冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體傳熱模型

費(fèi) 騰 尹 龍 信春玲 何亞東,2*

(北京化工大學(xué) 1.機(jī)電工程學(xué)院； 2.教育部高分子材料加工裝備工程研究中心， 北京 100029)

引 言

冷卻單螺桿通常用在串聯(lián)擠出發(fā)泡生產(chǎn)線中，主要用于冷卻聚合物熔體，以優(yōu)化熔體的強(qiáng)度和應(yīng)變硬化性能，從而得到高質(zhì)量的發(fā)泡產(chǎn)品。隨著串聯(lián)擠出生產(chǎn)線生產(chǎn)優(yōu)質(zhì)發(fā)泡材料的趨勢不斷擴(kuò)大，人們對于冷卻效果更好的冷卻螺桿的需求也與日俱增。因此，如何提高螺桿的冷卻效果已經(jīng)成為聚合物發(fā)泡過程中十分重要的環(huán)節(jié)。

冷卻單螺桿擠出機(jī)的螺桿幾何形狀對于生產(chǎn)線的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行和泡沫產(chǎn)品的質(zhì)量至關(guān)重要，可以通過改變螺桿幾何形狀和熔體流動形式來提高螺桿的冷卻效果。傳統(tǒng)冷卻單螺桿通常采用多頭開槽螺桿，相對于傳統(tǒng)螺桿，人們開發(fā)了不同類型的高性能冷卻螺桿。例如，Rauwendaal[1]發(fā)明了一種高性能熱傳遞(HHT)螺桿，該螺桿通過多頭螺棱的相互交錯(cuò)改變?nèi)垠w的流動形式，從而提高二階擠出機(jī)的冷卻能力。Fogarty[2]開發(fā)的Turbo螺桿在大導(dǎo)程多頭螺桿的螺棱上開設(shè)矩形窗口，使各螺槽連通并形成循環(huán)通道，提高了螺桿的冷卻能力。Barr[3]開發(fā)了能量傳遞提升的螺桿，該螺桿通過不同高度的螺棱來改變?nèi)垠w流動形式，降低了熔體的溫度梯度，使得熔體的溫度分布更加均勻。但是，冷卻單螺桿一直是由擠出機(jī)制造商根據(jù)與泡沫制造商簽訂的保密協(xié)議而開發(fā)的，關(guān)于冷卻單螺桿的設(shè)計(jì)信息很少。

數(shù)值計(jì)算方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在模擬聚合物加工的各種設(shè)備中，對于冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的傳熱研究也多集中在數(shù)值模擬方面。例如，Han[4]通過數(shù)值模擬方法分析了廣泛用于熱塑性泡沫擠出的冷卻單螺桿擠出機(jī)的性能，結(jié)果表明，黏性剪切生熱是導(dǎo)致熔體溫度升高的主要原因之一。Wang等[5]通過伽遼金數(shù)值模擬的方法研究了多頭螺紋螺桿構(gòu)型對聚合物熔體均質(zhì)化和冷卻效果的影響，發(fā)現(xiàn)熔體在多頭螺桿中的剪切應(yīng)力較高，同時(shí)較長的停留時(shí)間促進(jìn)了混合和冷卻。范濤等[6]運(yùn)用polyflow軟件研究了螺棱斷面形狀對單螺桿擠出機(jī)熔融輸送段熔體溫度分布的影響，結(jié)果顯示梯形斷面的螺桿相對于矩形、鋸齒形斷面的螺桿更有利于熱量傳遞。陳佳興等[7]運(yùn)用polyflow軟件研究了橡膠在單螺桿擠出機(jī)內(nèi)的三維非等溫流動問題，結(jié)果表明，由于膠料自身的剪切變稀特性和溫度依賴性，壓力與溫度上升的趨勢會隨著轉(zhuǎn)速的升高而減緩。以上這些數(shù)值模擬方法需要建立模型、劃分網(wǎng)格和迭代求解，整個(gè)過程較為復(fù)雜。本文基于聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)傳熱提出一種簡便的數(shù)學(xué)模型，通過引入平均溫度來表征螺槽深度方向的溫度變化，利用平均剪切速率簡化黏性生熱的計(jì)算，將冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的三維流動與傳熱問題轉(zhuǎn)化成二維平面問題，建立了冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體傳熱模型；基于該模型分析了螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)及工藝參數(shù)對聚合物熔體傳熱過程的影響；通過計(jì)算流體動力學(xué)(CFD)數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了傳熱模型的準(zhǔn)確性。

1 聚合物熔體傳熱模型

1.1 幾何模型

如圖1所示，將螺槽和機(jī)筒展開在兩個(gè)平面上，沿螺槽方向?yàn)閦方向，垂直于螺槽方向?yàn)閥方向，建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系。螺槽深度為H，螺槽寬度為W，螺紋升角為φ，沿螺槽方向的速度分量為Vbz，垂直于螺槽的速度分量為Vbx。

圖1 螺槽和機(jī)筒展開后的幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 The geometry of the screw channel and barrel after unfolding

1.2 數(shù)學(xué)模型

基于聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)的流動，做出以下基本假設(shè)：

1)熔體為不可壓縮流體，流動定常；

2)熔體不受重力作用，不考慮熔體的體積力與慣性力的作用；

3)不考慮間隙漏流，忽略螺棱與機(jī)筒內(nèi)表面的間隙的影響；

4)壓力只是x、z方向的函數(shù)；

5)熔體在壁面不會產(chǎn)生滑移；

6)在x和z方向上的熱傳導(dǎo)可忽略不計(jì)，取y方向上的平均溫度表征該方向的溫度變化；

7)螺槽的曲率忽略不計(jì)。

基于以上基本假設(shè)，聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)滿足如下能量方程。

(1)

式中，D為螺桿直徑，m；N為螺桿轉(zhuǎn)速，r/min。

以冪律流體作為聚合物熔體的本構(gòu)方程，則冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體黏性生熱的計(jì)算公式如下所示。

式中，K為聚合物熔體的稠度，Pa·sn；n為非牛頓指數(shù)。

結(jié)合能量方程(1)給出各位置的邊界條件如下。

在螺槽底部y=0位置的運(yùn)動邊界條件為

在機(jī)筒表面y=H位置的運(yùn)動邊界條件為

在螺槽底部y=0和在機(jī)筒表面y=H位置的熱邊界條件為

(2)

式中，αs為螺桿表面的對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；αb為機(jī)筒表面的對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；Ts為螺桿表面溫度，℃；Tb為機(jī)筒表面溫度，℃。

入口邊界條件為

T|z=0=T0

(3)

式中，T0為聚合物熔體的入口溫度，℃。

對能量方程(1)沿螺槽深度方向進(jìn)行積分，得到冷卻單螺桿內(nèi)熔體溫度變化。

(4)

基于假設(shè)vz只是x、y的函數(shù)，與z無關(guān)，式(4)左側(cè)可以表示為

(5)

于是有

(6)

將式(6)代入式(5)，得到

由潤滑近似和冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體質(zhì)量守恒[8]可以得到

式中，Gm為聚合物熔體的產(chǎn)量，kg/h；W為螺槽寬度，mm。

于是有

(7)

當(dāng)引用平均溫度表示熔體在螺槽中的溫度變化時(shí)，結(jié)合熱邊界條件式(2)，方程(4)右側(cè)第一項(xiàng)可表示為

(8)

方程(4)右側(cè)第二項(xiàng)可以表示為

(9)

將式(7)、(8)、(9)代入式(4)，可得

(10)

對能量方程(10)進(jìn)行截面積分，得到周向截面平均，即

(11)

通常大直徑螺桿能夠進(jìn)行螺桿內(nèi)部冷卻，小直徑一般無法設(shè)置螺桿冷卻，即αs=0，螺桿為絕熱邊界，則方程(11)簡化成如下形式。

(12)

Keum[9]給出了冪律流體在機(jī)筒表面的對流換熱系數(shù)和修正系數(shù)C(n)。

冪律流體在機(jī)筒表面的對流換熱系數(shù)計(jì)算如下所示。

(13)

式中，L為螺桿長度，m；P為聚合物熔體受到的壓力，Pa。

其中，修正系數(shù)C(n)為

將式(13)和入口邊界條件(3)代入方程(12)中，并對方程(12)進(jìn)行求解，可得到冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體沿著螺槽通道的平均溫度分布，即聚合物熔體的傳熱理論分析模型為

2 傳熱理論模型參數(shù)分析

聚合物熔體在冷卻單螺桿中傳熱過程相當(dāng)復(fù)雜，熔體溫度變化也受到多種因素影響。影響熔體傳熱的因素主要可以歸納為被加工材料的物性參數(shù)、加工過程中的操作工藝參數(shù)和螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)三大類[10]，本文基于聚合物熔體傳熱理論分析模型，選取螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與操作工藝參數(shù)作為研究對象，探究它們對聚合物熔體冷卻過程的影響。

選取直徑45 mm的螺桿，螺棱寬度按照0.8%D的原則選取，螺棱法向?qū)挾葹?.5 mm，選擇四頭螺紋，采用聚苯乙烯熔體作為物料，機(jī)筒溫度設(shè)置為100 ℃，熔體入口溫度為200 ℃。研究螺槽深度、螺紋升角、螺桿轉(zhuǎn)速和產(chǎn)量這4個(gè)參數(shù)對熔體降溫過程的影響，具體參數(shù)值見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)、工藝參數(shù)和物性參數(shù)Table 1 Structural parameters,processing parameters and physical parameters

2.1 螺槽深度對熔體平均溫度的影響

圖2為螺槽深度為3、5、7、9 mm的螺桿內(nèi)聚合物熔體的平均溫度沿?cái)D出方向的降溫曲線，圖3為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨螺槽深度的變化。

圖2 不同螺槽深度下熔體沿?cái)D出方向的降溫曲線Fig.2 Variation in average temperature of the melt with channel depth

圖3 出口平均溫度隨螺槽深度的變化Fig.3 Variation in average outlet temperature with channel depth

(14)

式中，V為螺槽容積，m3；Q為聚合物熔體的體積流量，m3/s。

螺槽深度方向的傳熱效率降低抑制了熔體冷卻，而黏性生熱量減少和停留時(shí)間增長促進(jìn)了熔體冷卻，隨著螺槽深度增加，黏性生熱和停留時(shí)間對熔體冷卻的促進(jìn)作用大于沿螺槽深度方向傳熱效率降低的抑制作用，因此，隨著螺槽深度增加，出口平均溫度出現(xiàn)先升高后降低的趨勢?？紤]到螺槽深度還會影響冷卻單螺桿的輸送能力，即螺槽深度越深，聚合物熔體的產(chǎn)量越大，在冷卻單螺桿的設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)盡可能選擇螺槽深度較深的螺桿來增強(qiáng)冷卻單螺桿對熔體的冷卻能力。

2.2 螺紋升角對熔體平均溫度的影響

圖4為螺紋升角為30°、40°、50°、60°的螺桿內(nèi)聚合物熔體的平均溫度沿?cái)D出方向的降溫曲線，圖5為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨螺紋升角的變化。

圖4 不同螺紋升角下熔體沿?cái)D出方向的降溫曲線Fig.4 Variation in average temperature of the melt with the helix angle

圖5 出口平均溫度隨螺紋升角的變化Fig.5 Variation in average outlet temperature with the helix angle

從圖4可以看出，熔體平均溫度沿著擠出方向逐漸降低。隨著螺桿長度增加，熔體的降溫速率逐漸減小，溫度變化趨于平穩(wěn)；隨著螺紋升角增加，螺紋升角對熔體降溫曲線的影響越來越不明顯。從圖5可以看出，隨著螺紋升角增大，熔體的出口平均溫度先降低后略微升高，且隨著螺紋升角增大，螺紋升角對于熔體出口平均溫度的影響越來越小。螺紋升角在30°～50°之間，出口平均溫度下降曲線的斜率較大，說明此時(shí)螺紋升角對熔體降溫的影響作用較大。當(dāng)螺紋升角為56°時(shí)，出口平均溫度最低，為122.79 ℃。當(dāng)螺紋升角大于56°時(shí)，出口平均溫度開始緩慢上升，螺紋升角為60°時(shí)，出口平均溫度升至122.84 ℃。螺紋升角從56°增大到60°，出口平均溫度僅上升了0.05 ℃，表明當(dāng)螺紋升角大于56°時(shí)其對出口平均溫度的影響很小。

熔體的出口平均溫度隨著螺紋升角增大出現(xiàn)先降低后略微升高的趨勢是因?yàn)槁莶凵窃龃?，熔體流動行程變短，熔體在螺槽內(nèi)的停留時(shí)間變短。螺紋升角增大，熔體受到螺棱的剪切作用減小，熔體產(chǎn)生的黏性生熱量減少。停留時(shí)間變短抑制了熔體冷卻，黏性生熱量減少促進(jìn)了熔體冷卻，兩者共同作用使聚合物熔體的出口平均溫度先降低后略微升高。

2.3 螺桿轉(zhuǎn)速對熔體平均溫度的影響

圖6為螺桿轉(zhuǎn)速為10、20、30、40 r/min的聚合物熔體的平均溫度沿?cái)D出方向的降溫曲線，圖7為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨螺桿轉(zhuǎn)速的變化。

圖6 不同螺桿轉(zhuǎn)速下熔體沿?cái)D出方向的降溫曲線Fig.6 Variation in average temperature of the melt along the extrusion direction under different screw speeds

圖7 出口平均溫度隨螺桿轉(zhuǎn)速的變化Fig.7 Variation in average outlet temperature with the screw speed

從圖6可以看出，熔體平均溫度沿著擠出方向逐漸降低。隨著螺桿長度增加，熔體的降溫速率逐漸減小，溫度變化趨于平穩(wěn)；隨著螺桿轉(zhuǎn)速增大，聚合物熔體降溫曲線的曲率越來越小，聚合物熔體的降溫速率越來越小。從圖7可以看出，隨著螺桿轉(zhuǎn)速增大，熔體的出口平均溫度升高，螺桿轉(zhuǎn)速越大，聚合物熔體升溫越明顯。隨著螺桿轉(zhuǎn)速增大，聚合物熔體受到的剪切作用越明顯，聚合物內(nèi)部產(chǎn)生的黏性生熱量越大。隨著螺桿長度增大，聚合物內(nèi)產(chǎn)生的熱量無法及時(shí)被機(jī)筒帶走，只能沿著擠出方向傳遞給擠出機(jī)下游，導(dǎo)致聚合物的降溫速率隨著轉(zhuǎn)速增大而降低，因此，出口平均溫度會隨著轉(zhuǎn)速增大而升高。

2.4 產(chǎn)量對熔體平均溫度的影響

圖8為產(chǎn)量為15、20、25、30 kg/h的聚合物熔體的平均溫度沿著擠出方向的降溫曲線，圖9為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨產(chǎn)量的變化。

圖8 不同產(chǎn)量下熔體沿?cái)D出方向的降溫曲線Fig.8 Variation in average temperature of the melt along the extrusion direction under different outputs

圖9 出口平均溫度隨產(chǎn)量的變化Fig.9 Variation in average outlet temperature with the output

從圖8可以看出，熔體平均溫度沿著擠出方向逐漸降低。隨著螺桿長度增大，熔體的降溫速率逐漸降低；產(chǎn)量越大，曲線曲率越小，熔體平均溫度沿著擠出方向的降溫速率越小。從圖9可以看出，隨著產(chǎn)量增大，熔體的出口平均溫度增大。隨著產(chǎn)量增大，熔體在螺槽內(nèi)的平均停留時(shí)間變短，熔體受到的剪切作用增大，產(chǎn)生的黏性生熱量大，導(dǎo)致熔體的出口平均溫度升高。增加螺桿長度有利于聚合物熔體冷卻，增大產(chǎn)量不利于聚合物熔體冷卻。因此，在設(shè)計(jì)冷卻單螺桿過程中需要綜合考慮各因素之間的相互作用。

3 模擬驗(yàn)證

為了驗(yàn)證聚合物熔體傳熱理論分析模型的準(zhǔn)確性，采用CFD模擬分析軟件Fluent對該模型以及影響聚合物傳熱性能的結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。選擇螺桿長度為2D(90 mm)的熔體模型作為研究對象，通過Fluent模擬計(jì)算出口截面的平均溫度，并與聚合物熔體傳熱理論分析模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

3.1 物理模型與網(wǎng)格劃分

以45 mm冷卻單螺桿為研究對象，建立聚合物熔體流道的三維計(jì)算模型，根據(jù)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)分別對聚合物熔體模型進(jìn)行三維建模和網(wǎng)格劃分，對聚合物熔體流道采用正六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，這樣有利于計(jì)算的收斂并減小計(jì)算量。圖10為螺槽深度5 mm、螺紋升角40°的物理模型與網(wǎng)格劃分模型。

圖10 聚合物流體的物理模型和網(wǎng)格劃分模型Fig.10 Physical model and mesh generation model of polymer fluid

3.2 控制方程

聚合物熔體是一種非牛頓流體，其在螺桿內(nèi)的流動特性較為復(fù)雜，為了簡化螺桿內(nèi)熔體的流動行為，做如下假設(shè)：

1)流體為不可壓縮流體，在螺桿中穩(wěn)定流動，且充滿流道；

2)流體與螺桿和機(jī)筒壁面間無滑移，且忽略慣性力作用；

3)熔體的密度、比熱容、導(dǎo)熱系數(shù)均為恒定值，不隨溫度改變；

4)流體與機(jī)筒表面間傳熱良好，與螺桿表面間不存在熱交換，即螺桿表面絕熱。

基于上述假設(shè)，聚合物熔體流場的連續(xù)性方程為

運(yùn)動方程為

能量方程為

式中，τ為應(yīng)力張量。

3.3 邊界條件

通過螺桿壁面的旋轉(zhuǎn)代替螺桿旋轉(zhuǎn)，設(shè)置不同轉(zhuǎn)速。邊界條件具體設(shè)置如下：

1)動力學(xué)邊界條件 質(zhì)量流量入口，壓力出口，熔體與機(jī)筒間的壁面無滑移，螺桿壁面旋轉(zhuǎn)。

2)熱力學(xué)邊界條件 聚合物熔體入口溫度為200 ℃，熔體與機(jī)筒貼合壁面的溫度為100 ℃。

3.4 本構(gòu)方程與物性參數(shù)

選擇冪律流體作為本構(gòu)方程，熔體稠度K為8 694 Pa·sn，非牛頓指數(shù)n為0.47。采用聚苯乙烯作為物料，具體物性參數(shù)為：密度978 kg/m3，比熱容2 086 J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)0.261 W/(m·K)。

3.5 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)網(wǎng)格尺寸對數(shù)值模擬結(jié)果的影響，保證計(jì)算精度和結(jié)果準(zhǔn)確性，避免網(wǎng)格大小及數(shù)量對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，需要對計(jì)算模型進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證。使用螺槽深度為5 mm、螺紋升角為40°的螺桿，在聚合物產(chǎn)量為20 kg/h、轉(zhuǎn)速為20 r/min的工藝條件下進(jìn)行數(shù)值模擬，以出口平均溫度作為評價(jià)指標(biāo)來驗(yàn)證熔體模型網(wǎng)格大小和網(wǎng)格單元數(shù)對計(jì)算結(jié)果的影響。網(wǎng)格單元數(shù)和模擬結(jié)果如表2所示。

表2 熔體網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Table 2 Verification of melt grid independence

由表2可以看出，隨著網(wǎng)格尺寸減小、網(wǎng)格單元數(shù)增加，出口平均溫度升高。當(dāng)網(wǎng)格尺寸從2 mm減小到1 mm時(shí)，網(wǎng)格單元數(shù)從45.38萬增加到56.72萬，出口平均溫度的相對變化率小于0.5%，表明此時(shí)網(wǎng)格尺寸與網(wǎng)格單元數(shù)對計(jì)算結(jié)果的影響很小，可以滿足網(wǎng)格無關(guān)性的要求，故本文采用1 mm的網(wǎng)格尺寸進(jìn)行模擬計(jì)算。

圖11為不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)條件下聚合物熔體的出口平均溫度的計(jì)算值與模擬值對比圖。從圖中可以看出，隨著螺槽深度的增大，出口平均溫度出現(xiàn)先升高后降低的趨勢；隨著螺紋升角的增大，出口平均溫度先降低后增大；當(dāng)螺桿轉(zhuǎn)速大于15 r/min時(shí)，隨著螺桿轉(zhuǎn)速的增大，出口平均溫度增大；隨著產(chǎn)量的增加，出口平均溫度增大。模擬值與理論值基本吻合，最大相對誤差為1.21%。但是隨著螺桿直徑增大，誤差范圍會增大，當(dāng)螺桿直徑大于90 mm時(shí)，螺桿絕熱條件已經(jīng)無法滿足冷卻要求，需要進(jìn)行螺桿內(nèi)部冷卻。數(shù)值模擬過程說明聚合物熔體的傳熱分析模型是可靠的，可以預(yù)測聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)的降溫過程。

圖11 出口平均溫度隨結(jié)構(gòu)參數(shù)和工藝參數(shù)的變化Fig.11 Variation in average outlet temperature with the structure parameters and process parameters

4 結(jié)論

本文建立了冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的傳熱理論分析模型，得到聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)傳熱平均溫度的解析解。探究了結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)對冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體冷卻過程的影響，結(jié)果表明，當(dāng)螺槽深度為5～9 mm、螺紋升角為30°～50°時(shí)，通過增大螺槽深度和螺紋升角,同時(shí)降低螺桿轉(zhuǎn)速和減少產(chǎn)量，能夠有效增強(qiáng)冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的冷卻，此時(shí)該模型能夠滿足冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的降溫需求。最終通過CFD數(shù)值模擬驗(yàn)證了聚合物熔體傳熱理論分析模型的準(zhǔn)確性，模擬值與理論值基本吻合，最大相對誤差為1.21%。以上結(jié)果表明，該模型能夠預(yù)測冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的降溫過程，可以為聚合物熔體降溫過程提供一定的理論參考，用于指導(dǎo)冷卻單螺桿的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和工藝參數(shù)選擇。