在指數(shù)式大小比較的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

熊昌森　鄧慧明

摘要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出，數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)和發(fā)展素質(zhì)教育的功能，在形成人的理性思維、科學(xué)精神，以及促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用。本文以指數(shù)函數(shù)中經(jīng)常涉及的指數(shù)大小比較問題（其中，a、b、c、d∈R，且a>0，b>0，a、b≠1）為例，探討了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透的途徑。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? ?指數(shù)式大小比較? ?數(shù)學(xué)思想方法

指數(shù)式大小比較問題是歷年高考的常考內(nèi)容，其靈活性強(qiáng)，是考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重要題型。同時(shí)，在比大小的過程中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，也是高中生必須具備的數(shù)學(xué)思想方法。

一、同底數(shù)a^c與a^d或者同指數(shù)a^c與b^c的大小比較問題

方法一（函數(shù)單調(diào)性）：考慮指數(shù)函數(shù)y=a^x或者冪函數(shù)y=x^c，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性容易得到兩者的大小關(guān)系。

方法三（圖像法）：在直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y=a^x或者冪函數(shù)y=x^c的圖像，得到兩數(shù)a^c與a^d或者a^c與b^c的圖形表示，由圖可以直接看出兩數(shù)的大小關(guān)系，形象直觀、一目了然。同指數(shù)a^c與b^c的大小比較，也可以在同一直角坐標(biāo)系中考慮指數(shù)函數(shù)y=a^x與y=b^x的圖像，得到數(shù)a^c與b^c的表示，進(jìn)一步看出a^c與b^c的大小關(guān)系。

對(duì)同底數(shù)或者同指數(shù)的兩指數(shù)式大小比較，學(xué)生容易掌握和理解，結(jié)果也很容易得到，但是其中蘊(yùn)含的比大小的方法很多，運(yùn)用的知識(shí)也不盡相同。方法一通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)（或冪函數(shù)）進(jìn)行求解，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維;方法二通過作商與1比大小，側(cè)重學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;方法三強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的直觀性，將抽象的數(shù)或代數(shù)式表現(xiàn)在圖中，形象直觀的看出結(jié)果，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

二、指數(shù)式a^b與b^a的大小比較

分析：①當(dāng)1 > a > b > 0時(shí)，借助中間值a^a或b^b可比大小，有a^b> a^a> b^a或a^b> b^b> b^a;②當(dāng)a > 1 > b > 0時(shí)，借助中間值1可比大小，有a^b>1>b^a;③當(dāng)a > b > 1時(shí)，中間值失去作用，此時(shí)該如何比大小呢？

這種情況比較起來就不像前面那樣容易了，學(xué)生首先想到的是尋找中間值的方法，在經(jīng)過嘗試后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a、b滿足1 > a > b > 0和a > 1 > b > 0時(shí)，利用中間值容易得到結(jié)果，而當(dāng)a、b均大于1時(shí)，中間值失去作用.所以需要具體分析數(shù)a、b的取值范圍。那么要想解決這個(gè)問題，我們可以先考慮簡(jiǎn)單的、容易比大小的情況，再來通過分類討論、逐層遞進(jìn)的方式逐步解決問題。在整個(gè)解決問題的過程中，學(xué)生能夠很好地鍛煉思維，提升思維品質(zhì)，培育科學(xué)精神，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、a^a與b^b的大小比較

分析：可考慮函數(shù)y = x^x（x > 0）的單調(diào)性，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為yˊ=x^x（lnx+1），所以當(dāng)e^-1> x > 0時(shí)，yˊ < 0，函數(shù)y = x^x遞減;當(dāng)x> e_^-1時(shí)，yˊ> 0，函數(shù)y = x^x遞增。所以當(dāng)e^-1 > a > b > 0，有a^a < b^b;當(dāng)a > b > e^-1時(shí)，有a^a> b^b;當(dāng)a > e^-1> b時(shí)，a^a與b^b的大小不確定。

綜上所述，在最近發(fā)展區(qū)理論的指導(dǎo)下，筆者從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，恰當(dāng)設(shè)置問題，逐層深入，有效激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，體會(huì)到知識(shí)間的廣泛聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。另外，在各種情況的分析比較過程中，能夠有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，促進(jìn)學(xué)生智力的發(fā)展。

（作者單位：陜西省漢中中學(xué)）