分數(shù)階混沌系統(tǒng)的自適應預測同步*

司輝 鄭永愛

（揚州大學信息工程學院，揚州 225127）

引言

系統(tǒng)的同步意味著系統(tǒng)的軌跡逐漸趨于一致.由于在數(shù)字通信、電力電子、生物系統(tǒng)、化學反應和信息處理等不同的工程領域有著廣泛的應用，分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題一直是眾多研究者研究的熱點.同時不同分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法相繼被提出，如滑膜方法[1，2]、脈沖方法[3，4]、active控制方法[5，6]和模糊方法[7，8]等 .

自適應方法能實時收集數(shù)據(jù)和調(diào)整控制參數(shù)，因此它常用來控制和同步分數(shù)階混沌系統(tǒng).文獻[9]設計了不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應控制律，導出了具有模型不確定性和外部擾動的分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步的幾個充分條件.文獻[10，11]分別利用自適應控制器實現(xiàn)了含有未知參數(shù)的分數(shù)階Arneodo系統(tǒng)和分數(shù)階Liu系統(tǒng)的同步.另一方面，文獻[12]利用預測反饋控制方法實現(xiàn)了離散混沌系統(tǒng)的控制.文獻[13-15]推廣了該方法并實現(xiàn)了整數(shù)階連續(xù)混沌與超混沌系統(tǒng)的預測反饋控制和同步.基于T-S模糊模型和預測反饋控制，文獻[16-18]進一步研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步.然而這些方法中增益矩陣往往需要求解線性矩陣不等式，這給該方法的應用帶來很大的限制.

針對預測反饋控制方法存在的不足，本文提出了一種新的實現(xiàn)分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應預測控制方法.基于分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論，設計自適應預測控制器和控制增益的分數(shù)階自適應律，實現(xiàn)了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步，證明了在一定條件下誤差系統(tǒng)能漸近趨于零.數(shù)值仿真表明該方法的有效性.

1 分數(shù)階微積分

2 控制器設計

3 數(shù)值仿真

選取分數(shù)階Chua混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)：

圖1 分數(shù)階Chua系統(tǒng)的吸引子Fig.1 Attractors of fractional-order Chua system

響應系統(tǒng)表示為：

控制器增益的分數(shù)階自適應律為：

響應系統(tǒng)的初值[y1(0)，y2(0)，y3(0)]=[0.4，-0.6，0.6]，控制器增益的初值[β1(0)，β2(0)，β3(0)]=[0.2，0.2，0.1]，數(shù)值仿真結(jié)果如下：圖2顯示驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線，圖3顯示同步誤差漸近趨于零.圖4顯示當t→ +∞時，增益βi(1≤i≤4)趨于一個常數(shù).

圖2 驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線Fig.2 State responses of drive system and response system

圖3 同步誤差狀態(tài)曲線Fig.3 Synchronous error state curve

圖4 控制器增益的變化曲線Fig.4 The variation curve of controller gain

4 結(jié)論

基于分數(shù)階微積分理論和分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論，設計自適應預測控制器和控制增益的分數(shù)階自適應律，實現(xiàn)了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步，證明了在一定條件下誤差系統(tǒng)能漸近趨于零.本文的方法無需反饋增益的先驗知識，且收斂速度快和在實驗中很容易實現(xiàn).分數(shù)階Chua系統(tǒng)的數(shù)值實驗進一步驗證了所提同步方法的有效性.