肖蕊梅 江新華 李明遠(yuǎn)
(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)
Raman散射是基于光與物質(zhì)作用后產(chǎn)生的對稱分布在Rayleigh散射光兩側(cè)的非彈性光散射效應(yīng),可通過散射光與入射光相比頻率的位移分析被散射分子的組成和結(jié)構(gòu)。Raman光譜技術(shù)廣泛應(yīng)用于食品質(zhì)量[1]、生物醫(yī)藥[2]、刑事偵查[3]和環(huán)境保護[4]等領(lǐng)域,因此對Raman散射的研究有著重要的實際意義。
Lie等[5]提出受激Raman散射中的分子振動模型可以用阻尼和外部正弦場驅(qū)動的Morse振子的經(jīng)典方程來描述
y″(t)+αy′(t)+(1-e-y)e-y=Acosωt
式中,t為時間變量,y代表振子的振幅,也是時間t的函數(shù),α為阻尼系數(shù),A為調(diào)制強度,ω為驅(qū)動頻率。他們利用四階Runge-Kutta法得到數(shù)值解,當(dāng)阻尼系數(shù)α在0.001~0.4之間(此時阻尼極限較弱)且驅(qū)動頻率ω較大時,以ω為橫坐標(biāo),振子的最大振幅ymax為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系作圖,發(fā)現(xiàn)圖像中間部分會出現(xiàn)穩(wěn)定的上下兩個分支,即雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,解到底收斂于哪個分支取決于初始條件和驅(qū)動場的相位。如果驅(qū)動頻率從小到大開始變化,隨著驅(qū)動頻率的增加,ymax的增長非常緩慢且一直收斂于下分支,直到某一個臨界點,ymax會突然增大并跳到上分支,接下來又會迅速減?。蝗绻?qū)動頻率從大到小變化,ymax將從上分支開始迅速增大,直到某一個臨界值,突然下降到下分支,體現(xiàn)了解的滯后現(xiàn)象。由于Stokes波強度的急劇增長與分子振幅的突然增加有關(guān),一般的諧振子模型無法解釋Stokes波強度的急劇增長現(xiàn)象,而Morse振子模型卻可以很好地解釋分子振幅的突然增加,因此該模型可以用來描述受激Raman散射中的分子振動,進而解釋Stokes波強度的急劇增長現(xiàn)象。
本文旨在研究受激Raman散射分子振動數(shù)學(xué)模型在小阻尼且弱驅(qū)動下的初值問題
(1)
其中ε是擾動系數(shù),通常0<ε?1,α、ω為正常數(shù)。首先我們利用不動點定理證明初值問題(1)的解是存在唯一的,進而利用攝動方法求出漸近解的首項并給出余項估計,從而證明漸近解的一致有效性。
為證明解的存在唯一性,作變量代換,令
y(t)=εv(t)
代入式(1)得
(2)
記
M0(ε0)=K0[(α+2ω)(2+ε0ω)+α·(1+ε0ω)2]
故T、M、M0(ε0)、K0也為正常數(shù)。
接下來將證明定理1,將式(2)寫成積分方程的形式
v=F(v)=F1(v)+F2(t)
(3)
其中,
(4)
(5)
記
(6)
由于
故?ε2>0,當(dāng)0<ε≤ε2?1時
即
(7)
由于
故?ε3>0,當(dāng)0<ε≤ε3?1時
|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|≤6
即
|2e-2εξ-e-εξ-1|≤|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|·|εξ|≤6ε|ξ|
(8)
由于
故?ε4>0,當(dāng)0<ε≤ε4?1時
(9)
下面證明F(v)=F1(v)+F2(t)是定義在連續(xù)函數(shù)空間上的壓縮映像,從而用不動點定理證明定理1。
取ε0=min {ε1,ε2,ε3,ε4},由于
(10)
由式(6)、(7)可知,當(dāng)|v|≤M,0<εt≤T時
|F1(v)|≤2×2|εv|×|v|×t≤4M2T
(11)
通過計算F2(t)可知,當(dāng)0<ε≤ε0?1時
即
F2(t)≤M0(ε0)
(12)
將式(11)、(12)代入式(3)得
|F(v)|≤|F1(v)|+|F2(t)|≤M0(ε0)+4M2T
令
M0(ε0)+4M2T≤M
(13)
接下來證明F:v→F(v)為壓縮映射,由式(3)可得
(14)
其中,
由于v1∈v,v2∈v,故|v1|≤M,|v2|≤M,則有
g′(v)=2e-2εv-e-εv-1
根據(jù)不等式(8)和拉格朗日中值定理?ξ∈(v1,v2),|ξ|≤M,有
|g(v2)-g(v1)|=|g′(ξ)(v2-v1)|≤|2e-2εξ-e-εξ-1||v2-v1|≤6εM|v2-v1|
(15)
將式(15)和0<εt≤T代入式(14)得
|F(v1)-F(v2)|≤12εM|v1-v2|t≤12MT|v1-v2|
令
12MT<1
(16)
根據(jù)文獻[6]中對多重尺度法的介紹,可取兩時間尺度分別為t1=t,t2=εt,代入式(1)得
(17)
令
y=εy0+ε2y1+ε3y2+…
(18)
故
(19)
將式(18)、(19)代入到式(17),并令ε的一次冪系數(shù)相等得
解得
(20)
令ε的二次冪系數(shù)相等得
解得
為消除長期項,需滿足
解得
(21)
將式(21)以及t1=t,t2=εt代入到式(20)得
(22)
定理2在0<ε≤ε0?1,0<εt≤T時,有|y(t)-εy0(t)|=ε|v(t)-y0(t)|≤ε2M3(ε0,T),其中M3(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。
令v(t)=y0(t)+R(t),代入式(2)得
(23)
其中
將初值問題(23)寫成積分方程的形式
由式(6)知|φ(t,τ)|≤2,則
|R|≤s1(t)+s2(t)+s3(t)
(24)
根據(jù)不等式(9)
(25)
(26)
利用Maple軟件計算s3(t)可知
其中
通過Maple軟件計算可知,存在常數(shù)ε和T,當(dāng)0<ε≤ε0?1,0<εt≤T時,有
s3(t)≤εM1(ε0,T)
(27)
其中M1(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。
將式(25)~(27)代入到式(24)得
(28)
其中M2(ε0,T)也是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù),且
由文獻[7-8]可知,當(dāng)0<ε≤ε0?1,0<εt≤T時,存在與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)M3(ε0,T),使得
|R|≤εM3(ε0,T)
根據(jù)第2節(jié)求得的漸近解首項為εy0,故
|y-εy0|≤ε|R|≤ε2M3(ε0,T)
由此可知第2節(jié)求得的漸近解首項是一致有效的。
本文利用多重尺度法求解了受激Raman散射分子振動數(shù)學(xué)模型中初值問題的漸近解首項,并證明了初值問題的解的存在性和漸近解的一致有效性,但不足之處是只求解了漸近解的首項,且在選取時間尺度時僅選取了兩個時間尺度,故求得的近似解不夠精確。若要得到更高的精確度,可計算漸近解的后幾項或者選取多重時間尺度,當(dāng)然計算量也會隨之增加。