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    一類帶小擾動的Raman散射的數(shù)學(xué)模型研究

    2021-11-13 08:04:56肖蕊梅江新華李明遠(yuǎn)

    肖蕊梅 江新華 李明遠(yuǎn)

    (北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

    引 言

    Raman散射是基于光與物質(zhì)作用后產(chǎn)生的對稱分布在Rayleigh散射光兩側(cè)的非彈性光散射效應(yīng),可通過散射光與入射光相比頻率的位移分析被散射分子的組成和結(jié)構(gòu)。Raman光譜技術(shù)廣泛應(yīng)用于食品質(zhì)量[1]、生物醫(yī)藥[2]、刑事偵查[3]和環(huán)境保護(hù)[4]等領(lǐng)域,因此對Raman散射的研究有著重要的實際意義。

    Lie等[5]提出受激Raman散射中的分子振動模型可以用阻尼和外部正弦場驅(qū)動的Morse振子的經(jīng)典方程來描述

    y″(t)+αy′(t)+(1-e-y)e-y=Acosωt

    式中,t為時間變量,y代表振子的振幅,也是時間t的函數(shù),α為阻尼系數(shù),A為調(diào)制強(qiáng)度,ω為驅(qū)動頻率。他們利用四階Runge-Kutta法得到數(shù)值解,當(dāng)阻尼系數(shù)α在0.001~0.4之間(此時阻尼極限較弱)且驅(qū)動頻率ω較大時,以ω為橫坐標(biāo),振子的最大振幅ymax為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系作圖,發(fā)現(xiàn)圖像中間部分會出現(xiàn)穩(wěn)定的上下兩個分支,即雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,解到底收斂于哪個分支取決于初始條件和驅(qū)動場的相位。如果驅(qū)動頻率從小到大開始變化,隨著驅(qū)動頻率的增加,ymax的增長非常緩慢且一直收斂于下分支,直到某一個臨界點,ymax會突然增大并跳到上分支,接下來又會迅速減??;如果驅(qū)動頻率從大到小變化,ymax將從上分支開始迅速增大,直到某一個臨界值,突然下降到下分支,體現(xiàn)了解的滯后現(xiàn)象。由于Stokes波強(qiáng)度的急劇增長與分子振幅的突然增加有關(guān),一般的諧振子模型無法解釋Stokes波強(qiáng)度的急劇增長現(xiàn)象,而Morse振子模型卻可以很好地解釋分子振幅的突然增加,因此該模型可以用來描述受激Raman散射中的分子振動,進(jìn)而解釋Stokes波強(qiáng)度的急劇增長現(xiàn)象。

    本文旨在研究受激Raman散射分子振動數(shù)學(xué)模型在小阻尼且弱驅(qū)動下的初值問題

    (1)

    其中ε是擾動系數(shù),通常0<ε?1,α、ω為正常數(shù)。首先我們利用不動點定理證明初值問題(1)的解是存在唯一的,進(jìn)而利用攝動方法求出漸近解的首項并給出余項估計,從而證明漸近解的一致有效性。

    1 解的存在唯一性

    為證明解的存在唯一性,作變量代換,令

    y(t)=εv(t)

    代入式(1)得

    (2)

    M0(ε0)=K0[(α+2ω)(2+ε0ω)+α·(1+ε0ω)2]

    故T、M、M0(ε0)、K0也為正常數(shù)。

    接下來將證明定理1,將式(2)寫成積分方程的形式

    v=F(v)=F1(v)+F2(t)

    (3)

    其中,

    (4)

    (5)

    (6)

    由于

    故?ε2>0,當(dāng)0<ε≤ε2?1時

    (7)

    由于

    故?ε3>0,當(dāng)0<ε≤ε3?1時

    |(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|≤6

    |2e-2εξ-e-εξ-1|≤|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|·|εξ|≤6ε|ξ|

    (8)

    由于

    故?ε4>0,當(dāng)0<ε≤ε4?1時

    (9)

    下面證明F(v)=F1(v)+F2(t)是定義在連續(xù)函數(shù)空間上的壓縮映像,從而用不動點定理證明定理1。

    取ε0=min {ε1,ε2,ε3,ε4},由于

    (10)

    由式(6)、(7)可知,當(dāng)|v|≤M,0<εt≤T時

    |F1(v)|≤2×2|εv|×|v|×t≤4M2T

    (11)

    通過計算F2(t)可知,當(dāng)0<ε≤ε0?1時

    F2(t)≤M0(ε0)

    (12)

    將式(11)、(12)代入式(3)得

    |F(v)|≤|F1(v)|+|F2(t)|≤M0(ε0)+4M2T

    M0(ε0)+4M2T≤M

    (13)

    接下來證明F:v→F(v)為壓縮映射,由式(3)可得

    (14)

    其中,

    由于v1∈v,v2∈v,故|v1|≤M,|v2|≤M,則有

    g′(v)=2e-2εv-e-εv-1

    根據(jù)不等式(8)和拉格朗日中值定理?ξ∈(v1,v2),|ξ|≤M,有

    |g(v2)-g(v1)|=|g′(ξ)(v2-v1)|≤|2e-2εξ-e-εξ-1||v2-v1|≤6εM|v2-v1|

    (15)

    將式(15)和0<εt≤T代入式(14)得

    |F(v1)-F(v2)|≤12εM|v1-v2|t≤12MT|v1-v2|

    12MT<1

    (16)

    2 多重尺度法求近似解

    根據(jù)文獻(xiàn)[6]中對多重尺度法的介紹,可取兩時間尺度分別為t1=t,t2=εt,代入式(1)得

    (17)

    y=εy0+ε2y1+ε3y2+…

    (18)

    (19)

    將式(18)、(19)代入到式(17),并令ε的一次冪系數(shù)相等得

    解得

    (20)

    令ε的二次冪系數(shù)相等得

    解得

    為消除長期項,需滿足

    解得

    (21)

    將式(21)以及t1=t,t2=εt代入到式(20)得

    (22)

    3 余項估計

    定理2在0<ε≤ε0?1,0<εt≤T時,有|y(t)-εy0(t)|=ε|v(t)-y0(t)|≤ε2M3(ε0,T),其中M3(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。

    令v(t)=y0(t)+R(t),代入式(2)得

    (23)

    其中

    將初值問題(23)寫成積分方程的形式

    由式(6)知|φ(t,τ)|≤2,則

    |R|≤s1(t)+s2(t)+s3(t)

    (24)

    根據(jù)不等式(9)

    (25)

    (26)

    利用Maple軟件計算s3(t)可知

    其中

    通過Maple軟件計算可知,存在常數(shù)ε和T,當(dāng)0<ε≤ε0?1,0<εt≤T時,有

    s3(t)≤εM1(ε0,T)

    (27)

    其中M1(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。

    將式(25)~(27)代入到式(24)得

    (28)

    其中M2(ε0,T)也是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù),且

    由文獻(xiàn)[7-8]可知,當(dāng)0<ε≤ε0?1,0<εt≤T時,存在與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)M3(ε0,T),使得

    |R|≤εM3(ε0,T)

    根據(jù)第2節(jié)求得的漸近解首項為εy0,故

    |y-εy0|≤ε|R|≤ε2M3(ε0,T)

    由此可知第2節(jié)求得的漸近解首項是一致有效的。

    4 結(jié)束語

    本文利用多重尺度法求解了受激Raman散射分子振動數(shù)學(xué)模型中初值問題的漸近解首項,并證明了初值問題的解的存在性和漸近解的一致有效性,但不足之處是只求解了漸近解的首項,且在選取時間尺度時僅選取了兩個時間尺度,故求得的近似解不夠精確。若要得到更高的精確度,可計算漸近解的后幾項或者選取多重時間尺度,當(dāng)然計算量也會隨之增加。

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