多法并用，求解一類解析幾何問(wèn)題

楊凱

解析幾何問(wèn)題主要考查直線的方程以及圓、拋物線、橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)等.此類問(wèn)題的運(yùn)算量較大，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算、推理能力要求較高.如何簡(jiǎn)化運(yùn)算、合理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.本文從一道例題出發(fā)，談一談解答一類解析幾何問(wèn)題的方法.

題目：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，且A（2，3）.求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、角平分線的性質(zhì)以及直線的方程，屬于一類綜合問(wèn)題.解答本題的關(guān)鍵需從∠F1AF2的角平分線入手，可分別利用角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)法、向量法來(lái)解題.

一、利用角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)有很多，如角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等;三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊的兩條線段與這個(gè)角的兩條鄰邊對(duì)應(yīng)成比例;三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)接圓的圓心.對(duì)于本題，我們可以分別求出AF1、AF2的直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得角平分線上的點(diǎn)到AF1、AF2的距離，利用“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”來(lái)建立關(guān)系式，求得B的坐標(biāo)，便可運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程求得角平分線所在直線的方程.

解法一：設(shè)所求角平分線的直線為l，斜率為k，l與x軸交于B（x0，0），因?yàn)?，所以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），所以AF2⊥F1F2，直線AF1的方程為3x-4y+6=0，直線AF2的方程為x=2.由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)B到直線AF1的距離等于它到直線AF2的距離，即，解得，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

我們還可以利用“三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)接圓的圓心”的性質(zhì)來(lái)解題.根據(jù)題意構(gòu)造三角形的內(nèi)接圓，利用內(nèi)接圓的性質(zhì)來(lái)求得角平分線所在直線的方程.

解法二：因?yàn)椋訤1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）則AF2⊥F1F2，即△AF2F1是直角三角形，且三角形三邊長(zhǎng)為3，4，5，所以這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑r=1，內(nèi)切圓圓心O得坐標(biāo)為（1，1），所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

二、三角函數(shù)法

三角函數(shù)法是解答與角有關(guān)問(wèn)題的常用方法.在解題時(shí)，我們可以根據(jù)幾何圖形用三角函數(shù)表示出相應(yīng)的邊、角以及所求目標(biāo)，通過(guò)三角恒等變換簡(jiǎn)化目標(biāo)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得問(wèn)題的答案.對(duì)于本題，我們可以用三角函數(shù)表示出∠F1AF2，然后利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式求得∠F1AF2的正切值，再根據(jù)斜率公式以及直線的斜截式方程求得∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

解：因?yàn)?，所以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）

則AF2⊥F1F2，

設(shè)∠F1AF2=2α∈（0°，90°），

則，

解得或tan=-2（舍），

所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

三、向量法

向量法是指構(gòu)造出合適的向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解題的方法.運(yùn)用向量法解題能將解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，有利于轉(zhuǎn)化解題的思路.對(duì)于本題，我們可以分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，給各條線段賦予方向，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解題.

解：因?yàn)?，所以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），

而A（2，3），所以，，

又，

可得B點(diǎn)坐標(biāo)，

所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

通過(guò)對(duì)這道解析幾何題的研究與探討，我們發(fā)現(xiàn)解答解析幾何問(wèn)題可以從多個(gè)方向進(jìn)行研究，如利用角平分線的性質(zhì)、運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)、向量知識(shí)來(lái)解題.

在解答綜合性較強(qiáng)的解析幾何問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)注意發(fā)散思維，從多個(gè)角度尋求解題的方法.

（作者單位：江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué)）