《九章算術》中的代數部分

錢寶琮

《九章算術》是一部現(xiàn)有傳本中最古老的中國數學經典著作.書中收集了二百四十六個應用問題和各個問題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章.現(xiàn)在擬就問題的性質分成算術、幾何、代數三類，介紹全書的主要內容.下面主要介紹《九章算術》中的代數部分，列出開平方與開立方、開帶從平方、方程與正負數三個部分.

一、開平方與開立方

《九章算術》的少廣章中提到了開平方法和開立方法，內容簡明，依照兩種方法進行演算也很方便.開平方法借用一根算籌來表示未知量的平方，開立方法借用一根算籌表示未知量的立方，這樣就建立了籌式和代數方程之間的聯(lián)系.開平方或開立方的各個演算步驟相當于解方程中求正根的過程.中國古代開平方、開立方的方法，不僅具有算術上的意義，更重要的是它們具有代數方面的意義.

少廣章中的開方術說：“置積為實.借一算，步之，超一等.議所得，以一乘所借一算為法而以除.除已，倍法為定法.其復除，折法而下.復置借算步之如初.以復議一乘之，所得副，以加定法以除.以所得副從定法.復除，折下如前.”

例如，少廣章中的第12題：一平方積為55225，求方邊的長.布置算籌 ，這叫做“實”（被開方數）.取一算籌放在“實”的個位下邊，如圖1，這個籌式用代數符號表達出來是一個方程 .將這個“借算”向左移動，每一步移兩位，移兩步，便停在“實”的萬位上，如圖2.這樣，“借算”所表示的數不是 ，而是 ，原方程就變?yōu)?，可估算出 x 大于2而小于3，在“實”的百位上面放算籌ll，表示平方根的第一個數碼.

以“議得”的2乘以10000得20000，擺在“實”的下面，“借算”的上面的算籌，叫做“法”.再以“議得”的2乘以“法”得40000，從“實”中減去40000，余數為15225，如圖3.把“法”數加倍，向右邊移一位，就變?yōu)?000，叫做“定法”.把“借算”向右邊移兩位，就變成100，如圖4.這個籌式和代數方程 有同樣的意義.

“議得”x 大于3而小于4，就把作3為平方根的第二個數碼，將其放在“實”的十位上面.用3乘以100得300，將其放在“定法”的右邊，加上“定法”得4300.用3乘以4300，從“實”中減去4300，余數為2325，如圖5.再將300加上4300得4600，向右邊移一位可得460，這是求平方根的第三個數碼.把“借算”向右邊移兩位變?yōu)?，如圖6.這籌式和代數方程 有同樣的意義.

議得平方根的個位數 .用5乘以“借算”1得5，加上460得 465.用5乘以465，從“實”內減去它，沒有余數.這樣，我們就得到55225的平方根235.當被開方數是一個分數時，分母 b 開得盡，則 ，若開不盡，則 .

少廣章中的開立方術說：“置積為實，借一算，步之，超二等.議所得，以再乘所借一算為法，而除之，除已，三之為定法.復除.折而下以三乘所得數置中行復借一算置下行步之，中超一、下超二位.復置議，以一乘中，再乘下，皆副，以加定法以定法除除已，倍下，并中從定法復除，折下如前.”

例如，少廣章中的第19題：求1860867的立方根.要先布置算籌 ，將其作為“實”，并在“實”下面保留兩個空層，把“算借”放在最下層.把這個“借算”從個位上移到千位上，再移到百萬位上，如圖8.這個籌式表示代數方程

通過估算可得 x1>1，將其作為立方根的第一個數碼，在“實”的百位上面.用1乘以1000000得1000000，把它放在借算上面，稱為“中行”.再用1乘以“中行”得1000000，將其放在“中行”的上面，“實”的下面，稱為“法”.用1乘以“法”，從“實”內減去1000000，余數為860867，如圖9.將其乘以3并向右移一位，將300000作為“定法”，“中行”乘以3并向右移兩位可得30000.把“借算”向右移三位，可得1000，如圖10.這個籌式表示方程

又“議得”x2>2，將其放在立方根的第二個數碼上，并放在“實”的十位上，把“中行”乘以2得60000，將其放在“法”的右邊.用2的平方乘以“借算”得4000，將其放在“中行”的右邊.又將這兩個數加上“定法”得364000.用2以乘“法”，從"實"內減去所得的結果，余數為132867，如圖11.

用2乘以余下的數得8000，，加上“法”得432000，向右移一位得“定法”為43200.用3×2乘以“借算”得6000，加上“中行”得36000，向右移兩位得360.把“借算”向右移三位，如圖12.這個籌式表示方程? .

再“議得”立方根的末位數為 x3=3.用3乘以“中行”得1080，用3的平方乘以“借算”得9，將兩數并入“定法”得44289為“法”，用3乘以”法”，從”實”內減去所得的結果，恰好為0，如圖13.這樣就得1860867的立方根123.

二、開帶從平方

中國古代數學中求二次方程 x 2+ bx = c 的正根，經常用開帶從平方法.這個方法的數字計算程序一般比“補足方”的方法要簡便得多《.九章算術》的勾股章中第 20題是一個開帶從平方的例子：今有邑方不知大小，各中開門出北門二十步有木.出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何.題目的意思是：已知 CB =20步，F(xiàn)E =14步，ED =1775步，求 FC .解法是：以出北門步數，乘西行步數，倍之為實.并出南門步數為從法.開方除之，即邑方.即設 x = FC =2AC ，則 ，或 .式內 x 的系數34是“從法”，常數項71000是“實”.

《九章算術》中沒有說明怎樣開帶從法的平方.但我們從少廣章的“開方術”中了解到，所列的籌式是一個有“從法”的開方式，用少廣開方術求平方根第二個、第三個數碼的方法就可以求出方程 x 2+ 34x =71000的正根，得“邑方”x =250步.當然，一般二次方程都可以用開帶從平方法求出它的個根.

三、方程與正負數

《九章算術》的方程章中提到的“方程”是指聯(lián)立一次方程組.例如，第1題：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗.問上、中、下禾實一秉各幾何“.禾”是黍米，“一秉”是一捆，“實”是打下來的黍米谷子.秦漢時期一“斗”的量約等于現(xiàn)在的二升“.上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗”譯成現(xiàn)代語是：三捆上等的谷子，二捆中等的谷子，一捆下等的谷子，打出來的黍米谷子一共有39斗.

設 x、y、z 依次為每捆上、中、下等谷子的“斗”數，那么這個問題是求解下列三元一次方程組：

用算籌布置起來，如圖14，各行由上而下列出的算籌表示 x、y、z 的系數和常數項.三元一次方程組各項未知量的系數用算籌表示就像方陣，所以叫做“方程”.古代數學書中的“方程”和現(xiàn)在一般所謂方程是兩個不同的概念.包含不止一個未知量的算式和聯(lián)立方程組的概念.

以上面所舉的第1題為例，依照方程章的“方程術”演算如下：

用（1）式內 x 的系數3乘以（2）式中的各項，得6x +9y +3z =102（4）

將（4）式“直除”（1）式，也就是兩次減去（1）式的各項，得5y + z =24，（5）

同樣，用（1）式內 x 的系數3乘以（3）式中的各項，得3x +6y +9z =78，（6）

將（6）式“直除”（1）式，得4y +8z =39，（7）

用算籌來演算得結果，如圖15.

然后，用（5）式內 x 的系數5乘以（7）式中的各項，得20y +40z =195，（8）

將（8）式“直除”（5）式，得36z =99，（9）

將（9）式的兩端同時除以9，得4z =11，（10），籌式如圖16所示.在圖16中，左行的未知量項只剩一項，用4除以11，即得 二斗.求 x 和 y ，還是用”遍乘直除”的方法.用（10）式的系數4乘以（5）式的各項，得20y +4z =96，再"直除"（10）式得20y =85，將（10）的兩端同時除以5，得4y =17.（11）

用（10）式的系數4乘以（11）式的各項，得12x +8y +4z =156，“直除”（10）式，得12x +8y =145;再"直除"（11）式，得12x =111，將（11）的兩端同時除以3，得4x =37（12），籌式如圖17.

從圖14到圖17，方程組的算籌形式始終保持右、中、左三行，運籌演算相當便利.最后由（10）（11）（12）式，計算得 .

如果我們把上列消元過程中的四個籌算圖寫成現(xiàn)代代數學中矩陣的形式：

那么，利用直除法的方程術就是一種關于矩陣的計算《.九章算術》的方程章中有十八個聯(lián)立一次方程組問題，其中二元的有八題，三元的有六題，四元的、五元的各有兩題，都用上述的演算程序解答多元一次方程組.

該方法在印度最早出現(xiàn)于七世紀初婆羅門笈多（Brahmagupta，約628年）所著書中.在歐洲，最早提出三元一次方程組的解法是十六世紀中的法國數學家布丟（Buteo，1559年）《.九章算術》中的方程術，不但是中國古代數學中的偉大成就，在世界數學史上，也是一份最可寶貴的財產.

“方程”的每一行是由多項未知量和一個已知量所組成的等式，其中可能有相反意義的數量，由此產生正數與負數的對立概念.用“直除”法消元，當減數大于被減數時，也需要負數的概念來擴充減法的功用.因此，中國數學家在方程章里提出了正負數的不同表示法和正負數的加減法則.這在數學史上是一個無比的偉大成就.

正負術是指，同名相除，異名相益.正無入負之，負無入正之其異名相除，同名相益.正無入正之，負無入負之.這是方程章正負數加減法則的條文“.同名”“異名”就是現(xiàn)在所謂同號、異號.文中指出，兩數同號則絕對值的差是余數的絕對值;兩數異號則絕對值的和是余數的絕對值;減去的數如其是正數而大于被減數時，余數得負號;如其是負數而小于被減數時，余數得正號;兩數同號則和數的絕對值等于兩絕對值的和;兩數異號則和數的絕對值等于兩絕對值的差;當兩數異號時，其中正數的絕對值較大則和數取正號，其中負數的絕對值較大則和數取負號.有了這正負數加減法則后，“直除”消元法的應用可以推廣到任何聯(lián)立一次方程組.在后世的“開方法”和天元術里，正負數加減法則也起著重要的作用.

——摘自《中國數學史》