深度建構(gòu)分?jǐn)?shù)認(rèn)知，循著邏輯學(xué)會(huì)思維
——以三上《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課的教學(xué)為例

李曉飛

數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能深入到思維層面，由具體方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升，由教師指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。只有從數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)切入，以宏觀的知識(shí)體系觀照每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的價(jià)值，依循知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)和延伸點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作（手腦）探究、總結(jié)反思等再認(rèn)識(shí)思維活動(dòng)，尋求、體會(huì)并主動(dòng)締結(jié)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，建立起個(gè)性鮮明的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)，才能幫助學(xué)生完整地經(jīng)歷由淺入深、由一般到具體的思維過(guò)程，真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

從整體結(jié)構(gòu)來(lái)看，蘇教版三上《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課是對(duì)數(shù)概念的擴(kuò)展，是典型的“種子課”。教師教學(xué)時(shí)需要讓學(xué)生結(jié)合具體情境理解幾分之一，感知分?jǐn)?shù)能表示部分和整體之間的關(guān)系，也能表示具體數(shù)量，體會(huì)平均分在分?jǐn)?shù)中的特定價(jià)值，能比較幾分之一的大小，為后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好孕伏。教學(xué)應(yīng)從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，依循知識(shí)結(jié)構(gòu)組織教學(xué)內(nèi)容，促使學(xué)生主動(dòng)加工數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)再創(chuàng)造生成深層認(rèn)知，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。

一、生活→數(shù)學(xué)：超越技能進(jìn)入思維層面

由學(xué)生熟悉的情境引入教學(xué)，基于學(xué)生在生活中對(duì)“量”的感知抽象出數(shù)的概念，這符合知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知順序。教材從“半個(gè)”切入分?jǐn)?shù)教學(xué)?！鞍雮€(gè)”是二分之一個(gè)，表示具體數(shù)量；二分之一表示把一個(gè)整體平均分成兩份，其中的一份與這個(gè)整體之間的關(guān)系。

（一）通過(guò)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換生活現(xiàn)象，激活數(shù)學(xué)思維

半個(gè)是一個(gè)的一半——量與率的轉(zhuǎn)換。語(yǔ)言是思維的物質(zhì)外殼。通過(guò)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，促使學(xué)生從感性體驗(yàn)走向深層認(rèn)知。依據(jù)情境圖提供的信息，學(xué)生主動(dòng)將每種食品均分給兩位小朋友（每人2瓶礦泉水、1個(gè)蘋果、半個(gè)蛋糕）。針對(duì)均分結(jié)果，教師提出問(wèn)題：每人分得的礦泉水、蘋果都能用具體的數(shù)量表示，半個(gè)蛋糕是什么意思？通過(guò)課件演示將一個(gè)蛋糕分成大小不等的兩半，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，明確半個(gè)是平均分得到的。然后演示均分過(guò)程，讓學(xué)生指出“半個(gè)”在哪里、有幾個(gè)“半個(gè)”。這一環(huán)節(jié)表面上是判斷“半個(gè)”量的大小，實(shí)質(zhì)上是滲透“半個(gè)”與“一個(gè)”之間的關(guān)系。接著引導(dǎo)學(xué)生看圖思考：半個(gè)蛋糕就是這一個(gè)蛋糕的……有了前期鋪墊，學(xué)生很快就得出“半個(gè)就是一個(gè)的一半”?？此剖巧罱?jīng)驗(yàn)之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)際上是“二分之一個(gè)是一個(gè)的二分之一”從量到率的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（二）再創(chuàng)造兼容數(shù)學(xué)史，催生理性思維

尋求“二分之一”的本質(zhì)特征時(shí)，教師借助蛋糕圖，讓學(xué)生體會(huì)“一個(gè)的一半”比“0”大且比“1”小，無(wú)法用整數(shù)表示，可以通過(guò)畫(huà)圖表征進(jìn)行再創(chuàng)造，如將實(shí)物圖或平面幾何圖形（線段圖、長(zhǎng)方形、正方形、圓形等）均分成兩份后涂出一份來(lái)表示。接著引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)，“平均分、分2份、取1份”是這些表征的共性，亦即二分之一的內(nèi)涵。超越表征技能，揭示“具有這些特征的一半用二分之一表示”成為必然，再融入數(shù)學(xué)史介紹二分之一的由來(lái)，以此固化學(xué)生新生長(zhǎng)出的數(shù)學(xué)思維。

二、經(jīng)驗(yàn)→思維：超越具體提升思維品質(zhì)

通過(guò)回顧反思、溝通聯(lián)系、歸納總結(jié)、優(yōu)化認(rèn)知等思維分析活動(dòng)，加工、改造數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生更容易理解和掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，體會(huì)普遍的思維模式或方法策略。

（一）改造經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建知識(shí)思維雙結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單累積，需要教師設(shè)置適切的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)、主動(dòng)地對(duì)自己獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工改造，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)與思維的雙建構(gòu)。

1.核心問(wèn)題引領(lǐng)，回顧反思促理解。

分子“1”表示均分多份中的任意一份。任何類型的思維守則都在于掌握和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一系列合適的提問(wèn)，啟發(fā)和引領(lǐng)學(xué)生的思維。受直覺(jué)思維的影響，學(xué)生常會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為“分子1”表示“1個(gè)蛋糕”。因此，借助多種表征的共性介紹“這樣的一半用二分之一表示”后，教師及時(shí)組織學(xué)生觀察思考：現(xiàn)在知道“這樣的一半”為什么用二分之一表示了嗎？依據(jù)直觀表征，學(xué)生明晰了“二分”就是平均分成兩份，“之一”就是兩份中的任意一份。問(wèn)題引領(lǐng)彰顯個(gè)體思維，促使學(xué)生將感性經(jīng)驗(yàn)提煉成理性認(rèn)識(shí)，深度構(gòu)建出了分子的意義（表示選取的份數(shù)）。

對(duì)二分之一的理解從具體向一般性過(guò)渡。核心問(wèn)題能驅(qū)動(dòng)學(xué)生遵循知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)加工數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使得新知與已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)建立同化或順應(yīng)關(guān)系，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。針對(duì)“蛋糕的一半就是蛋糕的二分之一”，教師要求學(xué)生思考：蛋糕的二分之一是什么意思？在回顧反思中歸納總結(jié)：把一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份都是它的二分之一。引發(fā)學(xué)生再思考：這句話中的關(guān)鍵詞是什么？“每份”“它的”指的是什么？問(wèn)題鏈推動(dòng)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生感受“平均分”在分?jǐn)?shù)中的重要性，體會(huì)分子“1”與單位“1”（1個(gè)蛋糕）之間的聯(lián)系與區(qū)別。教師繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考：還能找到其他的二分之一嗎？能說(shuō)說(shuō)什么是二分之一嗎？推動(dòng)學(xué)生對(duì)二分之一的理解從具體形象思維向一般性思維過(guò)渡，為其認(rèn)識(shí)幾分之一做好經(jīng)驗(yàn)遷移準(zhǔn)備。

2.結(jié)構(gòu)化聯(lián)系，儲(chǔ)備后續(xù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

統(tǒng)一量與率的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好孕伏。教師要注意從整體上分析思考相關(guān)聯(lián)的各個(gè)教學(xué)內(nèi)容，把握它們各自的邏輯關(guān)系及其相互間的內(nèi)在聯(lián)系，精致化處理每個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)，相機(jī)為學(xué)生播下思維的“種子”?！胺?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”涵蓋了量與率的關(guān)系，既為高段學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”積累感性經(jīng)驗(yàn)，也對(duì)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”的教學(xué)影響深遠(yuǎn)。當(dāng)學(xué)生理解了二分之一，能厘清分子“1”和單位“1”（1個(gè)物體/圖形）的區(qū)別后，教師可以借助具體情境組織學(xué)生思考：用二分之一表示（這樣的）“一半”，那“半個(gè)”該怎樣表示？通過(guò)交流明確：“半個(gè)”就是二分之一個(gè)；二分之一個(gè)是一個(gè)的二分之一。量與率的統(tǒng)一，為學(xué)生建構(gòu)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)，使得具體思維方法更具有普適性。

（二）超越技能方法，生長(zhǎng)高階思維

要將具體認(rèn)知上升到一般性的數(shù)學(xué)思維，教師應(yīng)注意引發(fā)學(xué)生更為深刻的思考，促進(jìn)他們超越表象認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升思維品質(zhì)。

1.操作體驗(yàn)，歸納總結(jié)見(jiàn)真知。

在數(shù)學(xué)操作中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生加深體驗(yàn)，在體驗(yàn)中歸納思考，尋求正確的邏輯結(jié)構(gòu)，力求建構(gòu)準(zhǔn)確的認(rèn)知，促進(jìn)思維發(fā)展。學(xué)生通常會(huì)用對(duì)邊折或?qū)钦鄣姆椒ㄕ业秸叫渭埖亩种?。教師可以引?dǎo)學(xué)生比較兩種不同的折法，并思考：每份形狀不同，為何都用二分之一表示？進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“折法不同，每份形狀不同，卻都表示均分的兩份中的一份”，充分凸顯平均分在分?jǐn)?shù)中的價(jià)值。

2.透視表象，優(yōu)化認(rèn)知促生成。

在動(dòng)手操作及直觀體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)初步形成的技能、方法進(jìn)行對(duì)比優(yōu)化，突破淺層認(rèn)知，觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的思維向高階發(fā)展。出現(xiàn)兩種折法后，教師可以啟發(fā)學(xué)生探究其他折法，在他們發(fā)現(xiàn)用不同的折法也可以得到兩個(gè)同樣大的梯形后，引導(dǎo)他們說(shuō)明其中是否也有二分之一。接著，教師用課件演示幾種不規(guī)則的平均分，鼓勵(lì)學(xué)生找出并解釋二分之一的意義。有了采用非對(duì)折方法尋找二分之一的體驗(yàn)，學(xué)生才能突破表象的桎梏，領(lǐng)悟“平均分”的深層含義：任一形狀，只要平均分成兩份，每一份都能用二分之一表示。

三、指導(dǎo)→自主：超越引領(lǐng)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)教育不僅要培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，還要促進(jìn)學(xué)生逐步從教師指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂X(jué)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，并能通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)思維。因此，教師要注意處理好教學(xué)中“引”與“放”的關(guān)系。

（一）引發(fā)生活經(jīng)驗(yàn)先行猜測(cè)

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：平均分的份數(shù)越多，每一份就越小。教師教學(xué)時(shí)應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)先行“動(dòng)腦”判斷，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)后再動(dòng)手操作驗(yàn)證。比較幾分之一的大小，可以先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“在這個(gè)蛋糕上還可以找到幾分之一，分別表示什么意義”，并根據(jù)學(xué)生的回答引發(fā)其思考：分?jǐn)?shù)是個(gè)數(shù)，就會(huì)有大小之分。那么，蛋糕的幾分之一最大？學(xué)生根據(jù)分蛋糕的經(jīng)驗(yàn)得出“平均分的份數(shù)越多，每一份就越小”“二分之一最大”。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)完成對(duì)幾分之一大小的預(yù)判。

（二）放手讓學(xué)生自主思考研究

“同樣大的圓片”是比較分?jǐn)?shù)大小的前提。以生活體驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思維，建立完備的知識(shí)思維雙結(jié)構(gòu)，需啟發(fā)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”。教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先在各自同樣大的圓片上創(chuàng)造不同的幾分之一，驗(yàn)證“平均分的份數(shù)越多，每一份就越小”，并用數(shù)學(xué)事實(shí)證明幾分之一中二分之一最大，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。然后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流組內(nèi)各不相同的圓片，發(fā)現(xiàn)：大小不等的圓片上有相同的分?jǐn)?shù)，同一個(gè)分?jǐn)?shù)在不同的圓片上大小不等。隨后，啟發(fā)學(xué)生深度思考：分?jǐn)?shù)的大小比較是否需要條件？進(jìn)而得出“同樣大小的物體或圖形”是“平均分的份數(shù)越多，每一份就越小”的前提，也是本節(jié)課比較幾分之一大小的默認(rèn)前提。

綜上可知，幫助學(xué)生遵循知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)建立優(yōu)質(zhì)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，需要從整體上深度研讀教材，依據(jù)學(xué)生實(shí)際重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置核心問(wèn)題啟發(fā)引領(lǐng)，用聯(lián)系的觀點(diǎn)締結(jié)相關(guān)知識(shí)的內(nèi)部邏輯，才能讓學(xué)生超越具體的知識(shí)技能深入到思維層面，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，生成一般性的思維策略，真正成為學(xué)習(xí)的主人。