熊昌森 鄧慧明
摘要:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出,數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)和發(fā)展素質(zhì)教育的功能,在形成人的理性思維、科學(xué)精神,以及促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用。本文以指數(shù)函數(shù)中經(jīng)常涉及的指數(shù)大小比較問題(其中,a、b、c、d∈R,且a>0,b>0,a、b≠1)為例,探討了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透的途徑。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? ?指數(shù)式大小比較? ?數(shù)學(xué)思想方法
指數(shù)式大小比較問題是歷年高考的常考內(nèi)容,其靈活性強(qiáng),是考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重要題型。同時,在比大小的過程中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,也是高中生必須具備的數(shù)學(xué)思想方法。
一、同底數(shù)ac與ad或者同指數(shù)ac與bc的大小比較問題
方法一(函數(shù)單調(diào)性):考慮指數(shù)函數(shù)y=ax或者冪函數(shù)y=xc,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性容易得到兩者的大小關(guān)系。
方法三(圖像法):在直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y=ax或者冪函數(shù)y=xc的圖像,得到兩數(shù)ac與ad或者ac與bc的圖形表示,由圖可以直接看出兩數(shù)的大小關(guān)系,形象直觀、一目了然。同指數(shù)ac與bc的大小比較,也可以在同一直角坐標(biāo)系中考慮指數(shù)函數(shù)y=ax與y=bx的圖像,得到數(shù)ac與bc的表示,進(jìn)一步看出ac與bc的大小關(guān)系。
對同底數(shù)或者同指數(shù)的兩指數(shù)式大小比較,學(xué)生容易掌握和理解,結(jié)果也很容易得到,但是其中蘊(yùn)含的比大小的方法很多,運(yùn)用的知識也不盡相同。方法一通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)(或冪函數(shù))進(jìn)行求解,重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維;方法二通過作商與1比大小,側(cè)重學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;方法三強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的直觀性,將抽象的數(shù)或代數(shù)式表現(xiàn)在圖中,形象直觀的看出結(jié)果,能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。
二、指數(shù)式ab與ba的大小比較
分析:①當(dāng)1 > a > b > 0時,借助中間值aa或bb可比大小,有ab> aa> ba或ab> bb> ba;②當(dāng)a > 1 > b > 0時,借助中間值1可比大小,有ab>1>ba;③當(dāng)a > b > 1時,中間值失去作用,此時該如何比大小呢?
這種情況比較起來就不像前面那樣容易了,學(xué)生首先想到的是尋找中間值的方法,在經(jīng)過嘗試后,發(fā)現(xiàn)當(dāng)a、b滿足1 > a > b > 0和a > 1 > b > 0時,利用中間值容易得到結(jié)果,而當(dāng)a、b均大于1時,中間值失去作用.所以需要具體分析數(shù)a、b的取值范圍。那么要想解決這個問題,我們可以先考慮簡單的、容易比大小的情況,再來通過分類討論、逐層遞進(jìn)的方式逐步解決問題。在整個解決問題的過程中,學(xué)生能夠很好地鍛煉思維,提升思維品質(zhì),培育科學(xué)精神,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
三、aa與bb的大小比較
分析:可考慮函數(shù)y = xx(x > 0)的單調(diào)性,因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為yˊ=xx(lnx+1),所以當(dāng)e-1> x > 0時,yˊ < 0,函數(shù)y = xx遞減;當(dāng)x> e-1時,yˊ> 0,函數(shù)y = xx遞增。所以當(dāng)e-1 > a > b > 0,有aa < bb;當(dāng)a > b > e-1時,有aa> bb;當(dāng)a > e-1> b時,aa與bb的大小不確定。
綜上所述,在最近發(fā)展區(qū)理論的指導(dǎo)下,筆者從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā),恰當(dāng)設(shè)置問題,逐層深入,有效激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,體會到知識間的廣泛聯(lián)系,體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。另外,在各種情況的分析比較過程中,能夠有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生的邏輯思維,促進(jìn)學(xué)生智力的發(fā)展。
(作者單位:陜西省漢中中學(xué))