一類帶小擾動的Raman散射的數(shù)學(xué)模型研究

肖蕊梅 江新華 李明遠(yuǎn)

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

Raman散射是基于光與物質(zhì)作用后產(chǎn)生的對稱分布在Rayleigh散射光兩側(cè)的非彈性光散射效應(yīng)，可通過散射光與入射光相比頻率的位移分析被散射分子的組成和結(jié)構(gòu)。Raman光譜技術(shù)廣泛應(yīng)用于食品質(zhì)量[1]、生物醫(yī)藥[2]、刑事偵查[3]和環(huán)境保護[4]等領(lǐng)域，因此對Raman散射的研究有著重要的實際意義。

Lie等[5]提出受激Raman散射中的分子振動模型可以用阻尼和外部正弦場驅(qū)動的Morse振子的經(jīng)典方程來描述

y″(t)+αy′(t)+(1-e-y)e-y=Acosωt

式中，t為時間變量，y代表振子的振幅,也是時間t的函數(shù)，α為阻尼系數(shù)，A為調(diào)制強度，ω為驅(qū)動頻率。他們利用四階Runge-Kutta法得到數(shù)值解，當(dāng)阻尼系數(shù)α在0.001～0.4之間(此時阻尼極限較弱)且驅(qū)動頻率ω較大時，以ω為橫坐標(biāo)，振子的最大振幅ymax為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系作圖，發(fā)現(xiàn)圖像中間部分會出現(xiàn)穩(wěn)定的上下兩個分支，即雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，解到底收斂于哪個分支取決于初始條件和驅(qū)動場的相位。如果驅(qū)動頻率從小到大開始變化，隨著驅(qū)動頻率的增加，ymax的增長非常緩慢且一直收斂于下分支，直到某一個臨界點，ymax會突然增大并跳到上分支，接下來又會迅速減?。蝗绻?qū)動頻率從大到小變化，ymax將從上分支開始迅速增大，直到某一個臨界值，突然下降到下分支，體現(xiàn)了解的滯后現(xiàn)象。由于Stokes波強度的急劇增長與分子振幅的突然增加有關(guān)，一般的諧振子模型無法解釋Stokes波強度的急劇增長現(xiàn)象，而Morse振子模型卻可以很好地解釋分子振幅的突然增加，因此該模型可以用來描述受激Raman散射中的分子振動，進而解釋Stokes波強度的急劇增長現(xiàn)象。

本文旨在研究受激Raman散射分子振動數(shù)學(xué)模型在小阻尼且弱驅(qū)動下的初值問題

(1)

其中ε是擾動系數(shù)，通常0<ε?1，α、ω為正常數(shù)。首先我們利用不動點定理證明初值問題(1)的解是存在唯一的，進而利用攝動方法求出漸近解的首項并給出余項估計，從而證明漸近解的一致有效性。

1 解的存在唯一性

為證明解的存在唯一性，作變量代換，令

y(t)=εv(t)

代入式(1)得

(2)

記

M0(ε0)=K0[(α+2ω)(2+ε0ω)+α·(1+ε0ω)2]

故T、M、M0(ε0)、K0也為正常數(shù)。

接下來將證明定理1，將式(2)寫成積分方程的形式

v=F(v)=F1(v)+F2(t)

(3)

其中，

(4)

(5)

記

(6)

由于

故?ε2>0，當(dāng)0<ε≤ε2?1時

即

(7)

由于

故?ε3>0，當(dāng)0<ε≤ε3?1時

|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|≤6

即

|2e-2εξ-e-εξ-1|≤|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|·|εξ|≤6ε|ξ|

(8)

由于

故?ε4>0，當(dāng)0<ε≤ε4?1時

(9)

下面證明F(v)=F1(v)+F2(t)是定義在連續(xù)函數(shù)空間上的壓縮映像，從而用不動點定理證明定理1。

取ε0=min {ε1,ε2,ε3,ε4}，由于

(10)

由式(6)、(7)可知，當(dāng)|v|≤M，0<εt≤T時

|F1(v)|≤2×2|εv|×|v|×t≤4M2T

(11)

通過計算F2(t)可知，當(dāng)0<ε≤ε0?1時

即

F2(t)≤M0(ε0)

(12)

將式(11)、(12)代入式(3)得

|F(v)|≤|F1(v)|+|F2(t)|≤M0(ε0)+4M2T

令

M0(ε0)+4M2T≤M

(13)

接下來證明F：v→F(v)為壓縮映射，由式(3)可得

(14)

其中，

由于v1∈v,v2∈v，故|v1|≤M,|v2|≤M，則有

g′(v)=2e-2εv-e-εv-1

根據(jù)不等式(8)和拉格朗日中值定理?ξ∈(v1,v2)，|ξ|≤M，有

|g(v2)-g(v1)|=|g′(ξ)(v2-v1)|≤|2e-2εξ-e-εξ-1||v2-v1|≤6εM|v2-v1|

(15)

將式(15)和0<εt≤T代入式(14)得

|F(v1)-F(v2)|≤12εM|v1-v2|t≤12MT|v1-v2|

令

12MT<1

(16)

2 多重尺度法求近似解

根據(jù)文獻[6]中對多重尺度法的介紹，可取兩時間尺度分別為t1=t，t2=εt，代入式(1)得

(17)

令

y=εy0+ε2y1+ε3y2+…

(18)

故

(19)

將式(18)、(19)代入到式(17)，并令ε的一次冪系數(shù)相等得

解得

(20)

令ε的二次冪系數(shù)相等得

解得

為消除長期項，需滿足

解得

(21)

將式(21)以及t1=t，t2=εt代入到式(20)得

(22)

3 余項估計

定理2在0<ε≤ε0?1，0<εt≤T時，有|y(t)-εy0(t)|=ε|v(t)-y0(t)|≤ε2M3(ε0,T)，其中M3(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。

令v(t)=y0(t)+R(t)，代入式(2)得

(23)

其中

將初值問題(23)寫成積分方程的形式

由式(6)知|φ(t,τ)|≤2，則

|R|≤s1(t)+s2(t)+s3(t)

(24)

根據(jù)不等式(9)

(25)

(26)

利用Maple軟件計算s3(t)可知

其中

通過Maple軟件計算可知，存在常數(shù)ε和T，當(dāng)0<ε≤ε0?1，0<εt≤T時，有

s3(t)≤εM1(ε0,T)

(27)

其中M1(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。

將式(25)～(27)代入到式(24)得

(28)

其中M2(ε0,T)也是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù),且

由文獻[7-8]可知，當(dāng)0<ε≤ε0?1，0<εt≤T時，存在與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)M3(ε0,T)，使得

|R|≤εM3(ε0,T)

根據(jù)第2節(jié)求得的漸近解首項為εy0，故

|y-εy0|≤ε|R|≤ε2M3(ε0,T)

由此可知第2節(jié)求得的漸近解首項是一致有效的。

4 結(jié)束語

本文利用多重尺度法求解了受激Raman散射分子振動數(shù)學(xué)模型中初值問題的漸近解首項，并證明了初值問題的解的存在性和漸近解的一致有效性，但不足之處是只求解了漸近解的首項，且在選取時間尺度時僅選取了兩個時間尺度，故求得的近似解不夠精確。若要得到更高的精確度，可計算漸近解的后幾項或者選取多重時間尺度，當(dāng)然計算量也會隨之增加。