雙邊碰撞Duffing振子的對稱性、尖點分岔與混沌*

李冠強 謝建華

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

引言

碰撞振動是工程和實際生活中一種常見的現(xiàn)象，碰撞導(dǎo)致系統(tǒng)具有強非線性、不連續(xù)性和奇異性[1，2].文獻[3]研究了一類單自由度受簡諧激勵的對稱碰撞系統(tǒng)，通過Poincaré映射和中心流形定理解析地分析了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性和局部分岔.文獻[4]分析了受激倒擺與剛性固定壁碰撞振動系統(tǒng)的局部和全局分岔.文獻[5]研究了一類單自由度雙面碰撞振子的對稱型周期n-2運動和非對稱型周期n-2運動，通過分析對稱系統(tǒng)Poincaré映射的對稱性，證明對稱周期運動只會產(chǎn)生音叉分岔，找到了系統(tǒng)通向混沌的路徑.文獻[6]研究了在雙邊約束的兩自由度碰撞振動系統(tǒng)中，找到了由音叉分岔和周期倍化分岔通向混沌的路徑以及對稱和反對稱運動的Hopf分岔.文獻[7]研究了一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)，通過計算系統(tǒng)Poincaré映射的線性化矩陣，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻[8]將OGY混沌控制方法應(yīng)用到含雙側(cè)碰撞振動系統(tǒng)，把混沌控制到期望的目標控制軌道.由于以上問題都是分段線性的，可以求得系統(tǒng)的解析解進行分析.但是由于許多實際問題都是非線性的，難以求得其精確解，需借助近似解析方法和數(shù)值方法分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為.文獻[9]研究了具有剛性約束的n維非線性動力系統(tǒng)，通過幾何方法推導(dǎo)了局部映射的Jacobi矩陣的解析式，給出了該類系統(tǒng)Poincaré映射Jacobi矩陣的計算方法.文獻[10，11]借助非光滑的Melnikov方法研究了雙邊碰撞Duffing系統(tǒng)的動力學(xué)行為.文獻[12]用改進的胞映射方法分析了雙邊碰撞Duffing系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象.文獻[13]研究了沖擊減振器與非線性能量阱（NES）耦合系統(tǒng)，數(shù)值模擬表明了該裝置吸振效果的高效性.文獻[14]分析了Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的混沌鞍.此外，文獻[15]研究了動力系統(tǒng)的對稱性.文獻[16]將Duffing-Holmes系統(tǒng)離散為兩維Holmes映射，運用中心流形定理分析了該映射的Pitchfork分支、Flip分支和Hopf分支.

本文考慮單自由度雙邊碰撞Duffing振子的對稱系統(tǒng)和非對稱系統(tǒng)，采用打靶法和不連續(xù)映射分析系統(tǒng)的周期解及其穩(wěn)定性.數(shù)值模擬表明：隨著參數(shù)的變化，對稱系統(tǒng)通過音叉分岔產(chǎn)生兩條具有相同穩(wěn)定性的反對稱周期軌道，觀察到通過周期倍化通向混沌的路徑.當參數(shù)發(fā)生非對稱擾動時，系統(tǒng)中的音叉分岔過程產(chǎn)生了典型的對稱破缺現(xiàn)象.

1 雙邊碰撞Duffing振子的運動微分方程

考慮單自由度雙邊碰撞的Duffing振子，在相鄰兩次碰撞間，即|x|

2 對稱系統(tǒng)Poincaré映射的對稱性

3 打靶法求系統(tǒng)的周期解

在一個周期T內(nèi)，系統(tǒng)的雙碰運動軌線如圖1所示，假定振子先與右碰撞面發(fā)生碰撞.時間Poincaré映射在一個周期內(nèi)可分為五個過程：(Ⅰ)A|→B：質(zhì)量塊從t=tA=t0到右碰撞面的過程；(Ⅱ)B|→C：質(zhì)量塊與右碰撞面發(fā)生碰撞的過程；(Ⅲ)C|→D：質(zhì)量塊與右碰撞面碰撞后運動到左碰撞面的過程；(Ⅳ)D|→E：質(zhì)量塊與左碰撞面發(fā)生碰撞的過程；(Ⅴ)E|→F：質(zhì)量塊與左碰撞面碰撞后運動到t=tF=t0+T的過程.那么這五個過程對應(yīng)的映射可以表示如下：

圖1 雙碰運動的相軌線Fig.1 Phase portrait of double-impact motion

打靶法可以求得系統(tǒng)穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的周期解.在給定精度的條件下，可以得到系統(tǒng)周期解比較精確的迭代初值，利用求得的初值直接數(shù)值積分可得到系統(tǒng)的周期解.另外，打靶法可求得Jacobi矩陣DP的特征值，如果所有特征值的模都小于1，周期解是穩(wěn)定的；如果存在特征值的模大于1，周期解是不穩(wěn)定的.在復(fù)平面上，當矩陣DP的模最大的特征值λmax以+1穿越單位圓時，系統(tǒng)的周期解可能發(fā)生音叉分岔、鞍結(jié)分岔或超臨界分岔；λmax以－1穿越單位圓時，系統(tǒng)的周期解將發(fā)生周期倍化分岔；λmax以一對共軛的復(fù)特征值穿越單位圓時，系統(tǒng)的周期解將發(fā)生Hopf分岔.

4 非對稱系統(tǒng)的分岔

對于非對稱系統(tǒng)(r1≠r2)，由于破壞了系統(tǒng)的對稱性條件，則對稱系統(tǒng)周期運動的音叉分岔將會演變?yōu)榧恻c分岔.對于對稱系統(tǒng)r1=r2=r，取r和γ為控制參數(shù)，假定音叉分岔的臨界值(r,γ)=(rc,γc)，控制參數(shù)γ，使得η=γ-γc≠0，系統(tǒng)的周期解將會發(fā)生音叉分岔，此時對應(yīng)的Jacobi矩陣的一個特征值以+1穿越單位圓，另一個特征值仍在單位圓內(nèi).對非對稱系統(tǒng)，設(shè)r1=rc，r2=rc+μ.周期解的分岔可以用尖點分岔的兩參數(shù)開折表示，如圖2所示.

圖2 μ-η平面上的尖點分岔Fig.2 Cusp bifurcation on the plane（μ，η）

5 數(shù)值模擬

5.1 對稱系統(tǒng)的分岔與混沌

令γ為控制參數(shù)，并取系統(tǒng)參數(shù)如下：a=-1，b=1，ω=1，β=0.2，r1=r2=0.8.當γ=0.64時，系統(tǒng)對應(yīng)的Jacobi矩陣的兩個特征值分別為λ1=0.851351，λ2=0.136931，因此對應(yīng)的對稱周期軌道是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的相軌線如圖3（a）所示.當γ=γc=0.650526，此時Poincaré映射不動點的Jacobi矩陣的特征值λ1=0.999992，λ2=0.116577，此時的γc為音叉分岔的臨界值.γ=0.73>γc時，通過音叉分岔形成兩條反對稱的周期軌道，這兩條軌道具有相同的穩(wěn)定性，對應(yīng)Poincaré映射不動點的Jacobi矩陣的特征值λ1=-0.174665，λ2=-0.667428；同時對稱的周期軌道失穩(wěn)，對應(yīng)Poincaré映射不動點的Jacobi矩陣的特征值λ1=2.09827>1，λ2=0.0555581，系統(tǒng)的相軌線如圖3（b）.當γ繼續(xù)增加到γ=γd=0.741262，對應(yīng)Poincaré映射不動點的Jacobi矩陣的特征值λ1=－0.999996，λ2=－0.116577，此時的γd為周期倍化分岔的臨界值.當γ=0.75時，系統(tǒng)的相軌線如圖3（c），兩條反對稱的周期軌道同時發(fā)生周期倍化.

圖3 相軌線（一對反對稱穩(wěn)定的周期軌道（實線），不穩(wěn)定的對稱周期軌道（虛線））Fig.3Phase portrait（A pair of antisymmeric stable period orbits denoted by solid lines，unstable symmetric period orbit denoted by dashed line）

當γ繼續(xù)增加時，系統(tǒng)通過周期倍化分岔通向混沌.當γ增加到γ=0.765時，Poincaré截面上各自生成兩個離散的反對稱的混沌吸引子，如圖4（a）.當γ=0.77時，兩個離散的反對稱的混沌吸引子各自融合成了一體，形成兩個反對稱的混沌吸引子，如圖4（b）所示.當γ=0.78時，兩個反對稱的混沌吸引子演化為同一個對稱的混沌吸引子，如圖4（c）.

圖4 奇異吸引子的演變Fig.4 Evolution of chaotic attractors

圖5給出了系統(tǒng)的全局分岔圖，其中，圖5（a）對應(yīng)的初值為（0.05，0.5），圖5（b）對應(yīng)的初值為（0.4，1），圖5（c）為（a）和（b）兩種情況的組合.

圖5 全局分岔圖（PK：音叉分岔；PD：第一次周期倍化分岔）Fig.5 The global bifurcation diagram（PK：pitchfork bifurcation；PD：the first period doubling bifurcation）

5.2 從對稱系統(tǒng)到非對稱系統(tǒng)的演變

如果改變恢復(fù)系數(shù)r2，使得r1≠r2，則對稱系統(tǒng)變?yōu)榉菍ΨQ系統(tǒng).與對稱系統(tǒng)相比，由于不再滿足對稱性條件，在音叉分岔臨界點附近的動力學(xué)行為發(fā)生了本質(zhì)變化，系統(tǒng)對應(yīng)的分岔圖如圖6所示，圖6（a）反映了對稱系統(tǒng)在音叉分岔附近的分岔圖，然而，當r2=0.805≠r1時，音叉分岔過程演變?yōu)橐恢]有分岔的分支和一支鞍結(jié)分岔的分支，對應(yīng)的分岔圖如圖6（b）.圖6（c）為對稱系統(tǒng)和非對稱系統(tǒng)兩種情況的組合.

圖6 從對稱系統(tǒng)到非對稱系統(tǒng)的演變Fig.6 Evolution from symmetric system to asymmetric system（SN：鞍結(jié)分岔，S：穩(wěn)定的周期運動；US：不穩(wěn)定的周期運動）（SN：saddle-node bifurcation，S：stable periodic motion；US：unstable periodic motion）

6 結(jié)論

對于單自由度雙邊碰撞Duffing振子系統(tǒng)，分析了對稱系統(tǒng)Poincaré映射的對稱性，借助打靶法和不連續(xù)映射求得系統(tǒng)的周期解并分析其穩(wěn)定性.對于對稱系統(tǒng)，隨著參數(shù)的持續(xù)變化，通向混沌的路徑可以概括為：一個對稱不動點→一對反對稱不動點→一對反對稱的混沌吸引子→一個對稱的混沌吸引子.若r1≠r2，對稱系統(tǒng)將演變?yōu)榉菍ΨQ系統(tǒng)，音叉分岔過程發(fā)生了典型的對稱破缺現(xiàn)象，演變?yōu)閮蓚€相互獨立的分支：其中一支沒有發(fā)生分岔；另一支為鞍結(jié)分岔.