現(xiàn)象，通過橫向比較不同階的三個外部激勵的分叉圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的高階響應(yīng)中混沌區(qū)域增加了，混沌現(xiàn)象更加顯著.

圖9 系統(tǒng)隨三階外激勵變化的分叉圖Fig.9 The bifurcation diagrams of the first three modes with respect to excitation amplitude F3

5.2 長度為0.1，寬度為0.05的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

為了進一步分析壓電纖維復(fù)合材料懸臂板在低頻和高頻下的響應(yīng)，改變板的尺寸繼續(xù)分析板的穩(wěn)定性，令長度為0.1，寬度為0.05，僅改變懸臂板的尺寸并固定壓電纖維復(fù)合材料的其他物理參數(shù)，再次研究不同階外激勵作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的分叉圖.

當(dāng)一階外部激勵變化時（如圖10所示），在F1=250時，系統(tǒng)存在混沌運動，當(dāng)二階外部激勵變化時（如圖11所示），在F2=210時，系統(tǒng)存在混沌運動，當(dāng)三階外部激勵變化時（如圖12所示），在F3=280時，系統(tǒng)存在混沌運動.由圖10-圖12可知，隨著懸臂板幾何尺寸的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低.同樣，F(xiàn)1和F2對高階響應(yīng)的影響更大，系統(tǒng)的混沌區(qū)域更大，混沌現(xiàn)象更加明顯.

圖10 系統(tǒng)隨三階外激勵變化的分叉圖Fig.10 The bifurcation diagrams of the first three modes with respect to excitation amplitude F1

圖11 系統(tǒng)隨三階外激勵變化的分叉圖Fig.11 The bifurcation diagrams of the first three modes with respect to excitation amplitude F2

圖12 系統(tǒng)隨三階外激勵變化的分叉圖Fig.12 The bifurcation diagrams of the first three modes with respect to excitation amplitude F3

6 結(jié)論

本文研究了在橫向激勵作用下，壓電纖維復(fù)合材料懸臂板的非線性動力學(xué)響應(yīng).應(yīng)用Reddy一階剪切變形理論，von Karman位移-應(yīng)變關(guān)系和Hamilton原理建立系統(tǒng)無量綱偏微分動力學(xué)方程，采用Galerkin方法對系統(tǒng)進行三階離散，得到三自由度的無量綱常微分方程.考慮主參數(shù)共振-1：3：5共振，分析外激勵以及壓電系數(shù)對系統(tǒng)的非線性響應(yīng)，然后數(shù)值模擬得到不同階外激勵幅值對復(fù)合材料懸臂板非線性動力學(xué)響應(yīng)的影響.

數(shù)值結(jié)果表明，隨著長寬比的增加，壓電纖維復(fù)合材料懸臂板固有頻率逐漸降低.在主參數(shù)共振-1：3：5內(nèi)共振關(guān)系下，該結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出硬彈簧特性，隨著外激勵以及壓電系數(shù)的增加，硬彈簧特性更加明顯.只改變外激勵幅值，不同尺寸的板都會出現(xiàn)周期到混沌的運動，由此可見外激勵幅值的改變會對系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性產(chǎn)生顯著的影響，同時，在不同尺寸下，系統(tǒng)會表現(xiàn)不同的穩(wěn)定性，隨著板尺寸的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低，板越小，動態(tài)穩(wěn)定區(qū)域?qū)⒃酱?通過理論方法研究壓電纖維復(fù)合板的內(nèi)部共振和穩(wěn)定性，對壓電纖維復(fù)合材料的應(yīng)用具有重要的理論意義和工程價值.