基于等效黏性阻尼模型的非比例阻尼體系反應(yīng)譜CCQC 法

孫攀旭，楊 紅

(1. 鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院，鄭州 450001；2. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；3. 重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045)

振型分解反應(yīng)譜法建立在模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上，通過(guò)將多自由度體系解耦為單自由度體系，結(jié)合給定的地震反應(yīng)譜，可計(jì)算對(duì)應(yīng)模態(tài)下的地震作用效應(yīng)，從而依據(jù)振型組合方法得到結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)[1-2]。振型分解反應(yīng)譜法實(shí)質(zhì)上是一種將動(dòng)力問(wèn)題簡(jiǎn)化為靜力問(wèn)題的方法，具有表達(dá)形式簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。因此，振型分解反應(yīng)譜法被廣泛用于工程設(shè)計(jì)中，是各國(guó)規(guī)范的主要抗震設(shè)計(jì)分析方法[3-6]。

對(duì)于由不同阻尼特性材料組成的非比例阻尼體系，傳統(tǒng)的實(shí)模態(tài)疊加法不再適用[7-9]，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜CQC(Complete Quadratic Combination)法無(wú)法直接用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)。針對(duì)該問(wèn)題，在基于黏性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上，結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)理論，部分學(xué)者推導(dǎo)了適用于非比例阻尼體系的反應(yīng)譜CCQC(Complex Complete Quadratic Combination)法表達(dá)式[10-15]，但該方法的表達(dá)形式復(fù)雜，涉及位移相關(guān)系數(shù)、速度相關(guān)系數(shù)和位移-速度相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，不便于工程應(yīng)用。Sinha 等[16]忽略非比例阻尼體系中位移與速度的相關(guān)性，推導(dǎo)了非比例阻尼線性體系的反應(yīng)譜SRSS(Square Root of the Sum of the Square)法表達(dá)式。俞瑞芳等[17-18]分析了相關(guān)系數(shù)隨頻率比的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)位移-速度相關(guān)系數(shù)在頻率比較小時(shí)不可忽略，其分析結(jié)果表明反應(yīng)譜CCQC 法不可直接簡(jiǎn)化為反應(yīng)譜SRSS 法，并進(jìn)一步提出了考慮部分相關(guān)性的反應(yīng)譜復(fù)振型平方組合CPQC(Complex Partial Quadratic Combination)法。綜上可見，相比基于黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CQC 法，基于黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法增加了位移-速度相關(guān)系數(shù)、速度相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，計(jì)算過(guò)程更為復(fù)雜。由于位移-速度相關(guān)系數(shù)的影響，振型之間的相關(guān)性也更復(fù)雜，對(duì)于自振頻率分布稀疏的非比例阻尼體系，反應(yīng)譜CCQC 法無(wú)法直接簡(jiǎn)化為忽略相關(guān)系數(shù)的反應(yīng)譜SRSS 法。此外，應(yīng)注意的是黏性阻尼模型的阻尼矩陣構(gòu)造存在明顯困難，阻礙了其推廣應(yīng)用；采用常用的分塊Rayleigh 阻尼模型時(shí)，阻尼矩陣依賴于振型組合的選擇[19-20]，導(dǎo)致基于黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法計(jì)算結(jié)果不唯一、合理性不易被判定。

相比黏性阻尼模型，復(fù)阻尼模型具有阻尼矩陣易構(gòu)造的優(yōu)點(diǎn)，劉慶林等[21-22]在基于復(fù)阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上，結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)理論，推導(dǎo)了基于復(fù)阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法。但基于復(fù)阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法計(jì)算的譜矩需要引入兩個(gè)相關(guān)系數(shù)，對(duì)應(yīng)的振型組合表達(dá)式較復(fù)雜。此外，更明顯的問(wèn)題是復(fù)阻尼模型存在時(shí)域發(fā)散、非因果性等理論缺陷[23-26]，導(dǎo)致基于復(fù)阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法的正確性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

與復(fù)阻尼模型等效的黏性阻尼模型不但保留了阻尼矩陣易構(gòu)造的優(yōu)點(diǎn)，還克服了復(fù)阻尼模型的時(shí)域發(fā)散、非因果性等缺陷。本文在基于等效黏性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上，結(jié)合虛擬激勵(lì)法和平穩(wěn)隨機(jī)理論，推導(dǎo)出反應(yīng)譜CCQC 法實(shí)數(shù)表達(dá)式，公式表達(dá)簡(jiǎn)單，且計(jì)算結(jié)果唯一，合理性易被判定，可直接用于計(jì)算非比例阻尼體系的地震作用效應(yīng)。

1 常用的非比例阻尼體系反應(yīng)譜法

首先對(duì)已有的非比例阻尼體系地震作用效應(yīng)常用計(jì)算方法進(jìn)行介紹，以便于后文的算例分析，并可與本文建立的方法(見第2 節(jié))進(jìn)行對(duì)比。

1.1 基于能量法的反應(yīng)譜CQC 法

基于黏性阻尼模型的多自由度體系時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

對(duì)于由不同阻尼特性材料組成的非比例阻尼體系，阻尼矩陣不再滿足經(jīng)典阻尼條件，傳統(tǒng)的實(shí)模態(tài)疊加法不再適用。為了沿用實(shí)模態(tài)疊加法，一些學(xué)者建議，可借助于能量法將非比例阻尼體系近似等效為比例阻尼體系[27-29]。

采用無(wú)阻尼模態(tài)分析，式(1)對(duì)應(yīng)的實(shí)振型向量為：

上述理論分析表明，基于能量法的反應(yīng)譜CCQC 法實(shí)質(zhì)上是一種近似解耦的計(jì)算方法，不能充分考慮結(jié)構(gòu)的非比例阻尼特性。

1.2 基于分塊Rayleigh 阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法

對(duì)于非比例阻尼體系，其地震效應(yīng)計(jì)算需要建立在復(fù)模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上。由于基于黏性阻尼模型的非比例阻尼體系阻尼矩陣構(gòu)造是十分困難的，部分學(xué)者建議，可采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣[19-20]，即：

以上分析可見，基于分塊Rayleigh 阻尼的反應(yīng)譜CCQC 法考慮了結(jié)構(gòu)的非比例特性，但式(12)表明，其阻尼矩陣的確定不僅依賴于子結(jié)構(gòu)的振型阻尼比，還依賴于結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自振頻率ωm和ωn的選擇，即依賴于振型組合的選擇。選擇不同振型的自振頻率，構(gòu)造出不同的阻尼矩陣，必將得到不同的計(jì)算結(jié)果。因此，基于分塊Rayleigh阻尼的反應(yīng)譜CCQC 法計(jì)算結(jié)果受振型組合的影響，計(jì)算結(jié)果不具有唯一性。

2 基于等效黏性阻尼模型的CCQC 法

為解決復(fù)阻尼模型的缺陷，引入正負(fù)頻率共軛關(guān)系，可得到基于復(fù)阻尼模型的滯變阻尼模型[30-31]，作者建立了與滯變阻尼模型等效的黏性阻尼模型[32]，以及基于等效黏性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法。上述研究成果是本文推導(dǎo)基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法實(shí)數(shù)表達(dá)式的理論基礎(chǔ)，因此在2.1 節(jié)重復(fù)給出部分關(guān)鍵公式。

2.1 基于等效黏性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法

基于復(fù)阻尼模型的滯變阻尼模型解決了時(shí)域發(fā)散問(wèn)題，但仍存在頻響函數(shù)非因果的缺陷。為克服滯變阻尼模型中頻響函數(shù)非因果的缺陷，依據(jù)頻域本構(gòu)等效的原則，作者[32]構(gòu)建了一種等效于滯變阻尼模型的黏性阻尼模型，并得到了等效黏性阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為[32]：

等效黏性阻尼模型是一種近似等效的阻尼模型，需要限制其適用范圍。以兩種阻尼模型的動(dòng)力放大系數(shù)的相對(duì)誤差小于等于10%作為限制條件，可確定等效黏性阻尼模型的適用范圍[32]。等效黏性阻尼模型方程的構(gòu)建實(shí)質(zhì)上引入了一個(gè)等效假定，即：

依據(jù)等效假定，式(44)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

2.2 反應(yīng)譜CCQC 法相關(guān)公式的推導(dǎo)

設(shè)g(t)為平穩(wěn)高斯過(guò)程，其自功率譜密度為Sg(?) ，振動(dòng)頻率為正頻率，為求響應(yīng)x(t)的功率譜密度，應(yīng)用虛擬激勵(lì)法[33]，構(gòu)造虛擬地面加速度激勵(lì)如下：

式(86)即為基于等效黏性阻尼模型的非比例阻尼體系反應(yīng)譜CCQC 法的實(shí)數(shù)表達(dá)式。

對(duì)比式(8)和式(88)可知，式(88)與基于能量法的反應(yīng)譜CQC 法表達(dá)式完全相同。理論分析結(jié)果表明，當(dāng)非比例阻尼體系退化為比例阻尼體系，基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法相應(yīng)退化為基于能量法的反應(yīng)譜CQC 法?？梢?，基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法具有統(tǒng)一性，應(yīng)用范圍更為廣泛。

2.3 算例分析及驗(yàn)證

關(guān)于基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC法正確性的驗(yàn)證，采用的驗(yàn)證思路是：首先，采用試驗(yàn)方法驗(yàn)證基于等效黏性阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法正確性，然后，采用基于等效黏性阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法驗(yàn)證基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法正確性，從而，實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證本文提出的基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法正確性的目的。關(guān)于基于等效黏性阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法，作者在已發(fā)表文獻(xiàn)[32]中采用鋼板-阻尼膠片組合板的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證了其求解方法的正確性。

以時(shí)域計(jì)算結(jié)果為依據(jù)驗(yàn)證本文建立的反應(yīng)譜CCQC 法(見2.2 節(jié))的正確性，驗(yàn)證分析的流程如圖1 所示，其思路、做法與參考文獻(xiàn)[11]是相同的。該驗(yàn)證方式的核心思想是，將某條特定地震波作用下結(jié)構(gòu)的時(shí)域計(jì)算結(jié)果作為精確解，據(jù)此驗(yàn)證振型分解反應(yīng)譜法(即本文建立的基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法)計(jì)算結(jié)果的正確性。如圖1 所示，首先計(jì)算某條地震波作用下結(jié)構(gòu)的時(shí)程動(dòng)力響應(yīng)，得到對(duì)應(yīng)的響應(yīng)峰值；然后計(jì)算該地震波的反應(yīng)譜、對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析，并按前文所述方法進(jìn)行振型分解反應(yīng)譜CCQC組合計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)峰值；最后，將兩種方法計(jì)算所得的響應(yīng)峰值進(jìn)行對(duì)比，并評(píng)價(jià)基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法的誤差。下文將分別以El Centro 波、天津波為例進(jìn)行分析。

圖1 振型分解反應(yīng)譜法的驗(yàn)證分析流程圖Fig. 1 The flow chart of verification analysis of mode superposition response spectrum method

以5 層剪切型框架模型A 為例，對(duì)應(yīng)的質(zhì)量和剛度分布如圖2 所示，上部?jī)蓪咏Y(jié)構(gòu)為鋼結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)的損耗因子為0.04，下部三層結(jié)構(gòu)為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)的損耗因子為0.10。

圖2 模型A 示意圖Fig. 2 The schematic diagram of Model A

在模型A 的地震作用效應(yīng)計(jì)算過(guò)程中，采用的反應(yīng)譜CCQC 法不是基于《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011-2010)[3]的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜進(jìn)行計(jì)算，而是以選定地震波的反應(yīng)譜為依據(jù)進(jìn)行計(jì)算，其目的是避免規(guī)范反應(yīng)譜所涉及的大量地震波反應(yīng)譜的概率統(tǒng)計(jì)特性、場(chǎng)地條件等對(duì)該驗(yàn)證過(guò)程的干擾。因此，模型A 的場(chǎng)地條件是沒(méi)有限制的(或者說(shuō)模型A 可以位于各種類型的場(chǎng)地之上)，即模型A 的輸入地震波不涉及場(chǎng)地類別的選擇問(wèn)題，換而言之，模型A 的場(chǎng)地類別必然包含El Centro波和/或天津波對(duì)應(yīng)的場(chǎng)地類別。與此同時(shí)，模型A 的輸入地震波不需要按照《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011-2010)[3]的規(guī)定，要求輸入地震波的反應(yīng)譜在主要周期點(diǎn)附近的譜值與規(guī)范反應(yīng)譜接近，因?yàn)槟Ｐ虯 是一個(gè)抽象的力學(xué)模型，僅進(jìn)行理論意義上的驗(yàn)證分析，并不涉及規(guī)范反應(yīng)譜的相關(guān)問(wèn)題。

首先，對(duì)框架模型A 進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析，得到結(jié)構(gòu)的自振頻率和模態(tài)損耗因子。然后，采用基于等效黏性阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法分別計(jì)算不同模態(tài)損耗因子對(duì)應(yīng)的El Centro 波、天津波作用下的位移反應(yīng)譜，結(jié)果如圖3 所示。最后，分別采用基于等效黏性阻尼模型的時(shí)域復(fù)模態(tài)疊加法(以下簡(jiǎn)稱VCT，詳見2.1 節(jié))和基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法(以下簡(jiǎn)稱VCCQC，詳見2.2 節(jié))計(jì)算模型A 在El Centro 波、天津波作用下的結(jié)構(gòu)最大層位移，所得結(jié)果見表1。

圖3 地震波的位移反應(yīng)譜Fig. 3 The displacement response spectrums of seismic waves

表1 模型A 的最大層位移Table 1 Maximum storey displacements of Model A

在表1 中，VCT 是地震波作用下結(jié)構(gòu)的時(shí)域計(jì)算結(jié)果，如前所述，可視為精確解。如表1 所示，模型A 的最大層位移相對(duì)誤差最大為5.28%，從而證明了基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC法的正確性。

3 不同振型分解反應(yīng)譜法的對(duì)比分析

在驗(yàn)證了基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法正確性基礎(chǔ)上，可將其與《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011-2010)[3]的規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜相結(jié)合，用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)。

如圖4 所示，以多自由度組成的平面框架結(jié)構(gòu)模型為例，模型是由不同阻尼特性材料組成的12 層平面框架，1 層～7 層為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)、8 層～12 層為鋼結(jié)構(gòu)，底層高度為4.8 m、其余各層層高均為3 m，各跨的跨度均為6 m，鋼筋混凝土柱、梁的截面尺寸分別為400 mm×500 mm、250 mm×500 mm，鋼柱、鋼梁的截面尺寸分別為HM400 mm×300 mm× 8 mm×10 mm、HM300 mm×150 mm×6 mm×8 mm，各樓層集中質(zhì)量皆為20 000 kg?？拐鹪O(shè)計(jì)參數(shù)如下：抗震設(shè)防烈度為7 度，設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.15g，設(shè)計(jì)地震分組為第二組，場(chǎng)地類別為Π 類。與模型B 相比，模型C 僅1 層～4 層增設(shè)了X 型金屬耗能阻尼器，模型D 則在1 層～12 層均增設(shè)了X 型金屬耗能阻尼器，材料參數(shù)見表2。

表2 不同材料的參數(shù)Table 2 Parameters of different materials

圖4 平面框架模型的示意圖Fig. 4 Schematic diagrams of the plane frame models

依據(jù)損耗因子與阻尼比的近似2 倍換算關(guān)系[34-36]，VCCQC 可直接利用規(guī)范反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)。依據(jù)規(guī)范反應(yīng)譜，結(jié)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)和場(chǎng)地條件，對(duì)結(jié)構(gòu)施加計(jì)算所得的等效水平力，分別采用VCCQC、基于分塊Rayleigh 阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法(RCCQC)和基于能量法的反應(yīng)譜CQC 法(EVCQC)計(jì)算模型B、C 和D 的地震作用效應(yīng)。

對(duì)于模型B，結(jié)構(gòu)的一階振型和二階振型的模態(tài)有效質(zhì)量參與系數(shù)較大(見表3)，一階振型為整體一階橫彎振型，二階振型為整體二階橫彎振型。因此，模型B 中貢獻(xiàn)較大的振型為一階振型和二階振型；對(duì)于模型C，結(jié)構(gòu)的一階振型和六階振型的模態(tài)有效質(zhì)量參與系數(shù)較大(見表3)，一階振型為上部一階橫彎振型，六階振型為上部四階橫彎、下部一階橫彎振型，因此，模型C 中貢獻(xiàn)較大的振型為一階振型和六階振型；對(duì)于模型D，結(jié)構(gòu)的一階振型和二階振型的模態(tài)有效質(zhì)量參與系數(shù)較大(見表3)，一階振型為整體一階橫彎振型，二階振型為整體二階橫彎振型，因此，模型D 中貢獻(xiàn)較大的振型為一階振型和二階振型。

表3 不同模型的模態(tài)有效質(zhì)量參與系數(shù)Table 3 Modal effective mass participation coefficients of different models

對(duì)于2 自由度以上的多自由度體系，RCCQC需要選擇某兩階振型才可以完成相關(guān)計(jì)算，依據(jù)模態(tài)分析結(jié)果，本文僅以基于一階振型和二階振型的反應(yīng)譜CCQC 法(RSCCQC)、基于一階振型和六階振型的反應(yīng)譜CCQC 法(RXCCQC)為例，對(duì)模型B、C 和D 進(jìn)行對(duì)比分析。

采用文獻(xiàn)[37]建議的方法計(jì)算不同模型的非比例阻尼特征指數(shù)，EVCQC 采用的是等效比例阻尼模型，對(duì)應(yīng)的非比例阻尼特征指數(shù)為0，VCCQC、RSCCQC 和RXCCQC 的非比例阻尼特征指數(shù)如表4 所示。由表4 可知，模型B、模型C 和模型D 的非比例阻尼特性依次逐漸增強(qiáng)。

表4 不同模型的非比例阻尼特征指數(shù)Table 4 Index of non-proportionality of plane frame

本文皆以柱的地震剪力為指標(biāo)，分析不同方法的差異。

對(duì)于模型B，不同方法計(jì)算得到的柱剪力如圖5 所示，圖中“柱編號(hào)”代表不同樓層的中柱，其對(duì)應(yīng)的平面位置如圖4 所示。由圖5 的計(jì)算結(jié)果可知，VCCQC、RSCCQC、RXCCQC 和EVCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差小于10%，結(jié)果近似相等。分析結(jié)果表明，對(duì)于非比例阻尼特性較弱的混合結(jié)構(gòu)，EVCQC 的計(jì)算結(jié)果即可滿足要求。同時(shí)，對(duì)于非比例阻尼特性弱的混合結(jié)構(gòu)，振型組合的影響較小，采用不同振型組合的分塊Rayleigh 阻尼模型反應(yīng)譜CCQC 法計(jì)算結(jié)果近似相等。

圖5 不同反應(yīng)譜法計(jì)算的模型B 柱剪力對(duì)比Fig. 5 Comparison of column shear forces of Model B calculated by different response spectrum methods

對(duì)于模型C，不同方法計(jì)算的柱剪力如圖6所示，對(duì)比分析可知：

圖6 不同反應(yīng)譜法計(jì)算的模型C 柱剪力對(duì)比Fig. 6 Comparison of column shear forces of Model C calculated by different response spectrum methods

1) RSCCQC 和VCCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差大于10%，RXCCQC 和VCCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差小于10%，表明RSCCQC和VCCQC 的計(jì)算結(jié)果差異較大，RXCCQC 和VCCQC 的計(jì)算結(jié)果近似相等。由模態(tài)分析可知，模型F 的上部結(jié)構(gòu)主要受一階振型的影響，下部結(jié)構(gòu)主要受六階振型的影響。因此，采用RXCCQC可得到合理的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而間接證明了VCCQC的正確性。對(duì)于非比例阻尼特性較大的混合結(jié)構(gòu)，可采用基于分塊Rayleigh 阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法和基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC法計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)。

2) RSCCQC 和RXCCQC 的計(jì)算結(jié)果差異較大，表明振型組合對(duì)基于分塊Rayleigh 阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法的影響較大，采用不同振型組合得到的計(jì)算結(jié)果差異無(wú)法忽略，選擇不合理的振型組合將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏差較大。在實(shí)際工程計(jì)算中，合理振型的選擇并不總是容易的，且對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)不能僅考慮某兩階振型的影響，這些因素都將導(dǎo)致其計(jì)算結(jié)果的合理性不易被判定。

3) EVCQC 和VCCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差小于10%，計(jì)算結(jié)果近似相等。與模型B 的規(guī)律相似，EVCQC 的計(jì)算結(jié)果唯一，可用于計(jì)算非比例阻尼特性弱的混合結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)。

對(duì)于模型D，不同方法計(jì)算的柱剪力如圖7所示，對(duì)比分析可知：

圖7 不同反應(yīng)譜法計(jì)算的模型D 柱剪力對(duì)比Fig. 7 Comparison of column shear forces of Model D calculated by different response spectrum methods

1) RSCCQC 和VCCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差小于10%，RXCCQC 和VCCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差大于10%，表明RSCCQC和VCCQC 的計(jì)算結(jié)果近似相等，RXCCQC 和VCCQC 的計(jì)算結(jié)果差異較大。由模態(tài)分析可知，隨著阻尼器布置從1 層～3 層轉(zhuǎn)變?yōu)? 層～12 層，結(jié)構(gòu)的重要振型由一階振型和六階振型轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A振型和二階振型。因此，采用RSCCQC 將得到合理的計(jì)算結(jié)果。與模型C 的規(guī)律相似，基于分塊Rayleigh 阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法計(jì)算結(jié)果的可靠性依賴于振型組合的選擇。

2) EVCQC 和VCCQC 計(jì)算得到的柱剪力最大相對(duì)誤差大于10%，計(jì)算結(jié)果差異較大?？梢姡珽VCQC 作為一種近似解耦的計(jì)算方法，不能充分考慮結(jié)構(gòu)的非比例阻尼特性，隨著結(jié)構(gòu)非比例阻尼特性的進(jìn)一步增強(qiáng)，計(jì)算結(jié)果將會(huì)出現(xiàn)較大偏差。

4 結(jié)論

經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)和算例分析，可得出如下結(jié)論：

(1) 在基于等效黏性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上，借助于虛擬激勵(lì)法，推導(dǎo)了基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法表達(dá)式，可適用于非比例阻尼體系。同時(shí)，利用基于等效黏性阻尼模型的時(shí)域模態(tài)疊加法驗(yàn)證了該方法的正確性。

(2) 基于分塊Rayleigh 阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC法的計(jì)算結(jié)果依賴于振型選擇，計(jì)算合理性不易被判定?；诘刃юば宰枘崮Ｐ偷姆磻?yīng)譜CCQC法不涉及振型組合的選擇問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果唯一，合理性易被判定。

(3) 基于能量法的反應(yīng)譜CQC 法計(jì)算結(jié)果唯一，但實(shí)質(zhì)上是一種近似解耦方法，無(wú)法充分考慮結(jié)構(gòu)的非比例阻尼特性，可適用于非比例阻尼特性較弱的混合結(jié)構(gòu)。

(4) 基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法是建立在復(fù)模態(tài)疊加法的基礎(chǔ)上，可有效考慮結(jié)構(gòu)的非比例特性，適用于非比例阻尼特性較強(qiáng)的混合結(jié)構(gòu)。當(dāng)結(jié)構(gòu)退化為比例阻尼體系時(shí)，基于等效黏性阻尼模型的反應(yīng)譜CCQC 法可退化為基于能量法的反應(yīng)譜CQC 法，應(yīng)用范圍更廣。