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    談?wù)労瘮?shù)奇偶性的應(yīng)用

    2021-11-10 00:16:31鄒大博
    關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)奇偶性

    鄒大博

    函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,是指對(duì)于函數(shù)f(x),若定義域內(nèi)任意的x,都有f(-x)=-f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù);若都有f(-x)=f(x),則該函數(shù)f(x)為偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛,尤其在解不等式、求函數(shù)的值、求函數(shù)解析式時(shí)應(yīng)用較多.對(duì)此,筆者就函數(shù)奇偶性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了探討,以期對(duì)同學(xué)們解題有所助益.

    一、利用函數(shù)的奇偶性解不等式

    有些不等式問(wèn)題較為復(fù)雜,很難快速找到解題的突破口,此時(shí)不妨仔細(xì)分析不等式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,再利用函數(shù)的奇偶性去處理,這樣便可使不等式問(wèn)題順利獲解.

    例1.求證:??? .

    分析:此不等式若直接證明十分棘手,可結(jié)合不等式的特點(diǎn)構(gòu)造出一個(gè)函數(shù),利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,則可以輕松證明結(jié)論.

    證明:設(shè),

    因?yàn)椋?/p>

    所以f(x)為偶函數(shù).

    當(dāng)x>0時(shí),,可知f(x)<0;

    當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(x)=f(-x)&lt;0,

    綜上所述,當(dāng)x≠0時(shí),恒有f(x)<0,

    即??? .

    利用函數(shù)奇偶性解答不等式問(wèn)題的關(guān)鍵在于,結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造具有奇偶性的函數(shù),以便利用函數(shù)的奇偶性將問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化.

    二、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值

    求函數(shù)的值問(wèn)題是函數(shù)中的常見(jiàn)題目,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).此類問(wèn)題中常含有參數(shù),為了快速求得函數(shù)的值,我們可以利用函數(shù)的奇偶性,將f(-x)用±f(x)來(lái)替換,將函數(shù)式作整體處理,進(jìn)而求得函數(shù)的值.這樣不僅可以避免逐步討論、求解參數(shù)的值,還可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,有利于提升解題的效率.

    例2.若??? (其中a,b,c為常數(shù)),且f(-2)=5,試求f(2)的值.

    分析:本題直接求函數(shù)f(2)的值較為困難,可結(jié)合f(x)表達(dá)式的特點(diǎn),將含x的一部分構(gòu)造成具有奇偶性的函數(shù),利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行處理,則不難求出函數(shù)f(2)的值.

    解:設(shè),

    則,

    易知g(x)為奇函數(shù),故有g(shù)(-2)=-g(2),

    又因?yàn)閒(x)=g(x)+x2,

    將兩式相加可得f(-2)+f(2)=8,

    因?yàn)閒(-2)=5,所以f(2)=3.

    三、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式

    求解函數(shù)的解析式問(wèn)題的方法較多,利用函數(shù)奇偶性是常用的方法.在求函數(shù)的解析式時(shí),要首先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,然后將f(-x)用±f(x)來(lái)替換,這樣便能快速求得函數(shù)的解析式.

    例3.已知f(x)與g(x)的定義域是,若f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且??? .試求f(x)與g(x)的解析式.

    解:因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),

    因?yàn)間(x)是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),

    因?yàn)椋?/p>

    所以①.

    由已知可得②.

    由①+②可得,

    所以,

    所以??? .

    若已知函數(shù)是偶函數(shù)或奇偶數(shù),則根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)進(jìn)行代換,便不難求出函數(shù)的解析式.在這一過(guò)程中,我們要注意把握奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域.

    總之,對(duì)于某些較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題,同學(xué)們?nèi)裟軓暮瘮?shù)的奇偶性入手,往往可以拓寬解題的思路.所以,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).

    (作者單位:江蘇省江浦高級(jí)中學(xué))

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