具有不等集群結(jié)構(gòu)的離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)間同步*

柳爽 李寬 張潤(rùn)澤

（上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 上海 201418）

引言

自1990年Ott，Grebogi和Yorke提出非線性系統(tǒng)中OGY混沌控制方法后，相關(guān)的同步與控制方法日趨成熟和豐富，如驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步法、主動(dòng)-被動(dòng)同步法、自適應(yīng)控制同步法、脈沖同步法等[1-4].同時(shí)其應(yīng)用領(lǐng)域也由數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)迅速擴(kuò)展到生物醫(yī)學(xué)、航空航天等新興領(lǐng)域，特別是近幾年有關(guān)同步的研究在機(jī)器人協(xié)同合作、衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整等方面的有著廣泛的應(yīng)用.在不同學(xué)科中，由于受控目標(biāo)本身的動(dòng)力學(xué)特性大有不同，因此如何有針對(duì)性的選取更合理的同步策略是研究的重點(diǎn)[5-8].

通過觀察自然界以及生活中的同步現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)同步問題不僅存在于兩個(gè)系統(tǒng)間，在多群體的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中依然適用.比如智能交通網(wǎng)絡(luò)中，無人駕駛車輛就是利用360度視野信息同步，使每輛車即時(shí)保存和分享交通網(wǎng)絡(luò)中的路況，通過信息共享調(diào)整車速、控制車距，保證安全有序的交通運(yùn)輸.還有流行性疾病的網(wǎng)絡(luò)傳播等都呈現(xiàn)出群體同步的特征，與系統(tǒng)同步相比，網(wǎng)絡(luò)同步除了要考慮的受控對(duì)象數(shù)目的增多外，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間耦合關(guān)系也同樣重要，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模成為分析網(wǎng)絡(luò)同步的又一關(guān)鍵.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型經(jīng)歷著由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由確定到隨機(jī)、由時(shí)間到時(shí)空的發(fā)展過程，并取得了很多創(chuàng)新性的研究成果[9-11].Wang和Chen[12]研究了具有小世界連接特性的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)改變網(wǎng)絡(luò)的部分連接時(shí)可增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的同步的能力.倪等[13]討論了具有局部結(jié)構(gòu)增長(zhǎng)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型為基礎(chǔ)的傳染病動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，給出了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)傳染病傳播機(jī)制的影響.Wang等[14]分析了無標(biāo)度梯度網(wǎng)絡(luò)下的耦合方案，并證明了通過該方法構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)比其他同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的同步性.Li等[15]利用滑模策略實(shí)現(xiàn)了一類時(shí)空混沌網(wǎng)絡(luò)的同步問題，同時(shí)給出了未知參量的識(shí)別率.以上研究工作均圍繞著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部拓?fù)湫再|(zhì)、同步能力展開，可被視為網(wǎng)絡(luò)內(nèi)同步研究[16].在此基礎(chǔ)上，Li等[17]提出了一類針對(duì)兩個(gè)離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的外同步現(xiàn)象的展開了討論.這種詮釋不同群落間多個(gè)體間行為一致的外同步問題，能更貼切的還原真實(shí)網(wǎng)絡(luò)在信息傳播時(shí)的同步特性.Zhou和Li[18]討論了結(jié)構(gòu)不對(duì)稱的小世界網(wǎng)絡(luò)間的外部同步問題.Arellano和López等[19]對(duì)比分析了在以混沌電路系構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的同步過程中，耦合強(qiáng)度、連接方式對(duì)網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響.為了繼續(xù)探究網(wǎng)絡(luò)間的同步問題，本文將展開新的討論.

在社會(huì)交往中常常會(huì)有這種情況發(fā)生，人們會(huì)根據(jù)自身的社會(huì)性格傾向于形成不同的團(tuán)體群.群體內(nèi)的成員之間關(guān)系非常密切，而不同群體間聯(lián)系極為微弱.近年來類似這種物以類聚的網(wǎng)絡(luò)集群的現(xiàn)象在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等研究領(lǐng)域中同樣引起了人們的廣泛關(guān)注.根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的方程或角色的不同，我們可以將網(wǎng)絡(luò)中所有的多智能體分到不同的團(tuán)體群中，通過設(shè)計(jì)合適的算法使得網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)相互連接的群體內(nèi)部能夠達(dá)到某種一致性，而不同群體間仍保持一定的差異性[20].因此針對(duì)網(wǎng)絡(luò)集群同步問題方面的研究顯得十分必要，文獻(xiàn)[21]研究了具有時(shí)滯的多重耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集群同步問題，針對(duì)不同集群中的時(shí)滯因素分別分析了時(shí)滯以及耦合關(guān)聯(lián)對(duì)集群同步能力的影響.在文獻(xiàn)[22]研究了一類具有線性耦合的離散的社區(qū)網(wǎng)絡(luò)集群同步問題，通過周期性切換控制器推導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)集群同步的充分條件.在此類工作中，一般考慮的是所有節(jié)點(diǎn)均具有完全相同的動(dòng)力學(xué)行為.然而這種假設(shè)，并不能完整的還原出真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體節(jié)點(diǎn)的全部特征，例如在社交網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)中，不同聚類中任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)按照其功能劃分是不同的[23].文獻(xiàn)[24]利用自適應(yīng)牽制控制方法討論了具有多混合節(jié)點(diǎn)形式復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集群同步問題，結(jié)合節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)特性，通過控制部分重要節(jié)點(diǎn)，給出了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步條件.文獻(xiàn)[25]則根據(jù)實(shí)際疫情傳播情況，通過不同的函數(shù)來描述病毒傳播過程中個(gè)體的內(nèi)在差異，建立了具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型，從理論上分析了不同群落中個(gè)體在病毒傳播的規(guī)律.本文將以此為出發(fā)點(diǎn)，建立具有不等聚群結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型，分析網(wǎng)絡(luò)間的同步問題.

混沌是非線性系統(tǒng)較普遍存在的一種行為，通過對(duì)非線性系統(tǒng)的混沌特性研究，使我們對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜性有了更深刻的認(rèn)識(shí).其實(shí)生產(chǎn)實(shí)際中系統(tǒng)行為除了隨時(shí)間變化之外，當(dāng)空間位置的改變時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)展現(xiàn)出更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.在時(shí)間網(wǎng)絡(luò)研究的基礎(chǔ)上，鄭等[26]研究了群結(jié)構(gòu)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中的同步現(xiàn)象，給出了判斷時(shí)空網(wǎng)絡(luò)是否能發(fā)生群同步的判據(jù)，得到網(wǎng)絡(luò)從完全不同步到完全同步的多種路徑.Lv等[27]針對(duì)具有不同動(dòng)力學(xué)行為的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)展開了網(wǎng)絡(luò)間同步問題的討論，并對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的未知參量進(jìn)行了有效的識(shí)別.在此工作的基礎(chǔ)上，本文將選取具有時(shí)空混沌特征的離散系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)建不等集群結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并以Lyapunov穩(wěn)定性原理為基礎(chǔ)，分析兩個(gè)具有不對(duì)稱拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜時(shí)空網(wǎng)絡(luò)間的外同步問題.分別以Gibbs時(shí)空混沌系統(tǒng)，Bragg時(shí)空混沌系統(tǒng)，一維對(duì)流方程為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)建具有不等集群結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)模型，分區(qū)域展開同步控制，通過數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證同步控制方案的正確性與有效性.

1 網(wǎng)絡(luò)模型與問題描述

2 控制器設(shè)計(jì)和同步分析

從驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的模型可以看出，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)是具有時(shí)空混沌特性的離散系統(tǒng)，并且網(wǎng)絡(luò)本身呈現(xiàn)出不等集群的結(jié)構(gòu)特征.本文將以Lyapunov穩(wěn)定性為基礎(chǔ)，結(jié)合自適應(yīng)控制策略，通過對(duì)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)施同步控制，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)耦合矩陣不對(duì)稱的離散網(wǎng)絡(luò)的同步追蹤.為了實(shí)現(xiàn)同步控制的目的，需要做如下的定義：如果滿足條件limn→∞||e（im，n）||=limn→∞||y（im，n）–?ix（im，n）||=0，那么驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)與響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)之間的投影同步就能實(shí)現(xiàn)，其中?i是投影同步因子.

3 仿真計(jì)算

為了驗(yàn)證本文所述同步策略的有效性，建立如圖1所示的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.該網(wǎng)絡(luò)中共有15個(gè)節(jié)點(diǎn)，包含3個(gè)不等集群.節(jié)點(diǎn)1-4為第1集群，5-9為第2集群，10-15為第3集群，只有同一集群中的節(jié)點(diǎn)方程相同（初值不同），系統(tǒng)維數(shù)為一.選定第1個(gè)集群中節(jié)點(diǎn)方程為Gibbs離散時(shí)空系統(tǒng)[28]

圖1 具有不等集群結(jié)構(gòu)的離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 A networks with threecommunities consisting of fifteennonidentical nodes

其中，參量xb=0.85π，A=3，ε=0.4，n表示離散化的時(shí)間，m表示空間格點(diǎn)坐標(biāo)（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.當(dāng)取初始條件x（i，1）=0.1，周期性邊界條件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100.其相圖如圖2所示，表示其隨時(shí)空變化的時(shí)空演化軌跡.

圖2 Gibbs時(shí)空混沌系統(tǒng)相圖xi（m，n）（i=1，…，4）Fig.2 Phase portrait of the Gibbs laser spatiotemporal model xi（m，n）（i=1，…，4）

選定第2個(gè)集群中節(jié)點(diǎn)方程為Bragg離散時(shí)空系統(tǒng)[29]

其中，參量r=0.5，v=1.5，Vb=0.25π，β=0.4，n表示離散化的時(shí)間，m表示空間格點(diǎn)坐標(biāo)（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.當(dāng)取初始條件x（i，1）=0.1，周期性邊界條件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100.其相圖如圖3所示，表示其隨時(shí)空變化的時(shí)空演化軌跡.

圖3 Bragg時(shí)空混沌系統(tǒng)相圖xi（m，n）（i=5，…，9）Fig.3 Phase portrait of the Bragg laser spatiotemporal model xi（m，n）（i=5，…，9）

選定第3個(gè)聚類中節(jié)點(diǎn)方程為離散后的一維對(duì)流方程[30]

其中，σ和χ均為系統(tǒng)參量，n表示離散化的時(shí)間，m表示空間格點(diǎn)坐標(biāo)（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.當(dāng)我們?nèi)ˇ?0.05，χ=1.75，初始條件x（i，1）=0.1，周期性邊界條件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100，其相圖如圖4所示，表示其隨時(shí)空變化的時(shí)空演化軌跡.

圖4 一維對(duì)流方程時(shí)空混沌系統(tǒng)相圖xi（m，n）（i=10，…，15）Fig.4Phase map of one-dimensional convective equation xi（m，n）（i=10，…，15）

分別選取時(shí)空混沌系統(tǒng)Gibbs，Bragg，一維對(duì)流方程構(gòu)建具有不等集群結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.該網(wǎng)絡(luò)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)N=15，節(jié)點(diǎn)1-4為Gibbs時(shí)空混沌系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)5-9為Bragg時(shí)空混沌系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)10-15為一維對(duì)流方程.從圖1-圖4可以看出，本文以3個(gè)無論是隨時(shí)間還是空間均存在較大差異時(shí)空混沌系統(tǒng)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)圖1的連接方式構(gòu)建不等集群的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.然后建立響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)亦為N=15，節(jié)點(diǎn)方程選取Gibbs時(shí)空系統(tǒng)（均具不同初值）.節(jié)點(diǎn)間以環(huán)形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相連.驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)方程不全相同，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全不相同.

按照本文介紹的同步追蹤方案，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i=1-4，將以投影因子?i同步于驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)集群1所對(duì)應(yīng)的同步目標(biāo)Gibbs時(shí)空混沌系統(tǒng)；節(jié)點(diǎn)i=5-8，將以投影因子?i投影同步于驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)集群2所對(duì)應(yīng)的同步目標(biāo)Bragg時(shí)空混沌系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)i=10-15，將以投影因子?i投影同步于驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)集群3所對(duì)應(yīng)的同步目標(biāo)一維對(duì)流方程.根據(jù)定理1，選定同步控制器以及同步參量辨識(shí)率，驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（1）和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（3）間可實(shí)現(xiàn)投影追蹤同步，具體同步情況如圖7-圖10所示.

考慮到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)為15，不便于逐一列舉，選擇來自3個(gè)不同集群的6個(gè)代表性節(jié)點(diǎn)為例進(jìn)行討論.分別為集群1中節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)4，集群2中節(jié)點(diǎn)5、節(jié)點(diǎn)9，集群3中節(jié)點(diǎn)12和節(jié)點(diǎn)15.投影同步的比例因子分別為?1＝1/2，?4＝1/2，?5＝1，?9＝1，?12＝2，?15＝2以逐倍遞增的方式分析其同步過程，如圖5所示.圖5分別展示了時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)1、4、5、9、12和15隨時(shí)間以及空間演化的相圖.在本文所設(shè)計(jì)的同步方法控制下，具有不同初值不同節(jié)點(diǎn)方程，不同耦合關(guān)聯(lián)的6個(gè)節(jié)點(diǎn)，分屬于3個(gè)不同集群，以及不同的投影比例因子.在控制器實(shí)施的最初階段，驅(qū)動(dòng)相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間存在較大的誤差，在經(jīng)過了短暫的時(shí)間演變后誤差方程迅速趨于零.

圖5 具有不等集群結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)誤差ei（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）的時(shí)空演化規(guī)律Fig.5 Evolution of network error ei（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）

對(duì)比圖2-4以及圖6，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)是由15個(gè)具有不同初值的Gibbs時(shí)空混沌系統(tǒng)耦合而成，其狀態(tài)變量隨時(shí)間空間的演化規(guī)律如圖2所示.在本文提出的控制器的作用下，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的相圖也隨之改變，節(jié)點(diǎn)1-節(jié)點(diǎn)4同步追蹤以?i=1/2（i=1，…，4）同步于目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)的Gibbs系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)1-節(jié)點(diǎn)4同步追蹤以?i=1（i=5，…，9）同步于目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)的Bragg時(shí)空混沌系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)10-節(jié)點(diǎn)15同步追蹤以?i=-2（i=10，…，15）同步于目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)的一維對(duì)流方程.證明了本文所述方法的有效性.考慮到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目偏多，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的同步追蹤不便于一一展示，我們定義驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的平均誤差以及總的累積誤差，具體如圖7和圖8所示.

圖6 在實(shí)施同步控制后響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)相圖Fig.6 Phase portraits of nodes yi（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）.

圖7 平均誤差e（m，n）時(shí)空演化軌跡Fig.7 Evolution of network average error e（m，n）

圖8 總誤差時(shí)空演化軌跡Fig.8 Evolution of network error E（m，n）

從圖7和圖8中可以看出，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的平均誤差和累積誤差在短暫的時(shí)間演變后，迅速趨于零，進(jìn)一步證明該同步方法可以有效地實(shí)現(xiàn)兩個(gè)具有不等集群結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的同步.

4 結(jié)論

本文主要討論了具有集群結(jié)構(gòu)的兩個(gè)復(fù)雜時(shí)空網(wǎng)絡(luò)間的投影同步問題.考慮到實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)隨時(shí)空演變的動(dòng)力學(xué)特性，以時(shí)空混沌系統(tǒng)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.并以Lyapunov穩(wěn)定性為基礎(chǔ)，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)的集群結(jié)構(gòu)特性，分區(qū)域展開同步控制，通過同步控制器以及參量的自適應(yīng)識(shí)別率實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)間的投影同步.為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性，選取Gibbs時(shí)空混沌系統(tǒng)，Bragg時(shí)空混沌系統(tǒng)，一維對(duì)流方程為不同集群中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行仿真分析，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)誤差在短暫的時(shí)間演變后迅速趨于零，結(jié)果驗(yàn)證了同步控制方案的可行性.