問題引領激活課堂

王燕

摘要：數(shù)學建模活動是基于數(shù)學思維，運用模型解決實際問題的綜合實踐活動。文章以“體重與脈搏”教學為例，對恒溫動物的體重與脈搏進行分析與探究，讓學生體會建立數(shù)學模型的一般步驟，激發(fā)學生應用數(shù)學的意識，提高學生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，同時提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：數(shù)學建模;體重;脈搏率

生活中，事物與事物之間是有聯(lián)系的，揭示這些聯(lián)系是數(shù)學的意義所在，數(shù)學建模就是這樣的一個數(shù)學活動。“體重與脈搏”是課程標準中的一個建模課題，其目的是讓學生經(jīng)歷一次完整的數(shù)學建模過程，讓學生初步體驗提出問題、建立模型、求解模型、檢驗、優(yōu)化模型等建?；顒?，并通過活動，展示學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學素養(yǎng)。

該問題的分析線索比較長，學生很難自主地建模求解，在過程中容易出現(xiàn)目標不明確、無法操作等問題。因此，筆者采用問題呈現(xiàn)的形式引導學生將核心問題拆分成容易達成的小目標，引導他們按照一定的脈絡進行下去。

一、 中學數(shù)學建?，F(xiàn)狀分析

（1）初中學生已學過確定型的函數(shù)模型（如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)），在高中階段學習了函數(shù)的基本研究內(nèi)容和方法，但運用函數(shù)知識來解決實際問題的能力不足，在實踐技能上對圖形計算器的操作還不夠熟練，在思想觀念上對擬合型的函數(shù)模型缺乏科學認識，在數(shù)學應用上缺乏運用函數(shù)模型來闡述自然規(guī)律的意識，在函數(shù)方法上難以想到運用對數(shù)運算特性來轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)。

（2）本節(jié)內(nèi)容最大的難點是“用跨學科知識分析評判所得函數(shù)模型闡釋恒溫動物體重與脈搏率之間內(nèi)在聯(lián)系的合理性”。首先應排除影響脈搏率的其他非主要因素，從而由生物學常識形成模型假設，再運用數(shù)學運算和邏輯推理分析所得模型的科學性。此外，由于動物間體重差異太大，在數(shù)據(jù)處理上也存在難點，運用對數(shù)運算轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)需要教師的啟發(fā)引導。

（3）由于在自然情景中所得數(shù)據(jù)并非處于容易處理的“理想狀態(tài)”，所以需要運用信息技術支持教學。本節(jié)課運用圖形計算器可以直觀展示數(shù)據(jù)對應的散點圖并建立函數(shù)模型，快捷地轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)重構函數(shù)模型，因此為教學提供了極大的支持。

二、 中學數(shù)學建模策略

（一）情境設疑，啟迪思考

（PPT展示人的脈搏率從嬰兒時期到長大成人的變化）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：隨著人慢慢長大，脈搏率在變小。

師：大家覺得影響脈搏率的主要因素是什么？

生：是不是會和性別、年齡、身高、體重等因素有關系。

問題1：如果將研究范圍擴展到恒溫動物，你覺得影響脈搏率的主要因素是什么？

預設：性別、年齡、身高這些因素就不合適了，那么應該是體重會影響脈搏率！

【設計意圖】

引導學生在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，以開放的問題引導學生提出本節(jié)課研究的主題，即運用數(shù)學方法研究恒溫動物體重與脈搏率之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（二）技術應用，建立模型

師：要研究兩個量的關系，就需要有相應的數(shù)據(jù)支持，請大家閱讀教材提供的種恒溫動物的體重與脈搏率對應的數(shù)據(jù)。動物名[體重（單位：g）/脈搏率（單位：次/分）]

鼠（25/670）大鼠（200/420）

豚鼠（300/300）兔（2000/205）

小狗（5000/120）大狗（30000/85）

羊（50000/70）馬（450000/35）

問題2：為研究方便，將體重和脈搏率分別用W和f表示，觀察這組數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

【師生活動】隨著體重逐漸增大，脈搏率逐漸減小，這兩個量之間有函數(shù)關系。利用圖形計算器將數(shù)據(jù)繪制到直角坐標系中，得到散點圖如圖1，再猜想函數(shù)類型。

【預設1】

生1：我覺得是反比例函數(shù)。

生2：根據(jù)表格數(shù)據(jù)對應的乘積并不是一個常數(shù)，所以肯定不是反比例函數(shù)。

【預設2】可能會是一個單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)模型。

師生共同探討分析這些函數(shù)的特點，對猜想的模型進行初步的驗證。之后利用圖形計算器的擬合功能，擬合函數(shù)模型f=1790.86·x-0.298257，如圖2。

【設計意圖】

讓學生感悟畫散點圖能夠?qū)⒈砀駭?shù)據(jù)更加直觀地呈現(xiàn)，也是研究函數(shù)模型的最基本的手段之一。通過圖形計算器、Excel等都可以實現(xiàn)。引導學生進行數(shù)據(jù)分析，落實數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

（三）模型假設，闡釋規(guī)律

問題3：為何脈搏率f和體重w之間大致滿足f=k·W-13的關系？

根據(jù)生物學常識我們可得到以下模型假設：

（1）生物學家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫;

（2）研究表明，消耗的能量E與心臟的血流量Q成正比;

（3）血流量Q是單位時間流過的血量，脈搏率f是單位時間心跳的次數(shù)，心臟每次收縮擠壓出來的血量為q;

（4）心臟每次收縮擠壓出來的血量q與心臟大小（生物體體重W）成正比;生物體體重W與體積V成正比、體表散熱量與體表面積S成正比。

師：你能運用以上4條模型假設來分析f=k·W-13的合理性嗎？

【追問1】你能根據(jù)以上模型假設，建立脈搏率f與體重W關系的函數(shù)關系嗎？

【師生活動】學生以6人小組為單位，從生物學知識和假設中提煉信息，給出各個變量的符號標記，分組討論“這里需要的數(shù)學關系是什么”“如何用數(shù)學語言去刻畫變量間的關系”等問題。鼓勵學生以小組為單位，借助西沃電子設備展示自己推導的含有參數(shù)的數(shù)學關系式，對存在困難的小組和個人，教師予以適當?shù)闹笇?，讓其通過模仿達到預期的效果。