ARIMA和GM（1，1）模型預(yù)測上海市衛(wèi)生總費(fèi)用

丁海峰，李立清

湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)公共管理與法學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410128

衛(wèi)生總費(fèi)用是指一個國家或地區(qū)在一定時期內(nèi)（通常是指1年），全社會用于醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)的資金總額［1］。衛(wèi)生總費(fèi)用作為評價一個國家或地區(qū)衛(wèi)生投入水平和資金利用狀況的重要指標(biāo)，了解其未來發(fā)展趨勢不僅可以為政府部門控制衛(wèi)生總費(fèi)用的合理支出，還可以為衛(wèi)生部門制定醫(yī)療衛(wèi)生政策提供一定的借鑒和參考。正因?yàn)樾l(wèi)生總費(fèi)用的重要程度高，近年來，國內(nèi)大量學(xué)者對衛(wèi)生總費(fèi)用的預(yù)測進(jìn)行了探討。李玲等［2］利用ARIMA 模型對湖南省2018—2022年衛(wèi)生總費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測分析；辛怡等［3］通過對我國“十三五”期間衛(wèi)生總費(fèi)用占國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的比重進(jìn)行預(yù)測，檢驗(yàn)我國衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 的比重是否達(dá)到既定目標(biāo)；也有學(xué)者利用GM（1，1）模型，對上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及構(gòu)成進(jìn)行預(yù)測分析［4］。可以看出，大部分學(xué)者均是利用單個模型對我國或者地區(qū)的衛(wèi)生總費(fèi)用進(jìn)行分析。然而現(xiàn)實(shí)情況中，為提高預(yù)測的參考價值，往往需要借助多個模型進(jìn)行對比分析?；诖耍狙芯窟x取上海市2005—2017年衛(wèi)生總費(fèi)用及GDP 相關(guān)數(shù)據(jù)，分別建立ARIMA預(yù)測模型和灰色GM（1，1）預(yù)測模型，對上海市2018—2025年衛(wèi)生總費(fèi)用發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測對比分析，一方面可以提高預(yù)測的參考價值，另一方面為上海市相關(guān)部門制定醫(yī)療衛(wèi)生政策提供借鑒及參考。

一、資料和方法

（一）資料來源

本研究數(shù)據(jù)來源于2005—2018年《上海市統(tǒng)計(jì)年鑒》，其中選取2005—2017年衛(wèi)生總費(fèi)用及GDP相關(guān)數(shù)據(jù)作為分析和預(yù)測指標(biāo)，根據(jù)兩個模型的特點(diǎn)，選取2005—2017年的數(shù)據(jù)建立ARIMA 預(yù)測模型，選取2011—2017年的數(shù)據(jù)建立灰色GM（1，1）模型［5］，數(shù)據(jù)的來源真實(shí)、可靠。

（二）研究方法

1.ARIMA預(yù)測模型

ARIMA 模型為差分整合移動平均自回歸模型，是由學(xué)者Box和Jenkins提出的經(jīng)典時間序列預(yù)測方法。在ARIMA（p，d，q）中，AR指自回歸，MA指移動平均，p指自回歸項(xiàng)、q指移動平均項(xiàng)數(shù)，d指差分次數(shù)。

主要建模步驟包括：①對原始序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)?？赏ㄟ^序列圖觀察及單位根檢驗(yàn)進(jìn)行判斷，如原始序列呈現(xiàn)非平穩(wěn)性，則需要對其進(jìn)行差分處理。絕大多數(shù)原始序列均為非平穩(wěn)序列，均需對其進(jìn)行差分處理。②模型的識別與檢驗(yàn)。差分處理完成后，通過自相關(guān)及偏自相關(guān)圖進(jìn)行定階，即確定p值和q值。如經(jīng)過差分處理后的平穩(wěn)序列的自相關(guān)圖拖尾、偏自相關(guān)圖截尾時，建立AR模型；當(dāng)偏自相關(guān)圖拖尾、自相關(guān)圖截尾時，則建立MA模型；當(dāng)自相關(guān)和偏自相關(guān)圖均呈現(xiàn)拖尾，則建立ARIMA模型，通過殘差值、AIC等值對比選出最優(yōu)模型［6-7］。③參數(shù)估計(jì)、模型的擬合與結(jié)果預(yù)測。對所確定的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，根據(jù)所選擇的最優(yōu)模型來檢驗(yàn)擬合效果并進(jìn)行結(jié)果預(yù)測。

2.灰色GM（1，1）預(yù)測模型

灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，雖然系統(tǒng)是復(fù)雜、雜亂無章的，但系統(tǒng)是一個整體，是有序的?；疑A(yù)測就是基于灰色系統(tǒng)的預(yù)測，在實(shí)際預(yù)測中，多采用GM（1，1）模型，即一階一元灰色模型預(yù)測方法，其中“G”代表Grey，表示灰色，“M”代表Model，表示模型，兩個“1”分別表示一階和一個變量的微分方程模型［8］?；疑A(yù)測模型就是通過灰色理論將毫無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加，生成較為規(guī)律的數(shù)據(jù)，從而找出系統(tǒng)內(nèi)在的特征及邏輯。此方法對樣本含量和數(shù)據(jù)分布沒有嚴(yán)格的要求，所需數(shù)據(jù)單一，原理簡單，適用性強(qiáng)，其最大的特點(diǎn)是不需要大量的時間序列數(shù)據(jù)就能夠進(jìn)行預(yù)測，并取得較好的預(yù)測效果。

主要步驟包括：①進(jìn)行級比的檢驗(yàn)并對建模的可行性進(jìn)行分析。②對原數(shù)列X(0)進(jìn)行一次累加，AGO（累加生成）為：。③構(gòu)建數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y，求得預(yù)測模型方程式。④對模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。

（三）統(tǒng)計(jì)學(xué)方法

數(shù)據(jù)的整理與錄入在Excel 軟件中進(jìn)行，灰色GM（1，1）模型的建立及求解在Matlab 2017 軟件中進(jìn)行，ARIMA預(yù)測模型的建立及求解在SPSS24.0統(tǒng)計(jì)軟件中進(jìn)行。通過描述性統(tǒng)計(jì)法對上海市2005—2017年衛(wèi)生總費(fèi)用發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢進(jìn)行對比分析。分別利用ARIMA 預(yù)測模型與灰色GM（1，1）預(yù)測模型對上海市2018—2025年衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP比重進(jìn)行預(yù)測對比分析。

二、結(jié) 果

（一）上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 比重發(fā)展現(xiàn)狀

由表1可知，2005—2017年，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 的比重均呈現(xiàn)不斷增長的趨勢，衛(wèi)生總費(fèi)用從362.13 億元增長至2 087.00 億元，年平均增長率為15.7%；衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 的比重從3.87%增長至6.81%，年平均增長率為4.83%。

表1 2005—2017年上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及占GDP比重

（二）ARIMA模型的預(yù)測過程及結(jié)果

1.數(shù)列的平穩(wěn)性處理

根據(jù)SPSS24.0軟件所繪制的2005—2017年上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及占GDP 比重的序列圖可以看出，兩個指標(biāo)均呈現(xiàn)明顯增長趨勢，均不是平穩(wěn)序列。因此，需對其進(jìn)行差分處理。經(jīng)過檢驗(yàn)分析后可知，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用序列在經(jīng)過2階差分后趨于平穩(wěn)，故d=2；衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP比重序列經(jīng)過1階差分后趨于平穩(wěn)，故d=1。原始序列及差分序列圖見圖1、2。

圖1 上海市衛(wèi)生總費(fèi)用原始序列圖

圖2 上海市衛(wèi)生總費(fèi)用2階差分圖

2.參數(shù)的估計(jì)及檢驗(yàn)

差分處理之后，利用SPSS24.0 軟件對上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及占GDP 比重分別進(jìn)行擬合，通過自相關(guān)及偏自相關(guān)圖初步判斷拖尾和截尾情況（圖3、4），經(jīng)過模型的對比和不斷嘗試，估計(jì)ARIMA模型的各項(xiàng)參數(shù)，最終確定衛(wèi)生總費(fèi)用預(yù)測模型最優(yōu)的3 個參數(shù)為p=0，d=2，q=0；衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 比重預(yù)測模型最優(yōu)的3 個參數(shù)為p=0，d=1，q=1。分別建立ARIMA（0，2，0）及ARIMA（0，1，1）預(yù)測模型。經(jīng)檢驗(yàn)可知，模型的擬合統(tǒng)計(jì)量R2分別為0.988、0.955，R2均＞0.9；標(biāo)準(zhǔn)化貝葉斯信息量（BIC）值分別為8.311、-2.761；平均絕對誤差（MAE）分別為46.948、0.196；殘差的P值均＞0.05。由此可以看出模型的擬合效果較好，殘差為白噪聲序列，可以利用其對上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP比重進(jìn)行預(yù)測。

圖3 上海市衛(wèi)生費(fèi)用二階差分自相關(guān)

圖4 上海市衛(wèi)生費(fèi)用二階差分偏自相關(guān)

3.模型的擬合及預(yù)測

利用所建立的ARIMA 模型分別對上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 的比重進(jìn)行預(yù)測，并求出相對誤差［相對誤差=（預(yù)測值-實(shí)際值）/實(shí)際值］。經(jīng)計(jì)算，上海市實(shí)際值與預(yù)測值平均相對誤差絕對值僅為0.74%，說明擬合效果較好，可以利用其進(jìn)行外推預(yù)測。衛(wèi)生總費(fèi)用預(yù)測值與實(shí)際值對比情況見表2。

表2 上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP比重實(shí)際值與預(yù)測值對比（ARIMA模型）

（三）灰色GM（1，1）模型預(yù)測過程及結(jié)果

①建立時間序列：

X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),……x(0)(7)]=（931.00，1 092.35，……，2 087.00）

②通過累加構(gòu)造生成列：（931.00，2 023.35，3 272.03，4 619.82，6 156.42，7 994.42，1 0081.42）。

③構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量Y：

同理，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 的比重序列也通過級比檢驗(yàn)，因此，可以建立GM（1，1）灰色預(yù)測模型。故可以計(jì)算出衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 比重的a和μ分別為：-0.051 446 433、0.048 524 838。因此，可以建立上海市衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 比重的GM（1，1）灰色預(yù)測模為：

④模型的檢驗(yàn)。經(jīng)計(jì)算可知，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用的平均相對誤差為2.34%，后驗(yàn)差比值C為0.006 896 762，C遠(yuǎn)小于0.35，模型精度P為97.66%，表明模型的精度較高，同理，求得衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP比重預(yù)測模型的后驗(yàn)差比值為：0.027 260 739，模型精度P為98.17%。經(jīng)模型驗(yàn)證，所有C均小于0.35，由此可以表明所建立的模型精度相對較好，均具有較為科學(xué)、準(zhǔn)確的預(yù)測效果。由結(jié)果可知，所有模型-a均＜0.3，因此可以利用所構(gòu)建的模型對上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 比重進(jìn)行中長期的預(yù)測，實(shí)際值與預(yù)測值的結(jié)果見表3，具體擬合效果見圖5、6。

表3 上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP比重實(shí)際值與預(yù)測值對比［GM（1，1）模型］

圖5 上海市衛(wèi)生總費(fèi)用灰色GM（1，1）預(yù)測模型擬合情況

圖6 上海市衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP比重灰色GM（1，1）預(yù)測模型擬合情況

（四）ARIMA 模型與灰色GM（1，1）模型預(yù)測結(jié)果及誤差對比

由表4可以看出，2018—2025年，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及占GDP 比重將保持穩(wěn)步上升的趨勢。ARIMA預(yù)測模型結(jié)果顯示，到2025年，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用將達(dá)到4 765.19 億元，衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 的比重將達(dá)到8.53%；灰色GM（1,1）預(yù)測模型的結(jié)果顯示，到2025年，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用將達(dá)到5 976.59 億元，衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 的比重將達(dá)到10.21%?？梢钥闯鰞煞N預(yù)測模型所預(yù)測的結(jié)果存在一定的差距。

表4 ARIMA模型與灰色GM（1，1）模型預(yù)測結(jié)果

ARIMA 預(yù)測模型和灰色GM（1，1）模型的平均相對誤差存在一定的差距。在衛(wèi)生總費(fèi)用方面，GM（1，1）預(yù)測模型的平均相對誤差為0.03 億元，ARIMA 模型的平均相對誤差為0.04 億元，GM（1，1）預(yù)測模型要小于ARIMA 模型。在衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 比重方面，GM（1，1）模型的平均相對誤差為0.02%，而ARIMA 模型的平均相對誤差達(dá)到了0.07%。由此可見，對于上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 的比重進(jìn)行預(yù)測，灰色GM（1，1）預(yù)測模型的預(yù)測精度及效果要優(yōu)于ARIMA模型。

三、討 論

（一）未來上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 比重將保持穩(wěn)步增長

預(yù)測結(jié)果顯示，2018—2025年上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP 比重將繼續(xù)保持穩(wěn)步增長趨勢。衛(wèi)生總費(fèi)用的投入水平不僅可以反映一個國家和地區(qū)醫(yī)療衛(wèi)生水平的高低，還可以反映當(dāng)?shù)卣畬用窠】邓降闹匾暢潭龋?］。近年來，上海市不斷加大衛(wèi)生總費(fèi)用的投入，這一方面表明上海市具有較高的醫(yī)療衛(wèi)生水平，另一方面則表明當(dāng)?shù)卣畬用窠】档闹匾?。然而，衛(wèi)生總費(fèi)用的過快增長不僅不利于當(dāng)?shù)蒯t(yī)療衛(wèi)生水平的提高，而且會對政府財(cái)政造成極大的負(fù)擔(dān)［10］。因此，上海市相關(guān)部門在保持衛(wèi)生總費(fèi)用穩(wěn)步增長的基礎(chǔ)上，應(yīng)該控制衛(wèi)生總費(fèi)用的合理增長，同時保證政府衛(wèi)生支出、社會衛(wèi)生支出以及個人衛(wèi)生支出在合理的范圍內(nèi)，不斷優(yōu)化衛(wèi)生籌資結(jié)構(gòu)。此外，衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 的比重也可以反映一個國家或地區(qū)醫(yī)療衛(wèi)生水平的高低。根據(jù)ARIMA 模型的預(yù)測結(jié)果，到2025年，上海市衛(wèi)生總費(fèi)用占比將達(dá)到8.53%，而灰色GM（1，1）模型預(yù)測結(jié)果顯示，這一指標(biāo)將達(dá)到10.21%。按照世界衛(wèi)生組織的要求，發(fā)展中國家衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 總費(fèi)用不應(yīng)低于5%。因此，無論如何，兩個模型的預(yù)測值都已經(jīng)超過世界衛(wèi)生組織規(guī)定的最低標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)早在2012年上海市就已經(jīng)達(dá)到這一標(biāo)準(zhǔn)。雖然世界各國關(guān)于衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 比重這一指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)尚未統(tǒng)一，但至少反映衛(wèi)生費(fèi)用的投入水平和國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的相互匹配程度。因此，在今后的工作中，上海市要保持衛(wèi)生費(fèi)用的投入與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平恰當(dāng)匹配，提高衛(wèi)生效率，為居民提供更高質(zhì)量、更加普惠、更有效率的健康服務(wù)。

（二）灰色GM（1，1）模型預(yù)測效果優(yōu)于ARIMA模型

本研究選取2005—2017年上海市衛(wèi)生總費(fèi)用及GDP相關(guān)數(shù)據(jù)，利用ARIMA模型和灰色GM（1，1）模型分別對上海市2018—2025年衛(wèi)生總費(fèi)用及其占GDP的比重進(jìn)行預(yù)測分析。結(jié)果顯示，兩個模型的平均相對誤差均低于10%，說明所建立的預(yù)測模型精度較高，均呈現(xiàn)較好的預(yù)測效果。但灰色GM（1，1）模型的平均相對誤差略低于ARIMA模型，這與部分學(xué)者的研究結(jié)果不一致［11］，可能與本文預(yù)測的對象以及數(shù)據(jù)周期的選取有一定的關(guān)系。根據(jù)衛(wèi)生總費(fèi)用預(yù)測結(jié)果，ARIMA模型的平均相對誤差為0.04億元，GM（1，1）模型的平均相對誤差為0.03億元，可以看出灰色GM（1，1）模型的預(yù)測精度略高于ARIMA模型；而對于衛(wèi)生總費(fèi)用占GDP 比重的預(yù)測上，兩者差距較大，ARIMA 模型的平均相對誤差為0.07%，而灰色GM（1，1）模型的平均相對誤差僅為0.02%?；疑獹M（1，1）模型和ARIMA模型是醫(yī)療衛(wèi)生領(lǐng)域常用的預(yù)測模型，在短期預(yù)測中均有較好的預(yù)測效果［12］。然而，在現(xiàn)實(shí)研究中，不同預(yù)測對象的特征、屬性等均有較大的差別，再加上兩種模型預(yù)測原理存在一定的區(qū)別，這就導(dǎo)致兩個模型會呈現(xiàn)截然不同的預(yù)測效果。因此，在今后的預(yù)測研究中，要根據(jù)不同預(yù)測對象的特點(diǎn)及屬性，選擇合適的預(yù)測模型進(jìn)行分析，同時可以采用多種預(yù)測模型進(jìn)行組合分析，這樣不僅可以提高預(yù)測的效果和精度，還可以為決策者制定相關(guān)政策提供多種參考依據(jù)。